2022年高三數學 排列、組合和和概率 二項式定理教案同步教案 新人教A版

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1、2022年高三數學 排列、組合和和概率 二項式定理教案同步教案 新人教A版 學習指導： 1．有關二項式定理，要記住公式，弄清與其相關的概念：二項式系數、系數、項、項數、通項等，從而正確運用二項式系數的性質進行計算，解一些應用題。重點是二項式定理的應用、難點是對通項的理解。 2．二項式定理：。右邊的多項式叫做的二項展開式，共有項，其中各項的系數叫做二項式系數，叫做二項展開式的通項，用表示。 3．二項式系數的性質 （1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等。 （2）增減性與最大值 當時，二項式系數是逐漸增大的；當時，二項式系數是逐漸減小的， 當是偶數時，中間一項的二項式

2、系數取得最大值；當是奇數時，中間的兩項的二項式系數相等，且同時取得最大值。 （3）的展開式的各個二項式系數的和等于，即 （4）的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和，即 。 例題選講 例1．求展開式中的常數項。 解：展開式的通項為。令得 展開式的常數項為。 注：若把上題改為“求展開式中的有理項”，由 知為6的倍數，又； 展開式中的有理項為，，。 例2．在的展開式中，所有奇數項之和等于1024，試求它的中間項。 解：展開式中所有奇數項系數之和等于所有偶數項系數之和，即，，展開式共有12項，其中第6、7項為中間項。 例3．已知的展開式中項的

3、系數與的展開式中項的系數相等，求的值。 解：的展開式中的通項為，，即項的系數為。 的展開式中的通項為，，即項的系數為。 由，即，解之得中，舍去。 。 例4．在的展開式中前三項的系數成等差數列，求展開式中的有理項。 解：因為前三項系數分別為1、、，它們成等差數列，所以。即解之得或。 當時，的展開式中不含有理項，所以不合，應舍去。 當時，的展開式的通項為 ，應是4的倍數， 必須是4的倍數，又，。 展開式中各有理項為，，。 注：求二項展開式中有關的系數、常數項、有理項等特殊項的問題，可緊緊抓住二項展開項的通項，通過對通項的分析，去找到原問題的解。 例5．求

4、中的系數。 解法一，原式 原題即轉化為求的展開式中的的系數，， 的系數為286。 解法二：項只存在于后四個項中，且都是四個展開式的第10項。系數之和為 解法三：原式中的系數與式中的的系數相同，后者 所以展開式中的的系數為 例6．求展開式中的系數。 解：因為的展開式通項為，其中時，系數為。 的展開式通項為，其中時系數為。 的展開式通項為，其中時系數為。 所以展開式中的系數為。 例7．求展開式中的系數。 解：原式 第三項起沒有的項。 所以的系數為。 注：求的展開式中的系數。 原式 只有第3項有，其系數為 或者由原式 從四個因式中任取2個a，其余再從余

5、下的兩個式子中任取1個b，最后一個因式中取1個c。得的系數為。 一般地，展開式中的系數可表示為 例8．求的展開式中的系數。 解法一、原式，其通項為，又的通項 令，可得或 當時，的系數為； 當時，的系數為； 所以符合條件的的系數為。 解法二、原式，其通項為 當時，的系數為； 當時，的系數為 所以展開式中的系數為。 解法三、原式 出現有兩種情況，一種是三個因式均提供，另一種是一個提供，另兩個中有一個提供，一個提供，因而的系數為。 例9．求展開式中的最大項。 解：展開式中二項式系數最大的項是中間的項，但雖然的第26項的二項式系數最大，但因其，但卻隨的增大而增大，因此

6、第26項不一定最大，但當時，的值顯然大于1，所以只要討論時，小于1。 ， 即展開式中的最大項為。 例10．數的未尾連續(xù)的零的個數是 個。 解法一、因為 令 同為M的未位數是0，N的未位數是6。所以的未尾連續(xù)零的個數是3個。 解法二、因為，，， ， 當時，末尾有四個以上的0，所以，m為正整數。 所以的未尾有3個連續(xù)的零。 例11．在的展開式中，求： （1） 二項式系數最大的項； （2） 系數絕對值最大的項； （3） 系數最大的項 解：（1）二項式系數最大的項是 （2）設系數絕對值最大的項是第r+1項，則

7、 即 得， 所以當時，系數絕對值最大的項為 （3）因系數為正的項為奇數項，故可設第項系數最大，則 得 即系數最大。 例12．設，求： （1）； （2） 解：（1）令得 令得 （2）令得① 令得② 由①＋②得 例13．求除以100的余數 解法一： 觀察各項，只有最后兩項不能被100 又 故知除以100的余數為81。 解法二： 顯然僅最后一項不能被100整除，以下轉化為求被100除的余數。 此式中僅最后兩項不能被100整除，而， 所求余數為81。 例14．證明：， 證明：當時， 當時， 又

8、 注：證明還可以有如下的證法： 例15、當，求證： 證明：因為 其中 所以 鞏固與練習 一、 選擇題 1．二項式展開式中的前三項系數成等差數列，則展開式中的常數項是（ ） A． B． C． D． 2．被4除所得的系數為（ ?。? A．0 B．1 C．2 D．3 3．，，展開式按a的降冪排列后第二項不大于第三項，則a的取值范圍是（

9、 ） A． B． C． D． 4．展開式中各項系數之和為（ ） A． B． C． D． 二、填空題 5．設，則 ； ； 。 6．在的展開式中，的系數是的系數與的系數的等差中項，若實數，則 。 7．被22除所得的余數為 。 8．已知展開式中的余數是56，則實數的值是

10、 。 三、解答題 9．求展開式中的系數。 10．已知，（1）若展開式中第五項、第六項、第七項的二項式系數成等差數列，求展開式中項式系數最大的項的系數；（2）若展開式中前三項的二項式系數之和等于79，求展開式中系數最大的項。 11．設，若其展開式中關于x的一次項系數的和為11，試問m、n為何值時，含項的系數和最小，這個最小值是多少？ 12．求展開式中含x一次冪的項。 參考答案 1．D 2．A 3．D 4．B 5．；；； 6． 7．1 8．或 9． 10．（1）當時，第五項系數為和第五項系數；當時，第8項系數為3432 （2） 11．當或時，取最小值為30。 12．45x