2022年高三數(shù)學 專題9 數(shù)列通項、求和、綜合應用練習

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1、2022年高三數(shù)學 專題9 數(shù)列通項、求和、綜合應用練習 一、前測訓練 1．(1)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋3n(n∈N且n≥2)，則an＝ ． (2)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝2nan－1(n∈N且n≥2)，則an＝ ． 答案：(1)an＝；（2）an＝2． 2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn＝n2an?(n∈N*)，則an＝ ． 答案：an＝． 3．已知數(shù)列{an}中，a1＝1， an＝an－1＋1 (n∈N且n≥2)，則an＝ ． 答案：an＝3－2×()n－1． 4．已知數(shù)列{an}中，a1＝1

2、， an=2an-1＋2n (n∈N且n≥2)，則an＝ ． 答案：an＝(2n－1)×2n－1． 5．已知數(shù)列{an}中，a1＝1， an＝ (n∈N且n≥2)，則an＝ ． 答案：an＝． 6． (1) 已知數(shù)列{an}中，a1＋2a2＋…＋nan＝n2(n＋1)，則an＝ ． (2) 已知數(shù)列{an}中，a1a2…an＝n2，則an＝ ． 答案：(1) an＝2n；(2) an＝ 7． (1) 已知數(shù)列{an}中，an＋an＋1＝2n，a1＝1 (n∈N*)，則an＝ ． (2) 已知數(shù)列{an}中，anan＋1＝2

3、n，a1＝1 (n∈N*)，則an＝ ． 答案：(1) an＝；(2) an＝ 8． 已知數(shù)列{an}中，an＋1＝，若a1＝，則axx的值為 ． 　答案：． 9．(1)數(shù)列1＋2，1＋2＋4，1＋2＋4＋8，…，1＋2＋4＋…＋2n的前n項的和為 ． (2)數(shù)列an＝的前n項的和為 ． (3)數(shù)列an＝(2n－1)·3n的前n項的和為 ． (4)設(shè)f(x)＝，則f()＋f()＋f()＋…＋f()的值為 ． (5)已知數(shù)列an＝(－1)n·n，則Sn＝ ． 答案：(1)2n＋2－(4＋n)；

4、(2)－(＋)；(3)(n－1)·3n＋1＋3；(4)； (5) Sn＝． 10．(1)數(shù)列{an}通項公式為an＝an2＋n，若{an}滿足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an＋1對n≥8恒成立， 則實數(shù)a的取值范圍為 ． (2)已知數(shù)列an＝()n－2，bn＝λan－n2，若數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍為 ． 答案：(1)(－17，－9)；（2）λ＞－1． 11．求數(shù)列an＝4n2()n－1(n∈N*)的最大項． 答案：最大項為a9． 二、方法聯(lián)想 1．形如an－an－1＝f(n)(n∈N且n≥2) 方法 疊加法，即當

5、n∈N，n≥2時，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1． 形如＝f(n)(n∈N且n≥2) 方法 用疊乘法，即當n∈N*，n≥2時，an＝··…··a1． 注意 n＝１不滿足上述形式，所以需檢驗． 2．形如含an，Sn的關(guān)系式 方法 利用an＝，將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅含有an的關(guān)系式(如果轉(zhuǎn)化為an不能解決問題，則考慮轉(zhuǎn)化為僅含有Sn的關(guān)系式)． 注意 優(yōu)先考慮n＝1時，a1＝S1的情況． 3．形如an＝pan－1＋q (n∈N且n≥2) 方法　化為an＋＝p(an－1＋)形式．令bn＝an＋，即得bn＝pbn－1，轉(zhuǎn)化成{bn}

6、為等比數(shù)列，從而求數(shù)列{an}的通項公式． 4．形如an＝pan－1＋f(n) (n∈N且n≥2) 方法　　兩邊同除pn，得=＋，令bn＝，得bn＝bn－1＋，轉(zhuǎn)化為利用疊加法求bn(若為常數(shù)，則{bn}為等差數(shù)列)，從而求數(shù)列{an}的通項公式． 5．形如an＝ (n∈N且n≥2) 方法　兩邊取倒數(shù)得＝＋，令bn＝，得bn＝bn－1＋，轉(zhuǎn)化成{bn}為等差數(shù)列，從而求數(shù)列{an}的通項公式． 6．形如a1＋2a2＋…＋nan＝f(n)或a1a2…an＝f(n) 方法 (1)列出 (n∈N*且n≥2)，兩式作差得an＝ (n∈N*且n≥2)，而a1＝f(1)． (2)列

