2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第05講 函數(shù)圖象及數(shù)字特征教案 新人教版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第05講 函數(shù)圖象及數(shù)字特征教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．掌握基本初等函數(shù)的圖象的畫法及性質(zhì)。如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等； 2．掌握各種圖象變換規(guī)則，如：平移變換、對(duì)稱變換、翻折變換、伸縮變換等； 3．識(shí)圖與作圖：對(duì)于給定的函數(shù)圖象，能從圖象的左右、上下分布范圍，變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性。甚至是處理涉及函數(shù)圖象與性質(zhì)一些綜合性問題； 4．通過實(shí)例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)的圖像，了解它們的變化情況。 二．命題走向 函數(shù)不僅是高中數(shù)學(xué)的核

2、心內(nèi)容，還是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中，函數(shù)知識(shí)占有極其重要的地位。其試題不但形式多樣，而且突出考查學(xué)生聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、分類與討論、數(shù)與形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想、能力。知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、思維力度大、能力要求高，是高考考數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、考能力、考素質(zhì)的主陣地。 從歷年高考形勢(shì)來看： （1）與函數(shù)圖象有關(guān)的試題，要從圖中（或列表中）讀取各種信息，注意利用平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換，注意函數(shù)的對(duì)稱性、函數(shù)值的變化趨勢(shì)，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解題的能力，會(huì)利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題； （2）函數(shù)綜合問題多以知識(shí)交匯題為主，甚至以抽象函數(shù)為原型來考察；

3、 （3）與冪函數(shù)有關(guān)的問題主要以為主，利用它們的圖象及性質(zhì)解決實(shí)際問題； 預(yù)測(cè)07年高考函數(shù)圖象：（1）題型為1到2個(gè)填空選擇題；（2）題目多從由解析式得函數(shù)圖象、數(shù)形結(jié)合解決問題等方面出題； 函數(shù)綜合問題：（1）題型為1個(gè)大題；（2）題目多以知識(shí)交匯題目為主，重在考察函數(shù)的工具作用； 冪函數(shù)：單獨(dú)出題的可能性很小，但一些具體問題甚至是一些大題的小過程要應(yīng)用其性質(zhì)來解決； 三．要點(diǎn)精講 1．函數(shù)圖象 （1）作圖方法：以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本講座的重點(diǎn)。 作函數(shù)圖象的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)

4、的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢(shì)）；④描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象。 運(yùn)用描點(diǎn)法作圖象應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處這就要求對(duì)所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢(shì)等作一個(gè)大概的研究。而這個(gè)研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個(gè)難點(diǎn)用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換，這也是個(gè)難點(diǎn)。 （2）三種圖象變換：平移變換、對(duì)稱變換和伸縮變換等等； ①平移變換： Ⅰ、水平平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向左或向右平移個(gè)單位即可得到； 1）y=f(x)y=f(x+h

5、)；2）y=f(x) y=f(x-h)； Ⅱ、豎直平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向上或向下平移個(gè)單位即可得到； 1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)-h。 ②對(duì)稱變換： Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱即可得到； y=f(x) y=f(-x) Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱即可得到； y=f(x) y= -f(x) Ⅲ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可得到； y=f(x) y= -f(-x) Ⅳ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱得到。 y=f(x) x=f(y) Ⅴ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于

6、直線對(duì)稱即可得到； y=f(x) y=f(2a-x)。 ③翻折變換： Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像的軸下方部分沿軸翻折到軸上方，去掉原軸下方部分，并保留的軸上方部分即可得到； Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像右邊沿軸翻折到軸左邊替代原軸左邊部分并保留在軸右邊部分即可得到 ④伸縮變換： Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長或壓縮（）為原來的倍得到； y=f(x)y=af(x) Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長或壓縮（）為原來的倍得到。 f(x)y=f(x)y=f() （3）識(shí)圖：分布范圍、變化趨勢(shì)、

7、對(duì)稱性、周期性等等方面。 2．冪函數(shù) 在第一象限的圖象，可分為如圖中的三類： 圖 在考查學(xué)生對(duì)冪函數(shù)性的掌握和運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決問題時(shí)，所涉及的冪函數(shù)中限于在集合中取值。 冪函數(shù)有如下性質(zhì)： ⑴它的圖象都過（1，1）點(diǎn)，都不過第四象限，且除原點(diǎn)外與坐標(biāo)軸都不相交； ⑵定義域?yàn)镽或的冪函數(shù)都具有奇偶性，定義域?yàn)榈膬绾瘮?shù)都不具有奇偶性； ⑶冪函數(shù)都是無界函數(shù)；在第一象限中，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)為增函數(shù)； ⑷任意兩個(gè)冪函數(shù)的圖象至少有一個(gè)公共點(diǎn)（1，1），至多有三個(gè)公共點(diǎn)； 四．典例解析 題型1：作圖 A

