2022年高中數(shù)學(xué) 2.1 平面直角坐標(biāo)系中的基本公式 2.1.1 數(shù)軸上的基本公式教案 新人教B版必修2

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 2.1 平面直角坐標(biāo)系中的基本公式 2.1.1 數(shù)軸上的基本公式教案 新人教B版必修2 教學(xué)分析　　　　　 這一小節(jié)，在教學(xué)上往往被忽視．但一維坐標(biāo)幾何是二維、三維坐標(biāo)幾何的基礎(chǔ)．教師一定要下些工夫，讓學(xué)生牢固掌握．首先復(fù)習(xí)數(shù)軸，建立數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系．然后引入位移向量的概念，建立直線上的向量與實(shí)數(shù)的一一對應(yīng)．以往在平面解析幾何中，不引入向量的概念，由有向線段代替．對有向線段，也沒有引入運(yùn)算的概念，這樣數(shù)軸上的基本計(jì)算公式，證明起來比較麻煩．現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)中已引入平面向量知識(shí)，如果在數(shù)軸上引入向量及其加減運(yùn)算，學(xué)生會(huì)更好地理解坐標(biāo)幾何基本公式的推導(dǎo)．也為今后進(jìn)

2、一步的學(xué)習(xí)坐標(biāo)幾何打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)． 值得注意的是本節(jié)內(nèi)容比較容易接受，可以指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)完成，或指定一名具有表現(xiàn)力且成績優(yōu)秀的學(xué)生給同學(xué)們講解． 三維目標(biāo)　　　　　 1．通過對數(shù)軸的復(fù)習(xí)，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，提高學(xué)生的應(yīng)用能力． 2．理解實(shí)數(shù)運(yùn)算在數(shù)軸上的幾何意義．掌握用數(shù)軸上兩點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算兩點(diǎn)距離的公式，掌握數(shù)軸上向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想． 重點(diǎn)難點(diǎn)　　　　　 教學(xué)重點(diǎn)：直線坐標(biāo)系和數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式應(yīng)用． 教學(xué)難點(diǎn)：理解向量的有關(guān)概念． 課時(shí)安排　　　　　 1課時(shí) 導(dǎo)入新課　　　　　 設(shè)計(jì)1.在初中，我們學(xué)習(xí)了數(shù)軸上兩

3、點(diǎn)間的距離公式，今天，我們從向量的角度來分析數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，教師點(diǎn)出課題． 設(shè)計(jì)2.從本節(jié)開始，我們系統(tǒng)學(xué)習(xí)坐標(biāo)系，并利用坐標(biāo)系解決幾何問題，今天我們先學(xué)習(xí)第二章第一大節(jié)的第一小節(jié)，教師點(diǎn)出課題． 推進(jìn)新課　　　　　 (2)閱讀教材，給出向量的有關(guān)概念． (3)相等的向量的坐標(biāo)相等嗎？坐標(biāo)相等的向量相等嗎？ (4)試討論＋. (5)對于數(shù)軸上的任意一個(gè)向量，怎樣用它的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)的坐標(biāo)來計(jì)算它的坐標(biāo)． (6)寫出數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式． 討論結(jié)果： (1)給出了原點(diǎn)、度量單位和正方向的直線叫做數(shù)軸，或者說在這條直線上建立了直線坐標(biāo)系．點(diǎn)P與實(shí)數(shù)x的

4、對應(yīng)法則是： 在數(shù)軸上，點(diǎn)P與實(shí)數(shù)x的對應(yīng)法則是：如果點(diǎn)P在原點(diǎn)朝正向的一側(cè)，則x為正數(shù)，且等于點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離；如果點(diǎn)P在原點(diǎn)朝負(fù)向的一側(cè)，則x為負(fù)數(shù)，其絕對值等于點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離．原點(diǎn)表示數(shù)0.依據(jù)這個(gè)法則我們就在實(shí)數(shù)集和數(shù)軸上的點(diǎn)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系．即對于數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)；反之，對于任何一個(gè)實(shí)數(shù)，數(shù)軸上也存在一個(gè)確定的點(diǎn)與之對應(yīng)． 若點(diǎn)P與實(shí)數(shù)x對應(yīng)，則稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為x，記作P(x)． (2)如下圖所示． 如果數(shù)軸上的任意一點(diǎn)A沿著軸的正向或負(fù)向移動(dòng)到另一點(diǎn)B，則說點(diǎn)在軸上做了一次位移，點(diǎn)不動(dòng)則說點(diǎn)做了零位移．位移是一個(gè)既有大小又有方向的量，通常叫

5、做位移向量，本書簡稱為向量． 從點(diǎn)A到點(diǎn)B的向量，記作，讀作向量AB.點(diǎn)A叫做向量的起點(diǎn)，點(diǎn)B叫做向量的終點(diǎn)，線段AB的長叫做向量的長度，記作||. 數(shù)軸上同向且等長的向量叫做相等的向量． 例如圖中的＝. 我們可用實(shí)數(shù)表示數(shù)軸上的一個(gè)向量．例如上圖中的向量，即從點(diǎn)A沿x軸的正向移動(dòng)3個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)B，可用正數(shù)3表示；反之，用－3表示B為起點(diǎn)A為終點(diǎn)的向量，3和－3分別叫做向量和的坐標(biāo)或數(shù)量． 一般地，軸上向量的坐標(biāo)是一個(gè)實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)的絕對值為線段AB的長度，如果起點(diǎn)指向終點(diǎn)的方向與軸同方向，則這個(gè)實(shí)數(shù)取正數(shù)；反之取負(fù)數(shù)．向量坐標(biāo)的絕對值等于向量的長度． 起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的向量是零向量，它

