2022年高三數(shù)學(xué) 簡易邏輯教案同步教案 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué) 簡易邏輯教案同步教案 新人教A版 一、教學(xué)進(jìn)度 高考總復(fù)習(xí)之二-------簡易邏輯 命題，四種命題的關(guān)系，充要條件 二、 復(fù)習(xí)指導(dǎo) 邏輯是正確解題的基礎(chǔ)，邏輯錯誤會導(dǎo)致全功盡棄 是否命題的關(guān)鍵是看它能否判定真假，是否復(fù)合命題的標(biāo)準(zhǔn)在于該命題是否含有邏輯聯(lián)結(jié)詞：或、且、非，如果……，那么…… 原命題：若p，則q：逆命題：若q，則p： 否命題：若非p，則非q，逆否命題：若非q，則非p 原命題與逆否命題互為逆否，同真假 逆命題與否命題互為逆否，同真假. 反證法就是從原命題的否定出發(fā)，推出矛盾（這個矛盾，指的是與已知條件矛盾，或與公理，定理矛盾，或與假設(shè)

2、矛盾）從而說明原命題的否定是錯誤的，這樣就確立了原命題的正確性。 要分清充分條件和必要條件，在證明充要條件時(shí)要分清充分性和必要性，若pq，則p是q 的充分條件，q是p的必要條件，即“推出人者為充分，被人推出者為必要” 三、典型例題講評 例1．在△ABC中，P：∠A＞∠B， q1=sinA＞sinB，q2：cosA＜cosB，q3：cotA＜cotB，q4：sinA＞cosB 其中p是：（i=1，2，3，4）的什么條件？ P是q1的充要條件，原因如下：∠A＞∠Ba＞b2RsinA＞2RsinB，sinA＞sinB； P是q2的充要條件，原因如下：函數(shù)y=cosx在[0，π]上單調(diào)

3、遞減，而A，B∈[0，π]，∴∠A＞∠BcosA＜cosB； P是q3的充要條件，理由類似② P既不是q4的充分條件，也不是q4的必要條件，理由如下： 若△ABC，A=900，B=600，則sinA＞cosB，若△ABC中，A=1350，B=300，則sinA＜cosB 例2．P為△ABC內(nèi)（含邊界）任一點(diǎn)，“p到三邊距離之和為定值”是“△ABC是正三角形”的什么條件？證明你的結(jié)論。 充要條件. 充分性，分別取p為A、B、C，則它到三邊距離之和分別為ha，hb，hc，由題設(shè)ha=hb=hc，由面積公式，a=b=c，△ABC為正三角形 必要性，若p在頂點(diǎn)處（不妨設(shè)p在A點(diǎn)），則p到

4、三邊距離之和即ha（當(dāng)然與ha，hc相等，為定值）；若p點(diǎn)在邊上（不妨設(shè)在BC上），則P到三邊距離之和即p到b，c兩邊距離之和db+dc，∵S△ABC=S△ABP+S△ACP.故有aha=a(db+db+dc)，∴db+dc當(dāng)定值ha；若P點(diǎn)在三角形內(nèi)部則S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP，從而有aha=a(da+db+dc)，即da+db+dc=ha. 例3．已知函數(shù)f(x)在（－∞，+∞）上單調(diào)遞增，a、b∈R，對命題“若a+b≥0，則f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)，則a+b≥0” （1）寫出其逆命題，并證明它的真假. （2）寫出其逆否命題，并證明它的真假.

5、 （1）逆命題：“若f(a)+f(b) ≥f(－a)+f(－b)，則a+b≥0”這是一個真命題，我們用反證法證明： 假設(shè)a+b＜0，即a＜－b，b＜－a，而f(x)單調(diào)遞增. 故f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a). 從而f(a)+f(b)＜f(－a)+ f(－b).與已知矛盾，說明假設(shè)錯誤. ∴a+b≥0 (2)逆否命題：“f(a)+f(b)＜f(－b)+ f(－a)，則a+b＜ 0” 這也是一個真命題，可類（1）用反證法證明. 例4．已知p：≤2，q：x2―2x+1―m2≤0（m＞0） 又知非p是非q的必要條件，但不是充分條件，求取m的取值范圍。 先化簡 p即x∈