7、出 (n∈N*且n≥2)，兩式作商得an＝ (n∈N*且n≥2)，而． 注意 n＝１是否滿足上述形式須檢驗． 7．形如an＋an＋1＝f(n)或anan＋1＝f(n)形式 方法 (1)列出，兩式作差得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，即找到隔項間的關(guān)系． (2)列出，兩式作商得＝，即找到隔項間的關(guān)系． 8．歸納猜想 方法 列出前幾項，找到數(shù)列的規(guī)律(如周期性)，利用歸納猜想得數(shù)列的項． 9．形如an±bn的形式 方法 分組求和法． 形如或等形式 方法 采用裂項相消法． 形如anbn形式(其中an為等差，bn為等比) 方法 采用錯位相減法．

8、 首、尾對稱的兩項和為定值的形式 方法 倒序相加法． 正負交替出現(xiàn)的數(shù)列形式 方法 并項相加法． 10．數(shù)列的單調(diào)性 方法1 轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性，如利用圖象分析． 注意 圖象分析時，數(shù)列圖象為離散的點． 方法2 利用an＋1－an與0的關(guān)系(或與1的關(guān)系，其中an＞0)判斷(或證明)數(shù)列的單調(diào)性． 11．數(shù)列的最值 方法1 利用an＋1－an與0的關(guān)系(或與1的關(guān)系，其中an＞0)判斷數(shù)列的單調(diào)性． 方法2 若第m項為數(shù)列的最大項，則 若第m項為數(shù)列的最小項，則 三、例題分析 第一層次學校 例1 已知數(shù)列{an}，{bn}，

9、an＝n－16，bn＝(－1)n|n－15|，其中n∈N*． (1)求滿足an＋1＝|bn|的所有正整數(shù)n的集合； (2)n≠16，求數(shù)列{}中的最大項和最小項； (3)記數(shù)列{anbn}的前?n項和為Sn，求所有滿足S2m＝S2n (m＜n)的有序整數(shù)對(m，n)． 答案：(1) {n|n≥15，n∈N*} (2)最大項為第18項，最小項為第17項－2； (3)m＝7，n＝8． 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 1．求數(shù)列的最大項與最小項問題： 方法① 利用數(shù)列的單調(diào)性，即用比較法判斷an＋1與an的大?。? 方法② 利用通項所對應的函數(shù)的單調(diào)性．

10、 2．數(shù)列中的解方程問題： 方法：利用數(shù)列的通項公式、求和公式及遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于自然數(shù)n的一元或多元方程， 對于多元方程，若方程的個數(shù)不夠，往往是根據(jù)數(shù)的整除性來求解的． (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，學生一般會選擇方法②，因為本題中通項所對應的函數(shù)是基本函數(shù)，單調(diào)性已知，便于處理，但要注意最值點必須是自變量取正整數(shù)；所以選擇②． 對于問題2，本題中第一小問，直接解一個含絕對值的方程，即可求得n的值；對于第三小問，既可以去求前n項和，再去解二元方程S2n＝S2m，但顯然這樣運算量大，而且前n項也不太好求，本題是將條件S2n＝S2m化歸為去找相鄰若干項(

11、從某個奇數(shù)項到某個偶數(shù)項)的和為0． 例2 已知數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，且對任意n∈N*，都有a＝anan＋2＋k (k為常數(shù)). (1)若k＝(a2－a1)2，求證:a1，a2，a3成等差數(shù)列； (2)若k=0，且a2，a4，a5成等差數(shù)列，求的值； (3)已知a1＝a，a2＝b (a，b為常數(shù))，是否存在常數(shù)λ，使得an＋an＋2＝λan＋1對任意n∈N*都成立?若存在.求出λ；若不存在，說明理由. 答案：(1) 用定義證； (2)q＝1或q＝． (3)存在常數(shù)λ＝使得an＋an＋2＝λan＋1對任意n∈N*都成立． ∵a＝an