8、 B C D 例1．（06重慶 理）如圖所示，單位圓中弧AB的長為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的２倍，則函數(shù)y=f(x)的圖象是（ ） 解析：顯然當(dāng)時(shí)，陰影部分的面積等于圓的面積減去以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，，即點(diǎn)在直線的下方，故應(yīng)在C、D中選擇。而當(dāng)當(dāng)時(shí)，陰影部分的面積等于圓的面積加上以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，，即點(diǎn)在直線的上方，故應(yīng)選擇D。 點(diǎn)評(píng)：該題屬于實(shí)際應(yīng)

9、用的題目，結(jié)合函數(shù)值變化的趨勢(shì)和一些特殊點(diǎn)函數(shù)值解決問題即可。要明確函數(shù)圖像與函數(shù)自變量、變量值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，特別是函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖象個(gè)關(guān)系； 例2．（1996上海，文、理8）在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=（）x的圖象只可能是（ ） 解析一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出0<<1。拋物線方程是y=a（x+）2－，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－，－），又由0<<1，可得－<－<0.觀察選擇支，可選A。 解析二：求y=ax2+bx與x軸的交點(diǎn)，令ax2+bx=0，解得x=0或x=－，而－1<－<0。故選A。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，源于課本，考查基本知識(shí)

10、，難度不大。本題雖小，但一定要細(xì)致觀察圖象，注意細(xì)微之處，獲得解題靈感。 題型2：識(shí)圖 例3．（06江西 12）某地一年內(nèi)的氣溫(單位：℃)與時(shí)間(月份)之間的關(guān)系如圖所示，已知該年的平均氣溫為10℃，令表示時(shí)間段的平均氣溫，與之間的函數(shù)關(guān)系用下圖表示，則正確的應(yīng)該是（ ） 解析：平均氣溫10℃與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，觀察圖像可知兩交點(diǎn)的兩側(cè)都低于平均氣溫， 而中間高于平均氣溫。時(shí)間段內(nèi)的平均氣溫，應(yīng)該從開始持續(xù)到平均氣溫左交點(diǎn)向右一段距離才開始達(dá)到平均氣溫，持續(xù)上升一段時(shí)間，最后回落到平均氣溫。答案A。 點(diǎn)評(píng)：聯(lián)系生活，體會(huì)變量間的相互關(guān)系，重視觀察圖像的變化趨勢(shì)，結(jié)合

11、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)處理實(shí)際問題。 例4．（xx上海文，理16）一般地，家庭用電量（千瓦時(shí)）與氣溫（℃）有一定的關(guān)系，如圖2—1所示，圖（1）表示某年12個(gè)月中每月的平均氣溫.圖（2）表示某家庭在這年12個(gè)月中每個(gè)月的用電量.根據(jù)這些信息，以下關(guān)于該家庭用電量與其氣溫間關(guān)系的敘述中，正確的是（ ） 圖 A．氣溫最高時(shí)，用電量最多 B．氣溫最低時(shí)，用電量最少 C．當(dāng)氣溫大于某一值時(shí)，用電量隨氣溫增高而增加 D．當(dāng)氣溫小于某一值時(shí)，用電量隨氣溫漸低而增加 解析：經(jīng)比較可發(fā)現(xiàn)，2月份用電量最多，而2月份氣溫明顯不是最高。因此A項(xiàng)錯(cuò)誤。同理可判斷出B項(xiàng)錯(cuò)誤。由5、6、7三個(gè)月的氣溫和用電

12、量可得出C項(xiàng)正確。 點(diǎn)評(píng)：該題考查對(duì)圖表表達(dá)的函數(shù)的識(shí)別和理解能力，要從題目解說入手，結(jié)合圖像和實(shí)際解決問題。 題型3：函數(shù)的圖象變換 例5．（xx全國理，10）函數(shù)y=1－的圖象是（ ） 解析一：該題考查對(duì)f（x）=圖象以及對(duì)坐標(biāo)平移公式的理解，將函數(shù)y=的圖形變形到y(tǒng)=，即向右平移一個(gè)單位，再變形到y(tǒng)=－即將前面圖形沿x軸翻轉(zhuǎn)，再變形到y(tǒng)=－+1，從而得到答案B。 解析二：可利用特殊值法，取x=0，此時(shí)y=1，取x=2，此時(shí)y=0。因此選B。 點(diǎn)評(píng)：借助函數(shù)圖像的變換規(guī)則解決實(shí)際問題。 例6．（05廣東理 9）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱?，F(xiàn)將