6、[－1，11]，q即x∈[1－m，1+m] 非p：x＜－1或x＞11，非q：x＜1－ m或x＞1+m. 非q非p，故，解得m≥10 當(dāng)m≥10時(shí)，―1與1―m不可能相等，故非p 非q. ∴m ∈ 例5．已知曲線C1：f(x－y)=0，C2：g(x，y)=0，點(diǎn)M坐標(biāo)為（a，b），則M（C1∩C2）是的什么條件？說明你的理由. M（C1∩C2）即M∈（C1∩C2）之否定，亦即之否定，也就是f(x，y)≠0或g(x，y)≠0，故M（C1∩C2） ，即MC1，且MC2，亦即M（C1∩C2）. ∴ M（C1∩C2） ∴M（C1∩C2）是的必要條件，但不是充分條件. 例6．

7、α∈（0，），求證：2α可作為一個三邊長均為整數(shù)的直角三角形的一個內(nèi)角的充要條件是tanα是有理數(shù). 充分性. 設(shè)tanα= （m，n∈N+，m ，n互質(zhì)，m＞n） 則tan2α==，作兩直角邊長分別為2mn，m2－n2的直角三角形，則其斜邊長為= m2+n2，該三角形有一內(nèi)角為2α，三角均為整數(shù). 證法二：∵tanα=，故可作Rt△ABC，AC=nk，BC=mk（k∈N*）（如圖）作斜邊AB的中垂線交BC于D，則AD=BD，∠ADC=2∠B =2α，設(shè)CD=x，則AD=+x，整 理可得x=，取k=2m時(shí)x即當(dāng)整數(shù)，此 時(shí)CD=x=m2－n2，AC=2mn，AD=BD=2m2―(

8、m2―n2) =m2+n2. 均為整數(shù). 必要性： 設(shè)Rt△ABC中，∠B=2α，三邊均為整數(shù)，延長 CB到D，使BD=AB，則∠D=α，且DC=DB+BC= AB+BC為整數(shù)，tanα=∈Q 證法二，Rt△ABC中，∠ABC=2α，三邊 長均為整數(shù)，BD為角平分線= =. ∴=∈Q 鞏固練習(xí) 1．（1）x2+5＜4 （x∈R） （2）ax2+bx+c=0是關(guān)于x的一元二次方程. （3）若b2－4ac＜0，則不等式ax2+bx+c＞0的解集為R或φ， 以上哪些是命題？哪些是真命題？ 2．P為平面四邊形ABCD內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)“p到四邊距離

9、之和為定值”是“ABCD是正方形”的什么條件？證明你的結(jié)論. 3．1，，不可能是同一等差數(shù)列中的項(xiàng) 4．已知p：方程x2+mx+1=0有兩個不相等的負(fù)根. q：方程4x2+4(m－2)x+1=0沒有實(shí)數(shù)根. 若p或q真而p且q假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 5．寫出命題p：“若m＞0，則關(guān)于x的方程x2+x－m=0有實(shí)數(shù)根”的逆命題，否命題和逆命題，并分別判斷它的真假. 6．已知p：＞3，q：≥0，非p是非q的什么條件？證明你的結(jié)論。 7．求關(guān)于x的方程m2x2－(m+1)x+2=0根的總和為2的充要條件. 8．已知當(dāng)＜a成立時(shí)，＜4也成立，求實(shí)數(shù)a的取值

10、范圍。 9．若方程ax2－2x+1=0（a＞0）的小根x1＜1，大根x2∈（1，3），求實(shí)數(shù)a的范圍. 10．寫出命題“圓的兩相交弦若互相平分，則它們都是直徑”的逆命題，否命題和逆否命題，并判斷它們的真假。 11．若命題“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”均真，則“c≤d”是“e≤f”的（ ） （A）充分條件，但不是必要條件 （B）必要條件，但不是充分條件 （C）充要條件 （D）既不是充分條件，也不是必要條件 12．（1）p：“數(shù)列是常數(shù)列”，q：“數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列” （2）p：“數(shù)列是等比數(shù)列”，q：“數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn

11、=”. （3）p：“點(diǎn)（n，Sn）（n∈N+）都在一條過原點(diǎn)的拋物線上”，q：“數(shù)列是等差數(shù)列”（Sn是的前n項(xiàng)之和） （4）已知：數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），p：“q=－1”q：數(shù)列是等比數(shù)列. 以上四題中，p是q的充要條件者為_______________（標(biāo)出相應(yīng)題號即可） 13．已知兩個關(guān)于x的一元二次方程mx2－4x+4=0和x2－4mx+4m2+(4－4m)－9=0，求兩方程的根都是整數(shù)的充要條件。 參考答案 1．∵x2+5=(x2+1)+4≥4.故可判斷（1）是一個假命題；當(dāng)a≠0時(shí)，ax2+bx+c=0才是關(guān)于x的一元二次方程，今不

