2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 14.2矩陣與變換試題 理 蘇教版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 14.2矩陣與變換試題 理 蘇教版 1． 正如矩陣A＝，向量β＝. 求向量α，使得A2α＝β. 解 ∵A2＝＝設(shè)α＝，由A2α＝β，得＝ ∴解得 ∴α＝. 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓4x2＋y2＝1在矩陣A＝對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求F的方程． 解　設(shè)P(x0，y0)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P(x0，y0)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P′(x′0，y′0)則有 ＝ ，即∴ 又∵點(diǎn)P在橢圓上，故4x＋y＝1，從而x＋y＝1. ∴曲線F的方程是x2＋y2＝1. 3．已知矩陣M＝，N＝，且MN＝. (1)求實(shí)數(shù)a、b、c、d的值； (

2、2)求直線y＝3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像的方程． 解　(1)由題設(shè)得：解得 (2)∵矩陣M對(duì)應(yīng)的線性變換將直線變成直線(或點(diǎn))， ∴可取直線y＝3x上的兩點(diǎn)(0,0)，(1,3)， 由 ＝， ＝， 得點(diǎn)(0,0)，(1,3)在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像是點(diǎn)(0,0)，(－2,2)． 從而，直線y＝3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像的方程為y＝－x. 4．若點(diǎn)A(2,2)在矩陣M＝對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B(－2,2)，求矩陣M的逆矩陣． 解　由題意，知M＝， 即＝， ∴解得 ∴M＝. 由M－1M＝，解得M－1＝. 5．已知二階矩陣A＝，矩陣A屬

3、于特征值λ1＝－1的一個(gè)特征向量為a1＝，屬于特征值λ2＝4的一個(gè)特征向量為a2＝，求矩陣A. 解　由特征值、特征向量定義可知，Aa1＝λ1a1， 即＝－1×，得 同理可得解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1. 因此矩陣A＝. 6．已知矩陣M＝，求M的特征值及屬于各特征值的一個(gè)特征向量． 解　由矩陣M的特征多項(xiàng)式f(λ)＝＝ (λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即為矩陣M的特征值． 設(shè)矩陣M的特征向量為， 當(dāng)λ1＝2時(shí)，由M＝2，可得 可令x＝1，得y＝1， ∴α1＝是M的屬于λ1＝2的特征向量． 當(dāng)λ2＝4時(shí)，由M＝4，可得 取x＝1，得y＝－1， ∴α2

4、＝是M的屬于λ2＝4的特征向量． 7．求曲線C：xy＝1在矩陣M＝ 對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線C1的方程． 解　設(shè)P(x0，y0)為曲線C：xy＝1上的任意一點(diǎn)， 它在矩陣M＝對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)Q(x，y) 由 ＝，得 解得 因?yàn)镻(x0，y0)在曲線C：xy＝1上，所以x0y0＝1. 所以×＝1，即x2－y2＝4. 所以所求曲線C1的方程為x2－y2＝4. 8．已知矩陣A＝，B＝，求(AB)－1. 解　AB＝ ＝. 設(shè)(AB)－1＝， 則由(AB)·(AB)－1＝， 得 ＝，即＝， 所以解得故(AB)－1＝. 9．設(shè)矩陣M＝(其中a>0，b>0)． (1

5、)若a＝2，b＝3，求矩陣M的逆矩陣M－1； (2)若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：＋y2＝1，求a、b的值． 解　(1)設(shè)矩陣M的逆矩陣M－1＝， 則MM－1＝. 又M＝.∴ ＝. ∴2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1， 即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝， 故所求的逆矩陣M－1＝. (2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P′(x′，y′)，則 ＝，即又點(diǎn)P′(x′，y′)在曲線C′上， ∴＋y′2＝1.則＋b2y2＝1為曲線C的方程． 又已知曲線C的方程為x2＋y2＝1，故 又a>

6、0，b>0，∴ 10．已知梯形ABCD，其中A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)，D(1，2)，先將梯形作關(guān)于x軸的反射變換，再將所得圖形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°. (1)求連續(xù)兩次變換所對(duì)應(yīng)的變換矩陣M. (2)求點(diǎn)A，B，C，D在TM作用下所得到的結(jié)果． 解 (1)關(guān)于x軸的反射變換矩陣為M1＝， 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的變換矩陣為 M2＝＝ 故M＝M2M1＝＝. (2)A′：＝，即A′(0，0)． B′：＝，即B′(0，3)． C′：＝，即C′(2，2)． D′：＝，即D′(2，1)． 11．已知二階矩陣M有特征值λ＝8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1＝，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變

7、換將點(diǎn)(－1,2)變換成(－2,4)． (1)求矩陣M； (2)求矩陣M的另一個(gè)特征值，及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e2的坐標(biāo)之間的關(guān)系； (3)求直線l：x－y＋1＝0在矩陣M的作用下的直線l′的方程． 解　(1)設(shè)M＝，則 ＝8＝， 故因 ＝，故 聯(lián)立以上兩方程組解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4， 故M＝. (2)由(1)知，矩陣M的特征多項(xiàng)式為 f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16， 故其另一個(gè)特征值為λ＝2. 設(shè)矩陣M的另一個(gè)特征向量是e2＝， 則Me2＝＝2，解得2x＋y＝0. (3)設(shè)點(diǎn)(x，y)是直線l上的任一點(diǎn)，其在矩陣M的變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的

8、坐標(biāo)為(x′，y′)，則＝， 即x＝x′－y′，y＝－x′＋y′，代入直線l的方程后并化簡得x′－y′＋2＝0，即x－y＋2＝0. 12．已知矩陣A＝，A的一個(gè)特征值λ＝2，其對(duì)應(yīng)的特征向量是α1＝. (1)求矩陣A； (2)若向量β＝，計(jì)算A5β的值． 解　(1)A＝. (2)矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，當(dāng)λ1＝2時(shí)，α1＝，當(dāng)λ2＝3時(shí)， 得α2＝. 由β＝mα1＋nα2，得解得m＝3，n＝1. ∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λα1)＋λα2＝3×25＋35＝. 13．設(shè)矩陣M＝(其中a>0，b>0) ①若a＝2，b＝3，求M的逆矩陣M－1； ②若曲線C：x2＋y2＝1，在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：＋y2＝1，求a，b的值． 解 ①設(shè)M－1＝，則MM－1＝又M＝，∴＝. ∴2x1＝1，2y1＝0，3x2＝0，3y2＝1. 即x＝，y1＝0，x2＝0，y2＝. ∴M－1＝. ②設(shè)C上任一點(diǎn)P(x，y)，在M作用下得點(diǎn)P′(x′，y′)， 則＝， ∴， 又點(diǎn)P′(x′，y′)在C′上，所以＋y′2＝1. 即＋b2y2＝1為曲線C的方程． 又C的方程為x2＋y2＝1，∴ 又a>0，b>0，所以