2022年高三數學一輪復習講義 三角函數的圖像與性質教案 新人教A版

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1、2022年高三數學一輪復習講義 三角函數的圖像與性質教案 新人教A版基礎梳理1“五點法”描圖(1)ysin x的圖象在0,2上的五個關鍵點的坐標為 (0,0)(，0)(2，0) (2)ycos x的圖象在0,2上的五個關鍵點的坐標為 (0,1)，(，1)，(2，1) 2.三角函數的圖象和性質函數性質ysin xycos xytan x定義域RRx|xk，kZ圖象 值域1,11,1R對稱性對稱軸：_ xk(kZ)_ _；對稱中心：_ (k，0)(kZ)_ _對稱軸： xk(kZ)_；對稱中心：_(k，0) (kZ)_ 對稱中心：_ (kZ) _周期2_2單調性單調增區(qū)間_2k，2k(kZ)_；單

2、調減區(qū)間2k，2k (kZ) _單調增區(qū)間2k，2k (kZ) _；單調減區(qū)間2k，2k(kZ)_單調增區(qū)間_(k，k)(kZ)_ 奇偶性奇函數偶函數奇函數3.一般地對于函數f(x)，如果存在一個非零的常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(xT)f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期，把所有周期中存在的最小正數，叫做最小正周期(函數的周期一般指最小正周期)對函數周期性概念的理解周期性是函數的整體性質，要求對于函數整個定義域范圍的每一個x值都滿足f(xT)f(x)，其中T是不為零的常數.如果只有個別的x值滿足f(xT)f(x)，或找到哪怕只有一個x值不滿

3、足f(xT)f(x)，都不能說T是函數f(x)的周期.函數yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為 ，ytan(x)的最小正周期為 .4.求三角函數值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性；關于正、余弦函數的有界性由于正余弦函數的值域都是1,1，因此對于xR，恒有1sin x1，1cos x1，所以1叫做ysin x，ycos x的上確界，1叫做ysin x，ycos x的下確界.(2)形式復雜的函數應化為yAsin(x)k的形式逐步分析x的范圍，根據正弦函數單調性寫出函數的值域；含參數的最值問題，要討論參數對最值的影響.(3)換元法：把sin x或cos x看作

4、一個整體，可化為求函數在區(qū)間上的值域(最值)問題利用換元法求三角函數最值時注意三角函數有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin x(|t|1)，則y(t2)211，解法錯誤.5.求三角函數的單調區(qū)間時，應先把函數式化成形如yAsin(x) (0)的形式，再根據基本三角函數的單調區(qū)間，求出x所在的區(qū)間.應特別注意，應在函數的定義域內考慮.注意區(qū)分下列兩題的單調增區(qū)間不同;利用換元法求復合函數的單調區(qū)間(要注意x系數的正負號) (1)ysin；(2)ysin.熱身練習:1函數ycos，xR()A是奇函數 B既不是奇函數也不是偶函數C是偶函數 D既是奇函數又是偶函數 2函數ytan的定義域

5、為()A.B.C. D.3函數ysin(2x)的圖象的對稱軸方程可能是( )Ax Bx Cx Dx【解析】令2xk，則x(kZ)當k0時，x，選D.4ysin的圖象的一個對稱中心是()A(，0) B. C. D.解析ysin x的對稱中心為(k，0)(kZ)，令xk(kZ)，xk(kZ)，由k1，x得ysin的一個對稱中心是.答案B5下列區(qū)間是函數y2|cos x|的單調遞減區(qū)間的是()A.(0，)B. C. D.6已知函數f(x)sin(2x)，其中為實數，若f(x)|f()|對任意xR恒成立，且f()f()，則f(x)的單調遞增區(qū)間是( )Ak，k(kZ) Bk，k(kZ)Ck，k(kZ)

6、 Dk，k(kZ) 【解析】當xR時，f(x)|f()|恒成立，f()sin()1可得2k或2k，kZf()sin()sinf()sin(2)sinsin0.1cos x1，0cos x1.利用單位圓中的余弦線OM，依題意知0OM1，OM只能在x軸的正半軸上，其定義域為 x|2kx2k，kZ.(2)要使函數有意義，必須使sin xcos x0.利用圖象.在同一坐標系中畫出0,2上ysin x和ycos x的圖象，如圖所示.在0,2內，滿足sin xcos x的x為，再結合正弦、余弦函數的周期是2，所以定義域為.變式訓練1 (1)求函數的定義域；解(1)要使函數有意義，則 圖如圖利用單位圓得：函

