《2022年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列（綜合提升篇）專題07 選講內(nèi)容（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列（綜合提升篇）專題07 選講內(nèi)容（含解析）（22頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列（綜合提升篇）專題07 選講內(nèi)容（含解析）幾何證明選講【背一背重點(diǎn)知識】1、比例線段有關(guān)定理（1）平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。推理1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。推理2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。（2）平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例。2、相似三角形的判定及性質(zhì)（1）相似三角形的判定：定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫
2、做相似三角形。相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。判定定理1：對于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。判定定理2：對于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。判定定理3：對于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。（2）相似三角形的性質(zhì)：性質(zhì)1：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)平分線
3、的比都等于相似比；性質(zhì):2：相似三角形周長的比等于相似比；性質(zhì)3：相似三角形面積的比等于相似比的平方。注：相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。3、直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項(xiàng)。4、圓周角定理圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓周角的一半。圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑。5、圓內(nèi)接四邊形的
4、性質(zhì)與判定定理定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角。圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個(gè)四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。6、圓的切線的性質(zhì)及判定定理切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。7、弦切角的性質(zhì)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。8、與圓有關(guān)的比例線段（圓冪定理）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相
5、交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。割線定理：從園外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角?！局v一講提高技能】1、 相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用（1） 判定兩個(gè)三角形相似的方法：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；相似三角形的定義（2） 證明線段成比例，若已知條件中沒有平行線，但有三角形相似的條件(如角相等，有相等的比例式
6、等)，?？紤]相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造比例式或利用中間比求解 (3)相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用可用來考查與相似三角形相關(guān)的元素，如兩個(gè)三角形的高、周長、角平分線、中線、面積、外接圓的直徑、內(nèi)切圓的面積等例1如圖3，在平行四邊形中，點(diǎn)在上且，與交于點(diǎn)，則 .【解析】2、四點(diǎn)共圓的證明方法 （1）求證四邊形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的內(nèi)角；（2）當(dāng)它們在一條線段同側(cè)時(shí)，可證它們對此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點(diǎn)距離相等；如兩點(diǎn)在一條線段異側(cè)，則證明它們與線段兩端點(diǎn)連成的凸四邊形對角互補(bǔ)。例2如圖，在正中，點(diǎn)分別在邊上，且，相交于點(diǎn)求證：（）四點(diǎn)共圓；（）【答案】（）見解析；（）見解析【解析】平面幾何中有
7、關(guān)角與比例線段問題的求解方法 （1）與切線有關(guān)的角度問題，應(yīng)考慮應(yīng)用弦切角的性質(zhì)定理求解； （2）與切線有關(guān)的比例式或線段問題，應(yīng)注意利用弦切角，確定三角形相似的條件，若條件不明顯需添加輔助線 （3）與圓有關(guān)的等積線段或成比例的線段，常利用圓周角或弦切角證明三角形相似，在相似三角形中尋找比例線段；也可以利用相交弦定理、切割線定理證明線段成比例，在實(shí)際應(yīng)用中，一般涉及兩條相交弦應(yīng)首先考慮相交弦定理，涉及兩條割線就要想到割線定理，見到切線和割線時(shí)要注意應(yīng)用切割線定理例3過點(diǎn)作圓的割線與切線為切點(diǎn)，連接，的平分線與，分別交于點(diǎn)（1）求證：；（2）若求的大小【答案】（1）見解析；（2）【解析】【練一練
8、提升能力】1. 如圖，為的兩條切線，切點(diǎn)分別為，過的中點(diǎn)作割線交于兩點(diǎn)，若則 .分析：根據(jù)切割線定理得，變形即得.【解析】由切割線定理得，所以，所以.2. 如圖，為外一點(diǎn)，交于，切于為線段的中點(diǎn)，交于，線段的延長線與交于，連接求證：（）；（）【答案】詳見解析【解析】極坐標(biāo)與參數(shù)方程【背一背重點(diǎn)知識】1.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換：2.極坐標(biāo)系（1）極坐標(biāo)系的概念：平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn),叫做極點(diǎn),自極點(diǎn)引一條射線,叫做極軸;再選定一個(gè)長度單位,一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向),這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑,記為;以極軸為始
9、邊,射線為終邊的角叫做點(diǎn)M的極角,記為.有序數(shù)對叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記作.（2）直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.設(shè)是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是,極坐標(biāo)是,則極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表:點(diǎn)直角坐標(biāo)極坐標(biāo)互化公式（3） 常見曲線的極坐標(biāo)方程：曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn),半徑為的圓圓心為,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓過極點(diǎn),傾斜角為的直線(1)(2)過點(diǎn),與極軸垂直的直線過點(diǎn),與極軸平行的直線3、參數(shù)方程（1）參數(shù)方程的概念：一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù),并且對于的每一個(gè)
