2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 14.3坐標(biāo)系與曲線的極坐標(biāo)方程試題 理 蘇教版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 14.3坐標(biāo)系與曲線的極坐標(biāo)方程試題 理 蘇教版 1．在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為ρsin θ＝3，求點(diǎn)到直線l的距離． 解　∵直線l的極坐標(biāo)方程可化為y＝3，點(diǎn)化為直角坐標(biāo)為(，1)∴點(diǎn)到直線l的距離為2. 2．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝2cos θ與直線3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求實(shí)數(shù)a的值． 解 化為平面直角坐標(biāo)系： 圓：x2－2x＋y2＝0，即：(x－1)2＋y2＝1. 直線：3x＋4y＋a＝0. ∵直線和圓相切，∴＝1， ∴a＝2或a＝－8. 3．在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O(0,0)，P，求以O(shè)P為直徑的圓的極坐標(biāo)方程． 解

2、　設(shè)點(diǎn)Q(ρ，θ)為以O(shè)P為直徑的圓上任意一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，在Rt△OQP中，ρ＝3cos， 故所求圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝3cos. 4．從極點(diǎn)O作直線與另一直線ρcos θ＝4相交于點(diǎn)M，在OM上取一點(diǎn)P，使|OM|·|OP|＝12，求點(diǎn)P的軌跡方程． 解　設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(ρ，θ)，則M(ρ0，θ)． ∵|OM|·|OP|＝12.∵ρ0ρ＝12.ρ0＝. 又M在直線ρcos θ＝4上，∴cos θ＝4， ∴ρ＝3cos θ.這就是點(diǎn)P的軌跡方程． 5．在極坐標(biāo)系中，P是曲線ρ＝12sin θ上的動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線ρ＝12cos (θ－)上的動(dòng)點(diǎn)，試求PQ的最大值． 解 ∵ρ＝

3、12sin θ. ∴ρ2＝12ρsin θ化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－12y＝0， 即x2＋(y－6)2＝36. 又∵ρ＝12cos (θ－)， ∴ρ2＝12ρ(cos θcos ＋sin θsin )， ∴有x2＋y2－6x－6y＝0， 即(x－3)2＋(y－3)2＝36， ∴PQmax＝6＋6＋＝18. 6．設(shè)過原點(diǎn)O的直線與圓(x－1)2＋y2＝1的一個(gè)交點(diǎn)為P，點(diǎn)M為線段OP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上移動(dòng)一周時(shí)，求點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線． 解　圓(x－1)2＋y2＝1的極坐標(biāo)方程為 ρ＝2cos θ， 設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ1，θ1)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(

4、ρ，θ)， ∵點(diǎn)M為線段OP的中點(diǎn)，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，將ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圓的極坐標(biāo)方程，得ρ＝cos θ. ∴點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝cos θ，它表示原心在點(diǎn)，半徑為的圓． 7．⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)求經(jīng)過⊙O1，⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程． 解　(1)ρ＝4cos θ，兩邊同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，兩邊同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，ρ2＝x2＋y2， 得⊙O1，⊙O2的

5、直角坐標(biāo)方程分別為 x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0. (2)由 ①－②得－4x－4y＝0，即x＋y＝0為所求直線方程． 8．求圓心為C，半徑為3的圓的極坐標(biāo)方程． 解　如圖，設(shè)圓上任一點(diǎn)為P(ρ，θ)， 則OP＝ρ，∠POA＝θ－， OA＝2×3＝6， 在Rt△OAP中，OP＝OA×cos∠POA， ∴ρ＝6cos.∴圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cos. 9．已知A是曲線ρ＝12sin θ上的動(dòng)點(diǎn)，B是曲線ρ＝12cos上的動(dòng)點(diǎn)，試求線段AB長(zhǎng)的最大值． 解　曲線ρ＝12sin θ的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－6)2＝36， 其圓心為(0,6)，半徑為6； 曲線ρ

6、＝12cos的直角坐標(biāo)方程為(x－3)2＋(y－3)2＝36，其圓心為(3，3)，半徑為6. 所以AB長(zhǎng)的最大值＝ ＋6＋6＝18. 10． 已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2. (1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程． 解　(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4； 因?yàn)棣?－2ρcos＝2， 所以ρ2－2ρ＝2， 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減， 得經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程為x＋y＝1. 化為極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin

7、＝. 11．已知圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，求曲線C的直角坐標(biāo)方程，并求焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離． 解　由ρ＝，得ρcos2θ＝4sin θ，ρ2cos2θ＝4ρsin θ.又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，故所求曲線的直角坐標(biāo)方程是x2＝4y，故焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2. 12． 已知直線l的參數(shù)方程：(t為參數(shù))和圓C的極坐標(biāo)方程：ρ＝2·sin. (1)將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)判斷直線l和圓C的位置關(guān)系． 解　(1)消去參數(shù)，得直線l的普通方程為y＝2x＋1. ρ＝2sin，即ρ

8、＝2(sin θ＋cos θ)，兩邊同乘以ρ， 得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)． 得⊙C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(x－1)2＝2. (2)圓心C到直線l的距離d＝＝＜， 所以直線l和⊙C相交． 13．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系； (2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值． 解 (1)把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)P化為直角坐標(biāo)，得P(0，4)．因?yàn)辄c(diǎn)P的

9、直角坐標(biāo)(0，4)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點(diǎn)P在直線l上． (2)因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(cos α，sin α)，從而點(diǎn)Q到直線l的距離為d＝＝＝cos＋2， 由此得，當(dāng)cos＝－1時(shí)，d取得最小值，且最小值為. 14．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．若直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝3. (1)把直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)已知P為橢圓C：＋＝1上一點(diǎn)，求P到直線l的距離的最大值． 解　(1)直線l的極坐標(biāo)方程ρsin＝3，則ρsin θ－ρcos θ＝3，即ρsin θ－ρcos θ＝6，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋6＝0. (2)P為橢圓C：＋＝1上一點(diǎn)，設(shè)P(4cos α，3sin α)，其中α∈[0,2π)，則P到直線l的距離 d＝＝，其中cos φ＝，所以當(dāng)cos(α＋φ)＝1時(shí)，d的最大值為.