2022年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第十課時 等比數(shù)列的前n項和教案（二） 蘇教版必修5

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第十課時 等比數(shù)列的前n項和教案（二） 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo)： 綜合運(yùn)用等比數(shù)列的定義式、通項公式、性質(zhì)及前n項求和公式解決相關(guān)問題，提高學(xué)生分析、解決問題的能力. 教學(xué)重點： 進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式. 教學(xué)難點： 靈活使用有關(guān)知識解決問題 教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 前面我們學(xué)習(xí)了哪些有關(guān)等比數(shù)列的知識? 定義式：＝q(q≠0，n≥2) 通項公式：an＝a1qn－1(a1,q≠0) 若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq, Sn＝＝ (q≠1) Sn＝na1，(q＝1) an＝Sn－Sn－1(n≥2)

2、，a1＝S1(n＝1) Ⅱ.講授新課 我們結(jié)合一些練習(xí)來看一下如何靈活應(yīng)用它們. ［例1］求和：（x＋）＋（x2＋）＋…＋（xn＋） (其中x≠0，x≠1，y≠1) 分析：上面各個括號內(nèi)的式子均由兩項組成，其中各括號內(nèi)的前一項與后一項分別組成等比數(shù)列，分別求出這兩個等比數(shù)列的和，就能得到所求式子的和. 解：當(dāng)x≠0，x≠1，y≠1時， （x＋）＋（x2＋）＋…＋（xn＋）＝(x＋x2＋…＋xn)＋(＋＋…＋) ＝＋ ＝＋ 此方法為求和的重要方法之一：分組求和法. ［例2］已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列.

3、分析：由題意可得S3＋S6＝2S9，要證a2，a8，a5成等差數(shù)列，只要證a2＋a5＝2a8即可. 證明：∵S3，S9，S6成等差數(shù)列，∴S3＋S6＝2S9 若q＝1，則S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，由等比數(shù)列中，a1≠0得S3＋S6≠2S9，與題設(shè)矛盾，∴q≠1， ∴S3＝，S6＝，S9＝且 ＋＝ 整理得q3＋q6＝2q9，由q≠0得1＋q3＝2q6 又∵a2＋a5＝a1q＋a1q4＝a1q(1＋q3)，∴a2＋a5＝a1q·2q6＝2a1q7＝2a8 ∴a2，a8，a5成等差數(shù)列. 評述：要注意題中的隱含條件與公式的應(yīng)用條件. ［例3］某制糖廠第1年制糖5萬噸

4、，如果平均每年的產(chǎn)量比上一年增加10%，那么從第1年起，約幾年內(nèi)可使總產(chǎn)量達(dá)到30萬噸(保留到個位)? 分析：由題意可知，每年產(chǎn)量比上一年增加的百分率相同，所以從第1年起，每年的產(chǎn)量組成一個等比數(shù)列，總產(chǎn)量則為等比數(shù)列的前n項和. 解：設(shè)每年的產(chǎn)量組成一個等比數(shù)列{an}，其中a1＝5，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30 ∴＝30，整理可得：1.1n＝1.6 兩邊取對數(shù)，得nlg1.1＝lg1.6，即：n＝≈5 答：約5年內(nèi)可以使總產(chǎn)量達(dá)到30萬噸. 評述：首先應(yīng)根據(jù)題意準(zhǔn)確恰當(dāng)建立數(shù)學(xué)模型，然后求解. Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P58練習(xí)1，2，3 Ⅳ.課時小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，應(yīng)

5、掌握等比數(shù)列的定義式、通項公式、性質(zhì)以及前n項求和公式的靈活應(yīng)用.利用它們解決一些相關(guān)問題時，應(yīng)注意其特點. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P58習(xí)題 3，4，5 等比數(shù)列的前n項和(二) 1．?dāng)?shù)列{an}為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項和為80，且前n項中數(shù)值最大的項為54，它的前2n項的和為6560，求此數(shù)列的首項和公比. 2．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，試判斷該數(shù)列依次k項的和組成的數(shù)列{bn}是否仍為等比數(shù)列？ 3．求數(shù)列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n

6、項和Sn. 4．?dāng)?shù)列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1) (1)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（2）求通項an；(3)當(dāng)k＝－1時，求和a12＋a22＋…＋an2. 5．已知一個項數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列的首項為1，其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求這個數(shù)列的公比和項數(shù). 6．等比數(shù)列{an}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的值. 7．求和（x＋）2＋（x2＋）2＋…＋（xn＋）2 8．求數(shù)

7、列2x2，3x3，4x4，…，nxn，…的前n項和. 等比數(shù)列的前n項和(二)答案 1．?dāng)?shù)列{an}為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項和為80，且前n項中數(shù)值最大的項為54，它的前2n項的和為6560，求此數(shù)列的首項和公比. 分析：利用等比數(shù)列的前n項和公式Sn＝解題. 解：若q＝1，則應(yīng)有S2n＝2Sn，與題意不合，故q≠1. 當(dāng)q≠1時，由已知得 由，得＝82，即q2n－82qn＋81＝0 得qn＝81或qn＝1(舍) ∴qn＝81，故q＞1. {an}的前n項中最大，有an＝54.將qn＝81代入①，得a1＝q－1 ③ 由