10、允許值,由方程組所確定的點(diǎn)都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù),簡稱參數(shù),相對于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.（2）參數(shù)方程和普通方程的互化：曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使的取值范圍保持一致.（3）常見曲線的參數(shù)方程： 圓的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）；橢圓的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）；雙曲線的參數(shù)方程 （為參數(shù)）；拋物線參數(shù)方程 為參數(shù)）；過定點(diǎn)、傾斜角為的直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）?！局v一講提高技能】1、 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法
11、 若極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸正半軸重合，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，則極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程可以互化，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)通常通過構(gòu)造的形式，其中方程兩邊同乘以或同時(shí)平方是常用的變形方法，要注意變形的等價(jià)性。例1以為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓和直線相交于兩點(diǎn)若是等邊三角形，則的值為_分析：根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，得到圓、直線的直角坐標(biāo)方程，由是等邊三角形，得到其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，代入圓的方程即得.【解析】 2、參數(shù)方程與普通方程的互化方法將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǔＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?、加減消參法，平方消
12、參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參如sin2cos21等；將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，不要增解例2在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線過點(diǎn)的直線（為參數(shù)）與曲線相交于點(diǎn)兩點(diǎn)（1）求曲線的平面直角坐標(biāo)系方程和直線的普通方程；（2）若成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值【答案】（1），；（2）【解析】 3、利用參數(shù)方程解決問題的方法過定點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式為 (t為參數(shù))，t的幾何意義是直線上的點(diǎn)P到點(diǎn)P0(x0，y0)的數(shù)量，即t|PP0|時(shí)為距離使用該式時(shí)直線上任意兩點(diǎn)P1、P2對應(yīng)的參數(shù)分別為
13、t1、t2，則|P1P2|t1t2|，P1P2的中點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為(t1t2)對于形如 (t為參數(shù))，當(dāng)a2b21時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題解決直線與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時(shí)，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問題，如最值、范圍等例3在極坐標(biāo)系中，已知曲線，為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)（1）將曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線；（2）求、兩點(diǎn)的最短距離【答案】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為：且曲線是以為圓心，為半徑的圓；（2）【解析】【練一練提升能力】1. 在直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)
14、系，半圓C的極坐標(biāo)方程為，.（）求C的參數(shù)方程；（）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線垂直，根據(jù)（）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo). 【答案】（）是參數(shù)，；（）【解析】（）設(shè)點(diǎn)M是C上任意一點(diǎn)，則由可得C的普通方程為：，即，所以C的參數(shù)方程為是參數(shù)，.（）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為，由（）知C是以G（1，0）為圓心，1為半徑的上半圓，因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與垂直，所以直線GD與的斜率相同，故D點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，即.2. 已知曲線，直線：（為參數(shù)）.（I）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；（II）過曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為的直線，交于點(diǎn)，的最大值與最小值【答案】（I）；（II）最大值為，最小值為.【解析】不等
15、式選講【背一背重點(diǎn)知識】1 三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式：(1)定理3：如果a，b，c，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立即三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)(2) 基本不等式的推廣：對于n個(gè)正數(shù)a1，a2，an，它們的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an 時(shí)，等號成立2. 柯西不等式：(1)二維形式：若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2) (acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立(2)向量形式：設(shè)、是兩個(gè)向量，則|，當(dāng)且僅當(dāng)是向量或存在實(shí)數(shù)k使k時(shí)等號成立(3)一般形式：設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實(shí)數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1