12、an＋2＋k，∴a＝an－1an＋1＋k，n≥2，n∈N* ∴a－a＝anan＋2－an－1an＋1， 即a＋an－1an＋1＝a＋anan＋2，∵an＞0， ∴＝． ∴＝=…＝． ∴an＋an＋2＝an＋1． ∵a1＝a，a2＝b，a＝anan＋2＋k，∴a3＝，∴＝， ∴存在常數(shù)λ＝使得an＋an＋2＝λan＋1對任意n∈N*都成立． 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 1．證明一個數(shù)列是等差數(shù)

13、列： 方法①定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))，n∈N*； ②等差中項法：2an＝an＋1＋an－1，n≥2，n∈N*； 2．等比數(shù)列的子列構(gòu)成一等差數(shù)列，求公比： 方法①利用等差(比)數(shù)列的通項公式，進行基本量的計算 3．存在性問題： 方法①假設(shè)存在，由特殊情況，求參數(shù)的值，再證明； ②轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的方程恒成立問題； (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，學生一般會選擇方法②，因為本題是研究3個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列； 所以選擇②． 對于問題3，學生一般會選擇①，對于存在性問題，常規(guī)的方法就是先從特殊性出發(fā)探究出參數(shù)和值，再進行證明，這樣處理思路清晰，運算量小。所以選擇方法

14、①． 例3 已知數(shù)列{an}滿足＝n (n∈N*)，且a2=6. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn＝ (n∈N*，c為非零常數(shù))，若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，記cn=，Sn=c1＋c2＋…＋cn，求Sn. 答案： (1) an=n(2n－1)，n∈N* (2) Sn=4－． 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 1．由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項： 方法①利用等差(比)數(shù)列求和公式；②疊加(乘)法；③構(gòu)造等差(比)數(shù)列；④猜想證明． 2．已知數(shù)列是等差數(shù)列，求參數(shù)的值： 方法①選特殊化，求參數(shù)的值，再證明；②轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的方程恒成立問題； 3．數(shù)列求和

15、問題： 方法①等差(比)數(shù)列求和；②分組求和；③拆項相消；④錯位相減； ⑤倒序相加；⑥并項求和法．. (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，學生一般會選擇方法②，因為遞推關(guān)系形如an－an－1＝f(n)(n∈N且n≥2)， 所以選擇②疊加法． 對于問題2，學生一般會選擇方法①，因為選擇方法①，運算量比較小． 對于問題3，學生一般會選擇④，因為本題通項是由一個等差與一個等比數(shù)列相應項相乘而得， 所以選擇方法④． 第二層次學校 例1 已知數(shù)列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)． (1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值； (2)

16、若對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍． 答案 (1)數(shù)列{an}中的最大項為a5＝2，最小項為a4＝0. (2)－10＜a＜－8. 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 1．求數(shù)列的最大項與最小項問題： 方法① 利用數(shù)列的單調(diào)性，即用比較法判斷an＋1與an的大小． 方法② 利用通項所對應的函數(shù)的單調(diào)性． 方法③ 在等差數(shù)列中，可以通過解不等式組求最大項ak，解不等式組求最小項ak． 2．數(shù)列中的不等式恒成立問題： 方法①：轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最大項與最小項問題． 方法②：分離常數(shù)后，再求最值． (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題

17、1，學生一般會選擇方法②，因為本題中通項所對應的函數(shù)是基本函數(shù)，單調(diào)性已知，便于處理，但要注意最值點必須是自變量取正整數(shù)；所以選擇②．本題第一小問選擇③也是比較簡單的． 對于問題2，學生一般會選擇方法①，因為數(shù)列通項所對應的函數(shù)的單調(diào)性已知． 例2 一位幼兒園老師給班上k(k≥3)個小朋友分糖果.她發(fā)現(xiàn)糖果盒中原有糖果數(shù)為a0,就先從別處抓2塊糖加入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第一個小朋友；再從別處抓2塊糖加入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第二個小朋友；以后她總是在分給一個小朋友后,就從別處抓2塊糖放入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第n(n＝1，2，3，…，k)個小朋友.如果設(shè)分給第n個小朋友后(

18、未加入2塊糖果前)盒內(nèi)剩下的糖果數(shù)為an. (1) 當k＝3，a0＝12時，分別求a1，a2，a3； (2) 請用an－1表示an；令bn＝(n＋1)an，求數(shù)列{bn}的通項公式； (3)是否存在正整數(shù)k(k≥3)和非負整數(shù)a0，使得數(shù)列{an} (n≤k)成等差數(shù)列，如果存在，請求出所有的k和a0，如果不存在，請說明理由. 【答案】(1)a1＝7，a2＝6，a3＝6． (2)an＝(an－1＋2)，bn＝n(n＋1)＋a0； (3)a0＝0時，對于任意正整數(shù)k(k≥3)數(shù)列{an} (n≤k)成等差數(shù)列； 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 1．由遞推關(guān)系求