8、an＝a1qn－1＝54，得a1qn＝54q 即81a1＝54q ④ 由③、④得a1＝2，q＝3 評述：在數(shù)學(xué)解題中還應(yīng)有一個整體觀念，如本題求出qn＝81，應(yīng)保留qn為一個整體求解方便. 2．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，試判斷該數(shù)列依次k項的和組成的數(shù)列{bn}是否仍為等比數(shù)列？ 分析：應(yīng)對{an}的公比q分類討論. 解：設(shè)bn＝a(n－1)k+1＋a(n－1)k+2＋…＋ank，且數(shù)列{an}的公比為q 則當(dāng)q＝1時，b1＝b2＝…＝bn＝…＝ka1, ∴{bn}為公比是1的等比數(shù)列. 當(dāng)q≠±1時，bn＝，＝＝qk ∴{bn}為公比是q

9、k的等比數(shù)列. 當(dāng)q＝－1時，若k為偶數(shù)，則bn＝0，此時{bn}不能為等比數(shù)列. 若k為奇數(shù)，數(shù)列{bn}為公比為－1的等比數(shù)列. 綜上：當(dāng){an}的公比不為－1時，數(shù)列{bn}仍為等比數(shù)列；當(dāng){an}的公比為－1時，若k為偶數(shù)，則{bn}不是等比數(shù)列；當(dāng)k為奇數(shù)時，數(shù)列{bn}為公比為－1的等比數(shù)列. 3．求數(shù)列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n項和Sn. 解：(1)a＝0時，Sn＝1；(2)a＝1時，Sn＝n(n＋1)； (3)a＝－1時，Sn＝； (4)a＝±1；a≠0時，Sn＝. 4．?dāng)?shù)列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)

10、(1)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（2）求通項an；(3)當(dāng)k＝－1時，求和a12＋a22＋…＋an2. 分析：由于條件中涉及Sn與an的關(guān)系，因此，要考慮Sn－Sn－1＝an(n≥2)的運(yùn)用，然后回答定義. （1）證明：∵Sn＝1＋kan ① Sn－1＝1＋kan－1 ② ①－②得Sn－Sn－1＝kan－kan－1(n≥2) ∴(k－1)an＝kan－1，＝ (常數(shù))，（n≥2） ∴{an}是公比為的等比數(shù)列. （2）解：∵S1＝a1＝1＋ka1，∴a1＝ ∴an＝·()n－1＝－ (3)解：∵{an}中a1＝，q＝ ∴

11、{an2}為首項為（）2，公比為（）2的等比數(shù)列. 當(dāng)k＝－1時，等比數(shù)列{an2}的首項為 ，公比為 ∴a12＋a22＋…＋an2＝＝[1－（）n] 評述：應(yīng)注意an＝的應(yīng)用. 5．已知一個項數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列的首項為1，其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求這個數(shù)列的公比和項數(shù). 解：設(shè)數(shù)列的公比為q，項數(shù)為2n 則，得q(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝170，∴q＝2 又∵＝85，即＝85 ∴22n＝256＝28，∴2n＝8 評述：在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中，共涉及到a1，n，q，an，Sn5個量，其中a1和q是基本量，利用這兩個公式，可知三求二.

12、6．等比數(shù)列{an}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的值. 分析：關(guān)鍵是確定首項和公比. 解：設(shè)此數(shù)列的首項和公比為a1和q. 則 由②÷①得q4＝2. ∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16 ＝－＝＝q16＝24＝16. 評述：在研究等比數(shù)列的問題中，要確定基本量a1和q,仍然離不開方程思想，在具體求解時，得到的方程往往是高次方程，因此，要注意優(yōu)化與化簡. 7．求和（x＋）2＋（x2＋）2＋…＋（xn＋）2 分析：注意到（xn＋）2＝an＝x2n＋＋2，且{x2n}與{()2n}為等比數(shù)列，故可考慮拆項法. 解：Sn＝(x2＋x4＋…＋x

13、2n)＋(＋＋…＋)＋ 當(dāng)x＝±1時， Sn＝n＋n＋2n＝4n. 當(dāng)x≠±1時，Sn＝＋＋2n ＝＋2n 評述：在運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式時，要注意分析公比是否為1. 8．求數(shù)列2x2，3x3，4x4，…，nxn，…的前n項和. 分析：可以通過錯位相減的方法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問題. 解：（1）當(dāng)x＝0時，Sn＝0. (2)當(dāng)x＝1時，Sn＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝n(n＋3). (3)當(dāng)x≠1時，Sn＝2x2＋3x3＋4x4＋…＋(n＋1)xn+1 ① xSn＝2x3＋3x4＋4x5＋…＋nxn+1＋(n＋1)xn+2 ② ①－②得：（1－x）Sn＝2x2＋x3＋x4＋…＋xn+1－(n＋1)xn+2 ＝2x2＋－(n＋1)xn+2 ∴Sn＝ ③ 又當(dāng)x＝0時，Sn＝0適合③ ∴Sn＝ 評述：錯位相減法是一種常用的重要的求和方法.