《2018-2019學年高中數(shù)學 第四講 用數(shù)學歸納法證明不等式 二 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例學案 新人教A版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018-2019學年高中數(shù)學 第四講 用數(shù)學歸納法證明不等式 二 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例學案 新人教A版選修4-5（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、二用數(shù)學歸納法證明不等式舉例1.掌握用數(shù)學歸納法證明不等式的常用方法與技巧2.理解貝努利不等式3能綜合運用數(shù)學歸納法與數(shù)列、三角函數(shù)等知識進行不等式的證明,學生用書P57)1數(shù)學歸納法證明不等式(1)用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的不等式的步驟證明：當n取第一個值n0時結論成立；假設當nk(kN，且kn0)時結論成立，證明當nk1時結論也成立由可知命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立(2)用數(shù)學歸納法證明不等式的重點用數(shù)學歸納法證明不等式的重點在第二步(同時也是難點所在)，即假設f(k)g(k)成立，證明f(k1)g(k1)成立2貝努利不等式(1)定義：如果x是實數(shù)，且x1，x0，n為大于1
2、的自然數(shù)，那么有(1x)n1nx(2)貝努利不等式的一般形式當是實數(shù)，并且滿足1或1)；當是實數(shù)，并且滿足01)1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)用數(shù)學歸納法證明“2n1n2n2(nN)”，第一步的驗證為2111212.()(2)設x1，且x0，n為大于1的自然數(shù)，則(1x)n”，當n1時，不等式左邊的項為.()答案：(1)(2)(3)2用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中，由nk遞推到nk1時不等式左邊應()A增加了一項B增加了兩項C增加了B中兩項但減少了一項D以上各種情況均不對答案：C3用數(shù)學歸納法證明：12(n2，nN)時第一步需要證明()A12B12C12D12答案：C4用數(shù)學歸納法
3、證明“11)”時，由nk(k1)不等式成立，推證nk1時，左邊應增加的項數(shù)是_解析：左邊的特點：分母逐項增加1，末項為；由nk，末項為到nk1，末項為，所以應增加的項數(shù)為2k.答案：2k用數(shù)學歸納法證明有關函數(shù)中的不等關系學生用書P58已知f(x).對于nN，試比較f()與的大小并說明理由【解】據(jù)題意f(x)1，所以f()1，又1，所以要比較f()與的大小，只需比較2n與n2的大小即可，當n1時，212121，當n2時，22422，當n3時，2385225，當n6時，26646236.故猜測當n5(nN)時，2nn2，下面用數(shù)學歸納法加以證明(1)當n5時，命題顯然成立(2)假設nk(k5，且
4、kN)時，不等式成立即2kk2(k5)，則當nk1時，2k122k2k2k2k22k12k1(k1)2(k1)22(k1)2，(k1)22)由(1)(2)可知，對一切n5，nN，2nn2成立綜上所述，當n1或n5時，f()；當n2或4時，f()；當n3時，f().利用數(shù)學歸納法解決比較大小問題的方法利用數(shù)學歸納法比較大小，關鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個量的大小關系，猜測出證明的方向，再用數(shù)學歸納法證明結論成立 已知函數(shù)f(x)x3x，數(shù)列an滿足條件：a11，an1f(an1)試比較與1的大小，并說明理由解：231，由此猜想：an2n1.下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想：當n1時，a12111，
5、猜想成立；假設當nk(k1，kN)時猜想成立，即ak2k1，則當nk1時，由g(x)(x1)21在區(qū)間1，)上單調遞增知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1時，猜想也成立由，知，對任意nN*，都有an2n1，即1an2n.所以.所以12n1.當n2時，左邊9，右邊5，左邊右邊，不等式成立假設nk(k2，kN)時，3k2k1，則nk1時，3k133k3(2k1)6k32(k1)1，所以nk1時不等式成立根據(jù)可知：當n2時，3n2n1.綜上可知，3n2n1對于nN*成立，所以(3n1)WnnWn1(nN*)利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列型不等式的關鍵是由nk到nk1的變形為了滿足題目的要求，常
6、常要采用“放”與“縮”等手段，但是放縮要有度，這是一個難點，解決這個難點一是要仔細觀察題目結構，二是要用分析法找到放縮的結果，才能順利地證題 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1，an2SnSn10(n2)(1)判斷是否為等差數(shù)列，并證明你的結論；(2)證明SSS(n1且nN)解：(1)是等差數(shù)列，證明如下：S1a1，所以2.當n2時，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.所以2.故是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列(2)證明：當n1時，S，不等式成立假設nk(k1，kN)時，不等式成立，即SSS成立，則當nk1時，SSSS1nx成立的兩個條件：nN且n2；x的取值范圍是x1且x0.于是
7、有命題：當nN且n2時不等式(1x)n1nx對一切x(1，0)(0，)恒成立(2)常用特例：當x1且x0時，(1x)212x；當x1且x0時，(1x)313x.【規(guī)范解答】歸納猜想證明(本題滿分12分)設f(n)nn1，g(n)(n1)n，nN.(1)當n1，2，3，4時，比較f(n)與g(n)的大??；(2)根據(jù)(1)的結果猜測一個一般性結論，并加以證明【解】(1)當n1時，nn11，(n1)n2，此時，nn1(n1)n，當n2時，nn18，(n1)n9，此時，nn1(n1)n，當n4時，nn11 024，(n1)n625，此時，nn1(n1)n.(2分)(2)根據(jù)上述結論，我們猜想：當n3時
8、，nn1(n1)n(nN*)恒成立(4分)證明如下：當n3時，nn13481(n1)n4364，即nn1(n1)n成立(5分)假設當nk(k3，kN)時，kk1(k1)k成立，即1，(6分)則當nk1時，(k1)(k1)1，(10分)即(k1)k2(k2)k1成立，即當nk1時不等式也成立，(11分)所以當n3時，nn1(n1)n(nN)恒成立(12分)歸納猜想證明的思想方法數(shù)學歸納法作為一種重要的證明方法，常常體現(xiàn)在“歸納猜想證明”這一基本思想方法中一方面可用數(shù)學歸納法證明已有的與自然數(shù)有關的結論；更重要的是，要用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)某些結論、規(guī)律并用數(shù)學歸納法證明其正確性，形成“觀察歸納猜想證明”的思想方法1用數(shù)學歸納法證明：12(n2，nN)證明：當n2時，12，不等式成立假設當nk(k2，且kN)時不等式成立，即12，當nk1時，12222，即當nk1時，不等式也成立由知原不等式在n2且nN時均成立2已知m，n為正整數(shù)，對于n6，已知，利用貝努利不等式求證：0，于是，m1，2，n.9
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