7、數的定義域為x|2kx2k，kZ. (2)求函數的定義域.要使函數有意義則利用數軸可得圖圖函數的定義域是x|0x0，0,0)的部分圖象如圖所示(1)求f(x)的解析式；(2)設g(x)f(x)2，求函數g(x)在x，上的最大值，并確定此時x的值【解析】(1)由圖可知A2，則4 .又f()2sin()2sin()0sin()00，0)來確定；的確定：由函數yAsin(x)K最開始與x軸的交點(最靠近原點)的橫坐標為(即令x0，x)確定.例4若方程sinxcosxa在0,2上有兩個不同的實數根x1，x2，求a的取值范圍，并求此時x1x2的值【解析】sinxcosx2sin(x)，x0,2，作出y2

8、sin(x)在0,2內的圖象如圖由圖象可知，當1a2或2a1時，直線ya與y2sin(x)有兩個交點，故a的取值范圍為a(2,1)(1,2)當1a2時，x1x2.x1x2.當2a1時，x1x23，x1x2.【點評】利用三角函數圖象形象直觀，可使有些問題得到順利、簡捷的解決，因此我們必須準確把握三角函數“形”的特征例4已知函數f(x)Asin(x)，xR(其中A0，0，0)的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為M(，2)(1)求f(x)的解析式；(2)將函數f(x)的圖象向右平移個單位后，再將所得圖象上各點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標不變，得到yg(x)的圖象，求函

9、數yg(x)的解析式，并求滿足g(x)且x0，的實數x的取值范圍【解析】(1)由函數圖象的最低點為M(，2)，得A2，由x軸上相鄰兩個交點間的距離為，得，即T，2.又點M(，2)在圖象上，得2sin(2)2，即sin()1，故2k，kZ，2k，又(0，)，.綜上可得f(x)2sin(2x)(2)將f(x)2sin(2x)的圖象向右平移個單位，得到f1(x)2sin2(x)，即f1(x)2sin2x的圖象，然后將f1(x)2sin2x的圖象上各點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標不變，得到g(x)2sin(22x)，即g(x)2sin4x.由得.則即.故x 或 x.題型四 、三角函數的奇偶性與周期性及

10、應用例1已知函數f(x)sin(x)，其中0，|.(1)若coscossinsin0，求的值；(2)在(1)的條件下，若函數f(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，求函數f(x)的解析式；并求最小正實數m，使得函數f(x)的圖象向左平移m個單位后所對應的函數是偶函數【解析】(1)由coscossinsin0 得cos()0.|0)的函數的單調區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答.列不等式的原則是：把“x (0)”視為一個“整體”；A0 (A0，0)：若求yf(x)的對稱軸，只需令xk(kZ)，求出x；若求yf(x)的對稱中心的橫坐標，只零令xk(kZ)，求出x；若求yf(x)的單調增區(qū)間，

11、只需令2kx2k，求出x；若求yf(x)的單調減區(qū)間，只需令2kx2k，求出x.題型七三角函數的對稱性與奇偶性例3(1)已知f(x)sin xcos x(xR)，函數yf(x) 的圖象關于直線x0對稱，則的值為_.(2)如果函數y3cos(2x)的圖象關于點中心對稱，那么|的最小值為() A . B. C. D.(1) (x)2sin， yf(x)2sin圖象關于x0對稱，即f(x)為偶函數k，kZ，即k，kZ，所以當k0時，. (2)A3cos3cos3cosk，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值為.故選 探究提高若f(x)Asin(x)為偶函數，則當x0時，f(x)取得最大或最小值.若f

12、(x)Asin(x)為奇函數，則當x0時，f(x)0.如果求f(x)的對稱軸，只需令xk (kZ)，求x.如果求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令xk (kZ)即可.變式訓練3 (1)已知函數f(x)sinxacos x的圖象的一條對稱軸是x，則函數g(x)asin xcos x的最大值是 ()A. B. C. D.由題意得f(0)f ，a.a, g(x)sin xcos xsin，g(x)max.(2)若函數f(x)asin xbcos x (05，ab0)的圖象的一條對稱軸方程是x，函數f(x)的圖象的一個對稱中心是，則f(x)的最小正周期是_.(1)B(2)由題設，有，即(ab)，由此得