19、數(shù)列的通項： 方法①利用等差(比)數(shù)列求和公式；②疊加(乘)法；③構(gòu)造等差(比)數(shù)列；④猜想證明． 2．探究數(shù)列能否構(gòu)成等差(比)數(shù)列問題： 方法①由必要條件(特殊情況)，求參數(shù)的值，再證明； ②考慮一般情形，轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的方程恒成立問題； (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，學生一般會選擇方法②，因為本題遞推關(guān)系符合：bn＋1－bn＝f(n)； 所以選擇②． 對于問題2，學生一般會選擇①，由必要條件出發(fā)比較容易找出參數(shù)的值，并且為證明有也提供了思路。所以選擇方法①． 本題還有變式：如果班上有5名小朋友，每個小朋友都分到糖果，求a0的最小值. 例3 已知數(shù)列{an

20、}滿足＝n (n∈N*)，且a2=6. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn＝ (n∈N*，c為非零常數(shù))，若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，記cn=，Sn=c1＋c2＋…＋cn，求Sn. 答案:(1) an=n(2n－1)，n∈N* (2) Sn=4－． 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 1．由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項： 方法①利用等差(比)數(shù)列求和公式；②疊加(乘)法；③構(gòu)造等差(比)數(shù)列；④猜想證明． 2．已知數(shù)列是等差數(shù)列，求參數(shù)的值： 方法①選特殊化，求參數(shù)的值，再證明；②轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的方程恒成立問題； 3．數(shù)列求和問題： 方法①等差(比)數(shù)列求

21、和；②分組求和；③拆項相消；④錯位相減； ⑤倒序相加；⑥并項求和法．. (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，學生一般會選擇方法②，因為遞推關(guān)系形如an－an－1＝f(n)(n∈N且n≥2)， 所以選擇②疊加法． 對于問題2，學生一般會選擇方法①，因為選擇方法①，運算量比較?。? 對于問題3，學生一般會選擇④，因為本題通項是由一個等差與一個等比數(shù)列相應項相乘而得， 所以選擇方法④． 第三層次學校 例1：一位幼兒園老師給班上k(k≥3)個小朋友分糖果.她發(fā)現(xiàn)糖果盒中原有糖果數(shù)為a0,就先從別處抓2塊糖加入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第一個小朋友；再從別處抓2塊糖加入盒中,然后把

22、盒內(nèi)糖果的分給第二個小朋友；以后她總是在分給一個小朋友后,就從別處抓2塊糖放入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第n(n＝1，2，3，…，k)個小朋友.如果設(shè)分給第n個小朋友后(未加入2塊糖果前)盒內(nèi)剩下的糖果數(shù)為an. (1) 當k＝3，a0＝12時，分別求a1，a2，a3； (2) 請用an－1表示an；令bn＝(n＋1)an，求數(shù)列{bn}的通項公式； (3)是否存在正整數(shù)k(k≥3)和非負整數(shù)a0，使得數(shù)列{an} (n≤k)成等差數(shù)列，如果存在，請求出所有的k和a0，如果不存在，請說明理由. 【答案】(1)a1＝7，a2＝6，a3＝6． (2)an＝(an－1＋2)，bn＝n(

23、n＋1)＋a0； (3)a0＝0時，對于任意正整數(shù)k(k≥3)數(shù)列{an} (n≤k)成等差數(shù)列； 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 1．由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項： 方法①利用等差(比)數(shù)列求和公式；②疊加(乘)法；③構(gòu)造等差(比)數(shù)列；④猜想證明． 2．探究數(shù)列能否構(gòu)成等差(比)數(shù)列問題： 方法①由必要條件(特殊情況)，求參數(shù)的值，再證明； ②考慮一般情形，轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的方程恒成立問題； (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，學生一般會選擇方法②，因為本題遞推關(guān)系符合：bn＋1－bn＝f(n)； 所以選擇②． 對于問題2，學生一般會選擇①，由必要條件出發(fā)比

