2018-2019學年高中數(shù)學 第四講 用數(shù)學歸納法證明不等式 二 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例學案 新人教A版選修4-5

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1、二用數(shù)學歸納法證明不等式舉例1.掌握用數(shù)學歸納法證明不等式的常用方法與技巧2.理解貝努利不等式3能綜合運用數(shù)學歸納法與數(shù)列、三角函數(shù)等知識進行不等式的證明,學生用書P57)1數(shù)學歸納法證明不等式(1)用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的不等式的步驟證明:當n取第一個值n0時結論成立;假設當nk(kN,且kn0)時結論成立,證明當nk1時結論也成立由可知命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立(2)用數(shù)學歸納法證明不等式的重點用數(shù)學歸納法證明不等式的重點在第二步(同時也是難點所在),即假設f(k)g(k)成立,證明f(k1)g(k1)成立2貝努利不等式(1)定義:如果x是實數(shù),且x1,x0,n為大于1

2、的自然數(shù),那么有(1x)n1nx(2)貝努利不等式的一般形式當是實數(shù),并且滿足1或1);當是實數(shù),并且滿足01)1判斷(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)用數(shù)學歸納法證明“2n1n2n2(nN)”,第一步的驗證為2111212.()(2)設x1,且x0,n為大于1的自然數(shù),則(1x)n”,當n1時,不等式左邊的項為.()答案:(1)(2)(3)2用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中,由nk遞推到nk1時不等式左邊應()A增加了一項B增加了兩項C增加了B中兩項但減少了一項D以上各種情況均不對答案:C3用數(shù)學歸納法證明:12(n2,nN)時第一步需要證明()A12B12C12D12答案:C4用數(shù)學歸納法

3、證明“11)”時,由nk(k1)不等式成立,推證nk1時,左邊應增加的項數(shù)是_解析:左邊的特點:分母逐項增加1,末項為;由nk,末項為到nk1,末項為,所以應增加的項數(shù)為2k.答案:2k用數(shù)學歸納法證明有關函數(shù)中的不等關系學生用書P58已知f(x).對于nN,試比較f()與的大小并說明理由【解】據(jù)題意f(x)1,所以f()1,又1,所以要比較f()與的大小,只需比較2n與n2的大小即可,當n1時,212121,當n2時,22422,當n3時,2385225,當n6時,26646236.故猜測當n5(nN)時,2nn2,下面用數(shù)學歸納法加以證明(1)當n5時,命題顯然成立(2)假設nk(k5,且

4、kN)時,不等式成立即2kk2(k5),則當nk1時,2k122k2k2k2k22k12k1(k1)2(k1)22(k1)2,(k1)22)由(1)(2)可知,對一切n5,nN,2nn2成立綜上所述,當n1或n5時,f();當n2或4時,f();當n3時,f().利用數(shù)學歸納法解決比較大小問題的方法利用數(shù)學歸納法比較大小,關鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個量的大小關系,猜測出證明的方向,再用數(shù)學歸納法證明結論成立 已知函數(shù)f(x)x3x,數(shù)列an滿足條件:a11,an1f(an1)試比較與1的大小,并說明理由解:231,由此猜想:an2n1.下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想:當n1時,a12111,

5、猜想成立;假設當nk(k1,kN)時猜想成立,即ak2k1,則當nk1時,由g(x)(x1)21在區(qū)間1,)上單調遞增知,ak1(ak1)2122k12k11,即nk1時,猜想也成立由,知,對任意nN*,都有an2n1,即1an2n.所以.所以12n1.當n2時,左邊9,右邊5,左邊右邊,不等式成立假設nk(k2,kN)時,3k2k1,則nk1時,3k133k3(2k1)6k32(k1)1,所以nk1時不等式成立根據(jù)可知:當n2時,3n2n1.綜上可知,3n2n1對于nN*成立,所以(3n1)WnnWn1(nN*)利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列型不等式的關鍵是由nk到nk1的變形為了滿足題目的要求,常

6、常要采用“放”與“縮”等手段,但是放縮要有度,這是一個難點,解決這個難點一是要仔細觀察題目結構,二是要用分析法找到放縮的結果,才能順利地證題 已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足a1,an2SnSn10(n2)(1)判斷是否為等差數(shù)列,并證明你的結論;(2)證明SSS(n1且nN)解:(1)是等差數(shù)列,證明如下:S1a1,所以2.當n2時,anSnSn1,即SnSn12SnSn1.所以2.故是以2為首項,2為公差的等差數(shù)列(2)證明:當n1時,S,不等式成立假設nk(k1,kN)時,不等式成立,即SSS成立,則當nk1時,SSSS1nx成立的兩個條件:nN且n2;x的取值范圍是x1且x0.于是

7、有命題:當nN且n2時不等式(1x)n1nx對一切x(1,0)(0,)恒成立(2)常用特例:當x1且x0時,(1x)212x;當x1且x0時,(1x)313x.【規(guī)范解答】歸納猜想證明(本題滿分12分)設f(n)nn1,g(n)(n1)n,nN.(1)當n1,2,3,4時,比較f(n)與g(n)的大??;(2)根據(jù)(1)的結果猜測一個一般性結論,并加以證明【解】(1)當n1時,nn11,(n1)n2,此時,nn1(n1)n,當n2時,nn18,(n1)n9,此時,nn1(n1)n,當n4時,nn11 024,(n1)n625,此時,nn1(n1)n.(2分)(2)根據(jù)上述結論,我們猜想:當n3時

8、,nn1(n1)n(nN*)恒成立(4分)證明如下:當n3時,nn13481(n1)n4364,即nn1(n1)n成立(5分)假設當nk(k3,kN)時,kk1(k1)k成立,即1,(6分)則當nk1時,(k1)(k1)1,(10分)即(k1)k2(k2)k1成立,即當nk1時不等式也成立,(11分)所以當n3時,nn1(n1)n(nN)恒成立(12分)歸納猜想證明的思想方法數(shù)學歸納法作為一種重要的證明方法,常常體現(xiàn)在“歸納猜想證明”這一基本思想方法中一方面可用數(shù)學歸納法證明已有的與自然數(shù)有關的結論;更重要的是,要用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)某些結論、規(guī)律并用數(shù)學歸納法證明其正確性,形成“觀察歸納猜想證明”的思想方法1用數(shù)學歸納法證明:12(n2,nN)證明:當n2時,12,不等式成立假設當nk(k2,且kN)時不等式成立,即12,當nk1時,12222,即當nk1時,不等式也成立由知原不等式在n2且nN時均成立2已知m,n為正整數(shù),對于n6,已知,利用貝努利不等式求證:0,于是,m1,2,n.9

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