2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.7立體幾何中的向量方法（Ⅱ）試題 理 蘇教版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.7立體幾何中的向量方法（Ⅱ）試題 理 蘇教版 一、填空題 1. 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1上的動(dòng)點(diǎn)，則直線NO、AM的位置關(guān)系是________． 解析　建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，＝(－1,1－t，－2)，＝(－2,0,1)，·＝0，則直線NO、AM的位置關(guān)系是異面垂直． 答案　異面垂直 2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin〈，〉的值為

2、________． 解析　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)， cos〈，〉＝－， 所以sin〈，〉＝. 答案　 3．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為________． 解析　建立坐標(biāo)系如圖， 則A(1,0,0)，E(0,2,1)， B(1,2,0)，C1(0,2,2)． ＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)， cos〈，〉＝＝. 所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.

3、 答案　 4．已知直二面角α－l－β，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，點(diǎn)B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD＝________. 解析　如圖，建立直角坐標(biāo)系D－xyz，由已知條件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，由AB＝2解得t＝. 答案　 5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1中點(diǎn)，G是DD1中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)且FB＝BC，則GB與EF所成的角為________． 解析　如圖建立直角坐標(biāo)系D－xyz， 設(shè)DA＝1，由已知條件 G，B，E，F(xiàn)，＝， ＝， cos〈，〉＝＝0， 則⊥. 答案　90° 6．正四棱錐S －

4、ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC的夾角的大小為________． 解析　如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz. 設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P. 則＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)． 設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n＝(0,1,1)， 則cos〈，n〉＝＝＝. ∴〈，n〉＝60°， ∴直線BC與平面PAC的夾角為90°－60°＝30°. 答案　30° 7. 如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正

5、方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足MP＝MC，則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為________． 解析　以D為原點(diǎn)，DA、DC所在直線分別為x、y軸建系如圖： 設(shè)M(x，y,0)，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，則P，C(0，a,0)， 則MC＝， MP＝ . 由MP＝MC得x＝2y，所以點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為直線y＝x的一部分． 答案　① 8．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在線段BD1上，當(dāng)∠APC最大時(shí)，三棱錐P－ABC的體積為________．　 解析　以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB1為z軸建立空間直角坐

6、標(biāo)系(如圖所示)． 設(shè)＝λ，可得：P(λ，λ，λ)． 再由cos ∠APC＝可求得 當(dāng)λ＝時(shí)，∠APC最大． 故VP－ABC＝××1×1×＝. 答案　 9．已知P是二面角α－AB－β棱上的一點(diǎn)，分別在α、β平面上引射線PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小為________． 解析　不妨設(shè)PM＝a，PN＝b，如圖， 作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F， ∵∠EPM＝∠FPN＝45°， ∴PE＝a，PF＝b， ∴·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋· ＝abcos 60°－a×bcos 45°－abcos 45°＋a×b

7、 ＝－－＋＝0， ∴⊥，∴二面角α－AB－β的大小為90°. 答案　90° 10．已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為________． 解析　如圖，建立直角坐標(biāo)系D－xyz，設(shè)DA＝1由已知條件A(1,0,0)，E，F(xiàn) ＝，＝ 設(shè)平面AEF的法向量為n＝(x，y，z)， 面AEF與面ABC所成的二面角為θ 由 令y＝1，z＝－3，x＝－1，則n＝(－1,1，－3) 平面ABC的法向量為m＝(0,0，－1) cos θ＝cos〈n，m〉＝，tan θ＝. 答案

8、　 二、解答題 11. 如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是棱CC1的中點(diǎn)． (1)求證：A1B⊥AM； (2)求直線AM與平面AA1B1B所成角的正弦值． 解　(1)∵C1C⊥平面ABC，BC⊥AC，∴分別以CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． 則B(0,1,0)，A1(，0，)，A(，0,0)，M. ∴＝(－，1，－)，＝， ∴·＝3＋0－3＝0，∴⊥. 即A1B⊥AM. (2)由(1)，知＝(－，1,0)，＝(0,0，)， 設(shè)平面AA1B1B的法向量為n＝(x，y，z)，

9、則不妨取n＝(，3,0)． 設(shè)直線AM與平面AA1B1B所成角為θ. ∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝. 12. 如圖，已知正三棱柱ABC vA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在側(cè)棱AA1上，點(diǎn)F在側(cè)棱BB1上，且AE＝2，BF＝. (1)求證：CF⊥C1E； (2)求二面角E－CF－C1的大?。? 解　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則由已知可得A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2，3)，E(0,0，2)，F(xiàn)(，1，)． (1)證明?。?0，－2，－)，＝(，－1，)． ·＝0＋2－2＝0， 所以CF⊥C1E. (2)解　

10、＝(0，－2,2)，設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為m＝(x，y，z)， 由m⊥，m⊥，得 即解得 可取m＝(0，，1)， 設(shè)側(cè)面BC1的一個(gè)法向量為n，由n⊥，n⊥，及＝(，－1,0)，＝(0,0,3)，可取n＝(1，，0)． 設(shè)二面角E－CF－C1的大小為θ，于是由θ為銳角可得 cos θ＝＝＝，所以θ＝45°. 即所求二面角E－CF－C1的大小為45°. 13. 如圖所示，已知點(diǎn)P在正方體ABCD－A′B′C′D′的對(duì)角線BD′上，∠PDA＝60°. (1)求DP與CC′所成角的大??； (2)求DP與平面AA′D′D所成角的大?。? 解　如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)

11、度建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz. 則＝(1,0,0)，＝(0,0,1)． 連接BD，B′D′. 在平面BB′D′D中，延長(zhǎng)DP交B′D′于H. 設(shè)＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈，〉＝60°，即·＝||||cos〈，〉， 可得2m＝.解得m＝，所以＝. (1)因?yàn)閏os〈，〉＝＝， 所以〈，〉＝45°，即DP與CC′所成的角為45°. (2)平面AA′D′D的一個(gè)法向量是＝(0,1,0)． 因?yàn)閏os〈，〉＝＝， 所以〈，〉＝60°， 可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°. 14．如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA

12、⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6. (1)求證：BD⊥平面PAC； (2)求二面角P－BD－A的大小． (1)證明　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， 則A(0,0,0)，B(2，0,0)， C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)， ∴＝(0,0,3)，＝(2，6,0)，＝(－2，2,0)．∴·＝0，·＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC. 又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC. (2)解　設(shè)平面ABD的法向量為m＝(0,0,1)， 設(shè)平面PBD的法向量為n＝(x，y，z)， 則n·＝0，n·＝0.∵＝(－2，0,3)， ∴解得 令x＝，則n＝(，3,2)， ∴cos〈m，n〉＝＝. ∴二面角P－BD－A的大小為60°.