13、的圖象沿軸向左平移2個(gè)單位，再沿軸向上平移1個(gè)單位，所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖2所示），則函數(shù)的表達(dá)式為（ ） A． B． C． D． 解析：原函數(shù)的圖像仍然是由兩條折線段組成，折線段的端點(diǎn)（－2，0）、（0，1）、（1，3）向下平移1個(gè)單位是端點(diǎn)（－2，－1）、（0，0）、（1，2），再向右平移2個(gè)單位端點(diǎn)為（0，－1）、（2，0）、（3，2），關(guān)于直線對(duì)稱后折線段端點(diǎn)為（－1，0）、（0，2）、（2，3）。答案A。 點(diǎn)評(píng)：該題是應(yīng)用函數(shù)圖象變換求函數(shù)解析式。由函數(shù)圖像的變換的函數(shù)的性質(zhì)逆向變換既可，注意函數(shù)圖像的變換中平移、對(duì)稱都不會(huì)改變?cè)瓉砗瘮?shù)的形狀。 題

14、型4：函數(shù)圖象應(yīng)用 例7．函數(shù)與的圖像如下圖：則函數(shù)的圖像可能是（ ） 解析：∵函數(shù)的定義域是函數(shù)與的定義域的交集，圖像不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，故可以排除C、D。 由于當(dāng)x為很小的正數(shù)時(shí)且，故?！噙xA。 點(diǎn)評(píng)：明確函數(shù)圖像在x軸上下方與函數(shù)值符號(hào)改變的關(guān)系，數(shù)值相乘“同號(hào)為正、異號(hào)為負(fù)”。 例8．（xx春季北京、安徽，14）已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖，求b的范圍。 解法一：觀察f(x)的圖象，可知函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，即f(0)=0,得d=0， 又f(x)的圖象過(

15、1，0)， ∴f(x)=a+b+c　　?、? 又有f(－1)＜0，即－a+b－c＜0　　　　 ② ①+②得b＜0，故b的范圍是(－∞，0) 解法二：如圖f(0)=0有三根0，1，2， ∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax， ∴b=－3a， ∵當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，從而有a>0， ∴b＜0。 點(diǎn)評(píng)：通過觀察函數(shù)圖像，變形函數(shù)解析式，得參數(shù)的取值范圍。 題型5：函數(shù)圖像變換的應(yīng)用 例9．已知，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（ ） A．2 B．3 C．4 D．2

16、或3或4 根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，知方程的根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 該題通過作圖很可能選錯(cuò)答案為A，這是我們作圖的易錯(cuò)點(diǎn)。若作圖標(biāo)準(zhǔn)的話，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系下畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，由圖知當(dāng)時(shí)，圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)；當(dāng)時(shí)，圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)；當(dāng)時(shí)，圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)。選項(xiàng)為D。 點(diǎn)評(píng)：該題屬于“數(shù)形結(jié)合”的題目。解題思路是將“函數(shù)的零點(diǎn)”問題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)的交點(diǎn)問題”，借助函數(shù)的圖象以及函數(shù)的圖象變換規(guī)則求得結(jié)果即可。 例10．設(shè)，若，且，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 解析：保留函數(shù)在x軸上方的圖像，將其在x軸下方的圖像翻折到x軸上方區(qū)即可得到

17、函數(shù)的圖像。 通過觀察圖像，可知在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，由，且可知，所以，，從而，即，又，所以。選項(xiàng)為A。 點(diǎn)評(píng)：考察函數(shù)圖像的翻折變換。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)由簡到繁的原則，通過研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，進(jìn)而得到的圖像和性質(zhì)。 題型6：冪函數(shù)概念及性質(zhì) O x y 例11．函數(shù)互質(zhì)）圖像如圖所示，則（ ） A．均為奇數(shù) B．一奇一偶 C．均為奇數(shù) D．一奇一偶 解析：該題考察了冪函數(shù)的性質(zhì)，由于冪函數(shù)在第一象限的圖像趨勢(shì)表明函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)只需保證，即，有；同時(shí)函數(shù)只在第一象限有圖像，則函數(shù)的定義域?yàn)?，此時(shí)定為偶數(shù)，即為偶數(shù)，由于兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則定為奇數(shù)。 答案