13、到ab.又，所以a0，從而tan 1，k，kZ，即8k2，kZ，而00，a0或a0，|)的最小正周期為，將該函數的圖象向左平移個單位后，得到的圖象對應的函數為奇函數，則f(x)的圖象( )A關于點(，0)對稱 B關于直線x對稱C關于點(，0)對稱 D關于直線x對稱【解析】由已知得2，則f(x)sin(2x)設平移后的函數為g(x)，則g(x)sin(2x)(|0)和g(x)2cos(2x)1的圖象的對稱軸完全相同.若x0，則f(x)的取值范圍是_.4函數f(x)2sin x(0)在上單調遞增，且在這個區(qū)間上的最大值是，那么等于_解析因為f(x)2sin x(0)在上單調遞增，且在這個區(qū)間上的最

14、大值是，所以2sin，且0，因此.答案6.關于函數f(x)4sin (xR)，有下列命題：由f(x1)f(x2)0可得x1x2必是的整數倍；yf(x)的表達式可改寫為y4cos；yf(x)的圖象關于點對稱；yf(x)的圖象關于直線x對稱.其中正確命題的序號是_.解析函數f(x)4sin的最小正周期T，由相鄰兩個零點的橫坐標間的距離是知錯利用誘導公式得f(x)4cos4cos4cos，知正確由于曲線f(x)與x軸的每個交點都是它的對稱中心，將x代入得f(x)4sin4sin 00，因此點是f(x)圖象的一個對稱中心，故命題正確曲線f(x)的對稱軸必經過圖象的最高點或最低點，且與y軸平行，而x時y

15、0，點不是最高點也不是最低點，故直線x不是圖象的對稱軸，因此命題不正確答案三、解答題7.設函數f(x)sin (0)，yf(x)圖象的一條對稱軸是直線x.(1)求；(2)求函數yf(x)的單調增區(qū)間.解(1)(2)由(1)得：f(x)sin，令2k2x2k，kZ，可解得kxk，kZ，因此yf(x)的單調增區(qū)間為，kZ.8.(1)求函數y2sin (x)的值域；(2)求函數y2cos2x5sin x4的值域.解(1)x，02x，00)在區(qū)間上的最小值是2，則的最小值等于()A. B. C.2 D.33.函數f(x)cos 2xsin是()A.非奇非偶函數 B.僅有最小值的奇函數C.僅有最大值的偶

16、函數 D.有最大值又有最小值的偶函數二、填空題4.設定義在區(qū)間(0，)上的函數y6cos x的圖象與y5tan x的圖象交于點P，過點P作x軸的垂線，垂足為P1，直線PP1與函數ysin x的圖象交于點P2，則線段P1P2的長為_.5.函數f(x)2sin x(0)在上單調遞增，且在這個區(qū)間上的最大值是，那么_.解析因為f(x)2sin x(0)在上單調遞增，且在這個區(qū)間上的最大值是，所以2sin，且0，因此.答案6.給出下列命題：函數ycos是奇函數； 存在實數，使得sin cos ；若、是第一象限角且，則tan 0)的圖象與直線ym相切，并且切點的橫坐標依次成公差為的等差數列. (1)求m

17、的值；(2)若點A(x0，y0)是yf(x)圖象的對稱中心，且x0，求點A的坐標.7.解(1)f(x)(1cos 2ax)sin 2ax(sin 2axcos 2ax)sin.yf(x)的圖象與ym相切，m為f(x)的最大值或最小值，即m或m.(2)切點的橫坐標依次成公差為的等差數列，f(x)的最小正周期為.T，a0，a2，即f(x)sin.由題意知sin0，則4x0k (kZ)，x0 (kZ).由0 (kZ)得k1或2，因此點A的坐標為，.三角函數的圖象與性質練習四一、選擇題1函數f(x)2sin xcos x是()A最小正周期為2 的奇函數 B最小正周期為2 的偶函數C最小正周期為的奇函數