24、較容易找出參數(shù)的值，并且為證明有也提供了思路。所以選擇方法①． 本題還有變式：如果班上有5名小朋友，每個小朋友都分到糖果，求a0的最小值. 例2：已知二次函數(shù)f(x)＝x2－ax＋a (x∈R)同時滿足以下兩個條件： ①不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素； ②在定義域內(nèi)存在0＜x1＜x2，使得不等式f(x1)＞f(x2)成立． 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝f(n)． (1)求函數(shù)f(x)的表達式； (2)求數(shù)列{an}的通項公式； (3)設(shè)bn＝()，cn＝－ (n∈N*)，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn， 求證：Tn＜． 答案：（1）f(x)＝x2－4x＋4

25、．(2)an＝ (3)Tn＝－，證明略 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 1．求二次函數(shù)的解析式問題： 方法 待定系數(shù)法，可設(shè)一般式，零點式與頂點式． 2．求數(shù)列的通項問題： 方法:①利用數(shù)列的通項an與前n和Sn的關(guān)系，在已知Sn條件下求通項an． ②利用等差(比)數(shù)列的通項公式，求通項； ③構(gòu)造等差(比)數(shù)列求通項； ④用累加(乘)法求通項． 3．與數(shù)列有關(guān)不等式證明： 方法①：將數(shù)列的項與和具體求出來后，再用證明不等式的方法(比較法、綜合法，分析法，反證法等)處理； 方法②：利用放縮法，先去掉一些項(或項中的一部分)后，再將

26、數(shù)列的項或和具體求出后，再比較． (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，學生一般會選擇用待定系數(shù)法，但本題條件實際上是一個等式與一個不等式，從等式中可求出a的值，但有2個，不等式中可確定a的取值范圍，從而確定a的值，本小題的難點在于對條件的轉(zhuǎn)化，要求學生對二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)有全面的認識． 對于問題2，學生一般會選擇方法①，因為數(shù)列的前n項已知，可由通項與前n項之間的關(guān)系來求． 對于問題3，學生一般會選擇方法①，因為本題中數(shù)列的通項是某一數(shù)列相鄰兩項差的形式，用疊加法很容易求出和Tn，證明很容易，本題也可增加證明Tn≥．也還有很多其他的變式． 例3：已知數(shù)列{an}的

27、各項都為正數(shù)，且對任意n∈N*，都有a＝anan＋2＋k (k為常數(shù)). (1)若k＝(a2－a1)2，求證:a1，a2，a3成等差數(shù)列； (2)若k=0，且a2，a4，a5成等差數(shù)列，求的值； (3)已知a1＝a，a2＝b (a，b為常數(shù))，是否存在常數(shù)λ，使得an＋an＋2＝λan＋1對任意n∈N*都成立?若存在.求出λ；若不存在，說明理由. 答案：(1) 用定義證； (2)q＝1或q＝． (3)存在常數(shù)λ＝使得an＋an＋2＝λan＋1對任意n∈N*都成立． ∵a＝anan＋2＋k，∴a＝an－1an＋1＋k，n≥2，n∈N

28、* ∴a－a＝anan＋2－an－1an＋1， 即a＋an－1an＋1＝a＋anan＋2，∵an＞0， ∴＝． ∴＝=…＝． ∴an＋an＋2＝an＋1． ∵a1＝a，a2＝b，a＝anan＋2＋k，∴a3＝，∴＝， ∴存在常數(shù)λ＝使得an＋an＋2＝λan＋1對任意n∈N*都成立． 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 1．證明一個數(shù)列是等差數(shù)列： 方法①定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))，n∈N*； ②等差中項法：2an＝an＋1＋an－1，n≥2，n∈N*； 2．等比數(shù)列的子列構(gòu)成一等差數(shù)列，求公比： 方法①利用等差(比)數(shù)列的通項公式，進行基本量的計算 3．存在性問題： 方法①假設(shè)存在，由特殊情況，求參數(shù)的值，再證明； ②轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的方程恒成立問題； (2)方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，學生一般會選擇方法②，因為本題是研究3個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列； 所以選擇②． 對于問題3，學生一般會選擇①，對于存在性問題，常規(guī)的方法就是先從特殊性出發(fā)探究出參數(shù)和值，再進行證明，這樣處理思路清晰，運算量小。所以選擇方法①． 四、課后反饋：