6、沒有確定的方向，它的坐標(biāo)為0. 向量的坐標(biāo)，在本書中用AB表示． (3)例如在下圖中 AB＝4，BA＝－4，|AB|＝4，|BA|＝4. 顯然AB＝－BA或AB＋BA＝0. 容易推斷，相等的向量，它們的坐標(biāo)相等；反之，如果數(shù)軸上兩個(gè)向量的坐標(biāo)相等，則這兩個(gè)向量相等．如果把相等的所有向量看作一個(gè)整體，作為同一個(gè)向量，則實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的向量之間是一一對應(yīng)的． (4)在數(shù)軸上，如果點(diǎn)A做一次位移到點(diǎn)B，接著由點(diǎn)B再做一次位移到點(diǎn)C，則位移叫做位移與位移的和．記作＝＋. 由數(shù)軸上向量坐標(biāo)的定義和有理數(shù)的運(yùn)算法則，容易歸納出，對數(shù)軸上任意三點(diǎn)A、B、C，都具有關(guān)系：AC＝AB＋BC.

7、(5)設(shè)是數(shù)軸上的任一個(gè)向量，例如下圖 O是原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為x2，則OB＝OA＋AB，或AB＝OB－OA. 依軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的定義，OB＝x2，OA＝x1，所以AB＝x2－x1. (6)用d(A，B)表示A、B兩點(diǎn)的距離，根據(jù)這個(gè)公式可以得到，數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B的距離公式是d(A，B)＝|x2－x1|. 思路1 例1已知點(diǎn)A(1)，B(3)，求AD＋DB和|AB|(D是數(shù)軸上的任一點(diǎn))． 解：AD＋DB＝AB＝3－1＝2. |AB|＝|2|＝2. 變式訓(xùn)練 A、B是數(shù)軸上兩點(diǎn)，已知B(－1)，且|AB|＝2，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是______． 答案：1或－

8、3 思路2 例2設(shè)A、B、C、D是同一直線上四個(gè)不同點(diǎn)，求證AB·CD＋BC·AD＋CA－BD＝0. 證明：設(shè)A(a)，B(b)，C(c)，D(d)． AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝(b－a)(d－c)＋(c－b)(d－a)＋(a－c)(d－b) ＝bd－bc－ad＋ac＋cd－ac－bd＋ab＋ad－ab－cd＋bc ＝0. 則AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝0. 變式訓(xùn)練 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)P為直線AB上任意一點(diǎn)． 求證：PA＋PB＝2PM. 證明：設(shè)A(a)，B(b)，P(x)，則M()，PA＋PB＝a－x＋b－x＝2(－x)＝2PM，即PA＋PB＝

9、2PM. 1．關(guān)于位移向量說法正確的是(　　) A．?dāng)?shù)軸上任意一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)有正負(fù)和大小，它是一個(gè)位移向量 B．兩個(gè)相等的向量的起點(diǎn)可以不同 C．每一個(gè)實(shí)數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上的唯一的一個(gè)位移向量 D.的大小是數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)距離之差的絕對值 答案：B 2．化簡－－等于(　　) A．2　　　　　B．零位移　　　　　C．－2　　　　　D．2 解析：－－＝(＋)－－＝－2. 答案：C 3．若A(x)，B(x2)(其中x∈R)，|AB|的最小值為(　　) A. B．0 C. D．－ 解析：|AB|＝|x2－x|＝|(x－)

10、2－|≥0，當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)． 答案：B 4．?dāng)?shù)軸上到A(1)，B(2)兩點(diǎn)距離之和等于1的點(diǎn)的集合為(　　) A．{0,3} B．{0,1,2,3} C．{1,2} D．{x|1≤x≤2} 解析：畫出數(shù)軸可知，滿足條件的點(diǎn)在線段AB上． 答案：D 已知對x∈R總有|x－1|＋|x－2|≥m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 分析：對|x－1|和|x－2|賦予幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合解決． 解：設(shè)A(1)，B(2)，P(x)，則|x－1|＋|x－2|＝|PA|＋|PB|. 如下圖所示： 則|PA|＋|PB|≥|AB

11、|＝1，則m≤1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，＋∞)． 本節(jié)課學(xué)習(xí)了： 1．直線坐標(biāo)系及其兩點(diǎn)間距離公式； 2．直線坐標(biāo)系中的向量及其坐標(biāo)． 本節(jié)練習(xí)A　5題，練習(xí)B　3,4題. 本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)首先通過對數(shù)軸的溫故知新，學(xué)習(xí)一維坐標(biāo)系，溝通實(shí)數(shù)及其運(yùn)算與數(shù)軸上的點(diǎn)及兩點(diǎn)間的相對位置之間的關(guān)系．創(chuàng)建直線坐標(biāo)系中基本計(jì)算公式．按本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)講解效果很好． 備選習(xí)題 1．下列說法中正確的是(　　) A．零向量有確定的方向 B．?dāng)?shù)軸上等長的向量叫做相等的向量 C．AB＝－BA D．|AB|＝BA 答案：C 2．已知1在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)是A，在數(shù)軸上把A向左平移4個(gè)單位長度得到點(diǎn)B，再向右平移3個(gè)單位長度，所得的點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)是什么？向量和向量的坐標(biāo)分別是什么？向量的坐標(biāo)為多少？ 答案：C對應(yīng)的數(shù)是0，向量和向量的坐標(biāo)分別是－4、3，向量的坐標(biāo)為－1. 3．?dāng)?shù)軸上A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為x1＝a＋b，x2＝a－b，分別求AB、BA、d(A，B)、d(B，A)． 解：AB＝x2－x1＝(a－b)－(a＋b)＝－2b.BA＝－AB＝2b. d(A，B)＝|x2－x1|＝|－2b|＝2|b|，d(B，A)＝d(A，B)＝2|b|.