18、 D最小正周期為的偶函數解析f(x)2sin xcos xsin 2x.f(x)是最小正周期為的奇函數答案C2函數ysin2xsin x1的值域為()A1,1 B. C. D.解析(數形結合法)ysin2xsin x1，令sin xt，則有yt2t1，t1,1，畫出函數圖象如圖所示，從圖象可以看出，當t及t1時，函數取最值，代入yt2t1可得y.答案C3若函數f(x)sin x(0)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則()A. B. C2 D3解析由題意知f(x)的一條對稱軸為x，和它相鄰的一個對稱中心為原點，則f(x)的周期T，從而.答案B4函數f(x)(1tan x)cos x的最小正周

19、期為()A2 B. C D.解析依題意，得f(x)cos xsin x2sin.故最小正周期為2.答案A5下列函數中，周期為，且在上為減函數的是()Aysin BycosCysin Dycos解析(篩選法)函數的周期為.排除C、D，函數在上是減函數，排除B. 答案A【點評】 本題采用了篩選法，體現了篩選法的方便、快捷、準確性，在解選擇題時應注意應用.6已知函數f(x)sin(xR)，下面結論錯誤的是()A函數f(x)的最小正周期為2 B函數f(x)在區(qū)間上是增函數C函數f(x)的圖象關于直線x0對稱 D函數f(x)是奇函數解析ysincos x，T2，在上是增函數，圖象關于y軸對稱，為偶函數答

20、案D二、 填空題7.y=|sin（x+）|的單調增區(qū)間為_k+，k+（kZ）_.8.要得到的圖象，可以將函數y = 3 sin2 x的圖象向左平移_單位.9.若動直線與函數和的圖像分別交于兩點，則的最大值為_.10函數f(x)=() 的值域是_-1,0_ _.11.已知，且在區(qū)間有最小值，無最大值，則_12、給出下面的3個命題：（1）函數的最小正周期是；（2）函數在區(qū)間上單調遞增；（3）是函數的圖象的一條對稱軸.其中正確命題的序號是 13若函數f(x)cos xcos(0)的最小正周期為，則的值為_解析f(x)cos xcoscos xsin xsin 2x，T.1. 答案114函數ytan的

21、圖象與x軸交點的坐標是_解析由2xk，kZ，得：x，kZ，故交點坐標為(kZ) 答案(kZ)15已知函數f(x)sin(x)cos(x)是偶函數，則的值為_解析(回顧檢驗法)據已知可得f(x)2sin，若函數為偶函數，則必有k(kZ)，又由于，故有，解得，經代入檢驗符合題意答案三、解答題16已知f(x)sin xsin. (1)若0，且sin 2，求f()的值；(2)若x0，求f(x)的單調遞增區(qū)間解(1)由題設知f()sin cos .sin 22sin cos 0，0，sin cos 0.由(sin cos )212sin cos ，得sin cos ，f().(2)由(1)知f(x)si

22、n，又0x，f(x)的單調遞增區(qū)間為.17設函數f(x)sin(2x)(0)，yf(x)圖象的一條對稱軸是直線x.(1)求； (2)求函數yf(x)的單調增區(qū)間解(1)令2k，kZ，k，kZ，又0，則k，kZ，k1，則.(2)由(1)得：f(x)sin，令2k2x2k，kZ，可解得kxk，kZ，因此yf(x)的單調增區(qū)間為，kZ. 18、設函數（1）求的最小正周期（2）若函數與的圖像關于直線對稱，求當時的最大值解：（）= = = 故的最小正周期為T = =8 ()解法一： 在的圖象上任取一點，它關于的對稱點 .由題設條件，點在的圖象上，從而 = = 當時，因此在區(qū)間上的最大值為 解法二： 因區(qū)間關于x = 1的對稱區(qū)間為，且與的圖象關于x = 1對稱，故在上的最大值為在上的最大值由（）知當時，因此在上的最大值為 .19、設函數，其中向量，且的圖象經過點（1）求實數的值； （2）求函數的最小值及此時值的集合 (3)求函數的單調區(qū)間； (4)函數圖象沿向量平移得到的圖象,求向量。19、（1）（2）(3)(4) 20、設函數，給出下列三個論斷： 的圖象關于直線對稱； 的周期為； 的圖象關于點對稱 以其中的兩個論斷為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題，并對該命題加以證明或，證明略