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1、2022年高三數(shù)學(xué) 圓的6個(gè)考點(diǎn)的典型例題
【典型例題】
考點(diǎn)一 研究直線與圓的位置關(guān)系
例1 ?已知直線Ｌ過(guò)點(diǎn)（－2，０），當(dāng)直線Ｌ與圓x2＋y2＝2x有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，求斜率k的取值范圍。
法一：設(shè)直線L的方程為：y＝k（x＋2），與圓的方程聯(lián)立，代入圓的方程令△>0可得：。
法二：設(shè)直線L的方程為：y＝k（x＋2），利用圓心到直線的距離dO－L∈[0，R]可解得：。
?
考點(diǎn)二 研究圓的切線
例2 ?直線y＝x＋b與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍。
分析：作出圖形后進(jìn)行觀察，以找到解決問(wèn)題的思路。
解：曲線即x2＋y2＝1（x≥0），當(dāng)直線y＝x＋b
與
2、之相切時(shí)，滿足：
由觀察圖形可知：
當(dāng)或時(shí)，它們有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)。
?
例3 ?過(guò)點(diǎn)P（1，2）作圓x2＋y2＝5的切線L，求切線L的方程。
解：因P點(diǎn)在圓上，故可求切線L的方程為x＋2y＝5。
說(shuō)明：?過(guò)圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為：
?如果是過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，其切線方程的求解應(yīng)利用△＝0或利用圓心到直線的距離等于半徑進(jìn)行。
?
考點(diǎn)三 求圓的切線長(zhǎng)
例4 ?過(guò)點(diǎn)P（2，3）作圓x2＋y2＝5的切線L，切點(diǎn)為M，求切線段LM的長(zhǎng)。
分析：數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造三角形求LM，如圖。
解：
說(shuō)明：自圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋
3、F＝0外一點(diǎn)P（x0，y0）向圓所引切線段的長(zhǎng)為：
?
考點(diǎn)四 研究?jī)蓤A的位置關(guān)系
例5 ?求過(guò)兩圓x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＝0的交點(diǎn)且與直線相切的圓的方程。
解：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2－1＋λ（x2＋y2－4x）＝0，整理后得：
因?yàn)樵搱A與直線相切，故圓心到直線的距離等于半徑，即：
代入即可得所求圓的方程為：3x2＋3y2＋32x－11＝0.
說(shuō)明：利用過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程求解比較簡(jiǎn)潔。過(guò)兩定圓交點(diǎn)的圓系方程為：，λ、μ不同時(shí)為0，兩邊同除以λ（或μ），則該方程只有一個(gè)待求參數(shù)。
?
考點(diǎn)五 研究?jī)上嘟粓A的公共弦所在直線方程
例6? 求兩圓x2
4、＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＝0的交點(diǎn)弦所在的直線方程。
解：聯(lián)立兩圓方程，消去平方項(xiàng)得4x－1＝0即為交點(diǎn)弦所在的直線方程。
說(shuō)明：相交兩圓的公共弦或相外切兩圓的內(nèi)公切線或相內(nèi)切兩圓的公切線所在的直線方程的求解均可采用“交軌法”，將兩圓方程的平方項(xiàng)消去，所得的二元一次方程即為所求的直線方程。
?
考點(diǎn)六 與圓有關(guān)的其它問(wèn)題
例7 ?求圓x2＋y2－4x＝0關(guān)于直線x－y＝1對(duì)稱(chēng)的圓的方程。
解：圓x2＋y2－4x＝0的圓心為P（2，0），半徑為2；P關(guān)于直線x－y＝1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)可求得為（1，1），故所求對(duì)稱(chēng)圓的方程為：
（x－1）2＋（y－1）2＝4
說(shuō)明：關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的兩圓半徑是相同的，其圓心關(guān)于該直線對(duì)稱(chēng)，故只需求出圓心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即可。
?
例8? 已知點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足x2＋y2－4x＝0，M（8，6），求PM的中點(diǎn)Q所在的曲線方程。
解：設(shè)點(diǎn)Q（x，y），P（x0，y0），則由Q是PM的中點(diǎn)知：x0＝2x－8，y0＝2y－6。
又P在x2＋y2－4x＝0上，故有（2x－8）2＋（2y－6）2－4（2x－8）＝0，整理即得Q點(diǎn)所在曲線方程為：x2＋y2－10x－6y＋33＝0。
2022年高三數(shù)學(xué) 圓的6個(gè)考點(diǎn)的典型例題