16、a2b2anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)0 (i1,2，n)或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得 (i1,2，n)時(shí)，等號成立(4)二維形式的柯西不等式變式：|acbd|； |ac|bd|.3. 排序不等式：(1) 亂序和、反序和與順序和：設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bnR，且a1a2a3an，b1b2b3bn，設(shè)c1，c2，c3，cn是數(shù)組b1，b2，b3，bn的任意一個(gè)排列，則分別將Sa1c1a2c2a3c3ancn，S1a1bna2bn1a3bn2anb1，S2a1b1a2b2a3b3anbn稱為數(shù)組(a1，a2，a3，an)和數(shù)組(b1，b2，b3，bn)的亂序和,反序和，與順序和(2)排序不
17、等式(又稱排序原理)：設(shè)a1a2an，b1b2b3bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，則a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an或b1b2bn時(shí)，反序和等于亂序和等于順序和. 4. 絕對值不等式：(1)定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號成立(2)定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立【講一講提高技能】1、 絕對值不等式的解法（1） |axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|c(c0)caxbc；|axb|c(c0)
18、axbc或axbc。（2） 、|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法：分段討論法：利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(，a，(a，b，(b，)(此處設(shè)ac(c0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1a和x2b的距離之和大于c的全體，|xa|xb|xa(xb)|ab|；圖象法：作出函數(shù)y1|xa|xb|和y2c的圖象，結(jié)合圖象求解注意求解的過程中應(yīng)同解變形 .例1設(shè) （）當(dāng)，解不等式；（）當(dāng)時(shí)，若，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（）；（） 【解析】絕對值不等式的證明含絕對值不等式的證明題主要分兩類：一類是比較簡單的不等式，往往可通過公式法、平方法、換元法等去掉絕對值轉(zhuǎn)化為常見的
19、不等式證明題，或利用絕對值三角不等式性質(zhì)定理： |a|b|ab|a|b|，通過適當(dāng)?shù)奶怼⒉痦?xiàng)證明；另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明例2已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】 3、不等式證明的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。例3已知，證明分析：直接利用算術(shù)幾何平均不等式可得，兩式相乘即得要證不等式【解析】，,.【練一練提升能力】1. 已知，函數(shù)的最小值為4（）求的值；（）求的最小值【答案】（）；（）【解析】 2.設(shè)
20、a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)；(2).【答案】（略）【解析】(1)由， 得.由題設(shè)得，即.所以3()1，即.(2)因?yàn)椋?(abc)，即abc.所以1.解答題（共10題）1.如圖，是的一條切線，切點(diǎn)為B，ADE，CFD和CGE都是的割線，（1）證明：；（2）證明：【答案】（1）證明略；（2）證明略【解析】（2）由（1）知，又 ， ，又四邊形DEGF為圓內(nèi)接四邊形， ， 2.如圖,已知切于點(diǎn)E,割線PBA交于A、B兩點(diǎn),APE的平分線和AE、BE分別交于點(diǎn)C、D.求證:(); ().【解析】 3、如圖,垂直于于,垂直于,連接.證明:(I) (II)【解析】 4、已知曲線的參數(shù)方
21、程為（其中為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）分別寫出曲線與曲線的普通方程；（2）若曲線與曲線交于兩點(diǎn)，求線段的長【答案】（1），；（2）【解析】試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系消去參數(shù)，得曲線，利用，得曲線；（2）把曲線和曲線聯(lián)立消去得，結(jié)合弦長公式即可求得弦的長試題解析： （1）曲線，曲線（2）聯(lián)立，得，設(shè)，則，于是故線段的長為5、已知?jiǎng)狱c(diǎn)都在曲線為參數(shù)上,對應(yīng)參數(shù)分別為與,為的中點(diǎn).()求的軌跡的參數(shù)方程;()將到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離表示為的函數(shù),并判斷的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn).【解析】 6、在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）在以原點(diǎn)為
22、極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，圓的方程為（1）寫出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，圓與直線交于兩點(diǎn)，求的值【答案】（1），；（2）【解析】試題分析：（1)將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取恰當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?、加減消參法、平方消參法；(2）將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，不要增解、漏解，若有范圍限制，要標(biāo)出的取值范圍；（2）直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只需把公式及直接代入并化簡即可；而極坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程要通過變形，構(gòu)造形如，的形式，進(jìn)行整體代換，其中方程的兩邊同乘以（或同除以）及方程的
23、兩邊平方是常用的變形方法 7、設(shè)不等式的解集為,且,.(1)求的值;(2)求函數(shù)的最小值.【解析】()因?yàn)?且,所以,且 解得,又因?yàn)?所以 ()因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號,所以的最小值為 8、已知函數(shù),（1）當(dāng)時(shí),解不等式: ； （2）若且,證明：，并求在等號成立時(shí)的取值范圍【解析】（1）因?yàn)? 9、設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若的解集為，求證：【答案】（1）；（2）見解析【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，對原函數(shù)進(jìn)行分情況解不等式，得到原不等式的解集；（2）根據(jù)的解集為，得到，所以，所以，利用均值不等式得到，結(jié)論得證 10、已知函數(shù),其中. (I)當(dāng)時(shí),求不等式的解集; (II)已知關(guān)于的不等式的解集為,求的值.【解析】當(dāng)時(shí)，。，即。當(dāng)時(shí)，即，解得；當(dāng)時(shí)，即，不成立；當(dāng)時(shí)，即，解得。所以不等式的解集為。4分（）解：記，則。
2022年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列（綜合提升篇）專題07 選講內(nèi)容（含解析）