18、：選項(xiàng)為B。 點(diǎn)評(píng)：該題突破了傳統(tǒng)借形言數(shù)思路，屬于“由圖形得解析式”的題目。為此需要分清冪函數(shù)在幾種不同情況下函數(shù)的圖像的特點(diǎn)，更甚至在同一種情形下取不同數(shù)值對(duì)函數(shù)圖像的影響也要了解。 例12．畫出函數(shù)的圖象，試分析其性質(zhì)。 解析：先要找出它是哪一種函數(shù)平移而來的，它應(yīng)是由反比例函數(shù)平移而來，（這種變換是解決這類問題的關(guān)鍵），由此說明，是由圖象向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到的，如圖所示：具體畫圖時(shí)對(duì)于圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位置要大致準(zhǔn)確，即。故圖象一定過（0，－1）和兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。 再觀察其圖象可以得到如下性質(zhì)：定義域，單調(diào)區(qū)間上單調(diào)遞增；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，但是圖象是

19、中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是（3，－2）。 點(diǎn)評(píng)：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決該類問題基礎(chǔ)。注意此題兩個(gè)增區(qū)間之間不能用并集號(hào)。 題型7：抽象函數(shù)問題 例13．函數(shù)的定義域?yàn)镈：且滿足對(duì)于任意，有 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）判斷的奇偶性并證明； （Ⅲ）如果上是增函數(shù)，求x的取值范圍。 （Ⅰ）解：令 （Ⅱ）證明：令 令 ∴為偶函數(shù)。 （Ⅲ） ∴ （1） ∵上是增函數(shù)， ∴（1）等價(jià)于不等式組： ∴ ∴x的取值范 圍為 點(diǎn)評(píng)：以抽象函數(shù)為模型，考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識(shí)，還考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力。認(rèn)真分析處理好各知識(shí)的相互聯(lián)系，

20、抓住條件f(x1+x2)＝f(x1)·f(x2)找到問題的突破口，由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)變形為是解決問題的關(guān)鍵。 例14．（xx廣東19）設(shè)函數(shù) 上滿足，且在閉區(qū)間[0，7]上，只有 （Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性； （Ⅱ）試求方程在閉區(qū)間[－xx，xx]上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。 解析：（Ⅰ）由 ， 從而知函數(shù)的周期為 又， ，所以 故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)； (II) 又 故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有有兩個(gè)解， 從而可知函數(shù)在[0,xx]上有402個(gè)解， 在[－xx.0]上有400個(gè)解,所以函數(shù)在[－xx,xx]上有802個(gè)解。

21、點(diǎn)評(píng)：充分利用函數(shù)的數(shù)字特征，并將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)，再來解題。 題型8：函數(shù)圖象綜合問題 例15．如圖，點(diǎn)A、B、C都在函數(shù)y=的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別是a、a+1、a+2。又A、B、C在x軸上的射影分別是A′、B′、C′,記△AB′C的面積為f(a)，△A′BC′的面積為g(a)。 （1）求函數(shù)f(a)和g(a)的表達(dá)式； （2）比較f(a)與g(a)的大小，并證明你的結(jié)論。 解： (1)連結(jié)AA′、BB′、CC′, 則f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B =(A′A+C′C)=(), g(a)=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′

22、B=。 ∴f(a)

23、稱點(diǎn)在曲線上。 因此，曲線與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。 （3）證明：因?yàn)榍€與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)， ∴方程組有且僅有一組解， 消去，整理得，這個(gè)關(guān)于的一元二次方程有且僅有一個(gè)根， ∴，即得， 因?yàn)?，所以? 點(diǎn)評(píng)：充分利用函數(shù)圖像變換的原則，解決復(fù)合問題。 五．思維總結(jié) 函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類函數(shù)和定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地掌握函數(shù)圖象的平移變換、對(duì)稱變換。 常見的函數(shù)數(shù)字特征有： （1）函數(shù)奇偶性： 奇函數(shù)； 偶函數(shù)。 （2）函數(shù)單調(diào)性： 單調(diào)遞增或； 單調(diào)遞增或。 （3）函數(shù)周期性 周期為：或； （4）對(duì)稱性 關(guān)于y軸對(duì)稱：； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：； 關(guān)于直線對(duì)稱：或； 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：或。