12、知a的取值情況，無法判斷其真假，故（2）不是命題；當(dāng)a=0時(shí)，b2－4ac=b2不可能小于0，故由b2－4ac＜0知ax2+bx+c＞0是關(guān)于x的一元二次不等式，判別式＜0，解集必為R或φ，故（3）是命題，且是真命題。 2．必要條件，但不是充分條件，證明如下： 設(shè)ABCD為正方形，當(dāng)p為一頂點(diǎn)（不妨設(shè)是A）時(shí)，它到AB、AD距離為0，到CB、CD都相距a，和為2a；當(dāng)p在邊上（不妨設(shè)在AB上）時(shí)，它到AB距離為0，到BC、AD距離之和為a，到CD距離為a，和仍為定值2a，當(dāng)p在正方形內(nèi)部時(shí)，P到AB、CD距離之和為a，到AD、BC距離之和也為a，總和仍為定值2a； 另一方面，當(dāng)AB

13、CD雖不是正方形而是菱形時(shí)也有此性質(zhì)，故不充分。 3．（反證法）假設(shè)1，，是同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)，則必存在m，n∈Z，m≠n，使－1=md，－1=nd（m，n均不當(dāng)0，d≠0），于是=，整理成－=－，平方得=1+， 左為無理數(shù)，右為有理數(shù)，矛盾，說明假設(shè)錯誤。 ∴1，，不可能是同一等差數(shù)列中的項(xiàng)。 4．p 或q真而p且q假p，q一真一假 當(dāng)p真q假時(shí)，應(yīng)滿足 解得m≥3， 當(dāng)p假q真時(shí)，應(yīng)滿足 解得m∈ ∴m∈∪ 5．逆命題：“若關(guān)于x的方程x2+x－m=0有實(shí)數(shù)根，則m＞0”；否命題：“m≤0，則關(guān)于x的方程x2+x－m=0沒有實(shí)數(shù)根”；逆否命題：“若關(guān)于x

14、的方程x2+x－m=0沒有實(shí)數(shù)根，則m≤0”. 當(dāng)m＞0時(shí)，△=1+4m＞0，方程x2+x－m=0必有兩個不等實(shí)根，故原命題及逆否命題是真命題。 當(dāng)方程x2+x－m=0，有實(shí)數(shù)根時(shí)，△=1+4m≥0，m≥－，而不一定要＞0，故逆命題及否命題是假命題。 6．P：x＞1或x＜―，非p：―≤x≤1 q：x∈R， 非q：x∈φ 非p與非q互相不能推出?！喾莗既不是非q的充要條件，也不是非q的必要條件。 7．當(dāng)m=0時(shí)，原方程即x=2，滿足條件 當(dāng)m≠0時(shí)，=2，m=1或－。 但△=(m+1)2－8m2，m=1及m=－均使△＜0。 故充要條件是m=0 8．即

15、當(dāng)x∈（2－a，2+a）時(shí)，x2＜5即x∈（－，）一定成立，∴(2－a，2+a)（－，） a∈（0，－2） 9．a(chǎn)x2－2x+1=0（a＞0）一根＜1，一根∈（1，3）的充要條件是 a∈（，1） 10．逆命題：“圓的兩直徑互相平分”，否命題“圓的兩條相交弦若不互相平分，則它們不都是直徑”；逆否命題：“圓的兩相交弦若不都是直徑，則它們不相互平分”。 ∵圓的兩相交弦互相平分，∴交點(diǎn)是它們的中點(diǎn)，則交點(diǎn)與圓心的連線與這兩條弦都垂直，這與平面內(nèi)過一點(diǎn)作已知直線的垂線只能作一條相矛盾，除非交點(diǎn)就是圓心，此時(shí)兩弦都是直徑。 ∴原命題和逆否命題都是正確的。 ∵兩直徑都過圓心，而圓心是任一直

16、徑的中點(diǎn)，故兩直徑互相平分。 ∴逆命題和逆否命題也都是正確的。 11．命題“a≥bc＞d”之逆否命題為“c≤da＜b”，又有“a＜be≤f”∴c≤de≤f，但由題設(shè)條件，由e≤f不能保證推出c≤d. ∴“c≤d”是“e≤f”的充分條件，但不是必要條件，選（A） 12．常數(shù)列是公差為0的等差數(shù)列，非零常數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列，但由“0”組成的常數(shù)列不是等比數(shù)列，故（1）中p是q的必要條件，但不是充分條件； 當(dāng)?shù)墓炔粸?時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn===，但q=1時(shí)，Sn=na1而不能寫為上述形式，（2）中p是q的必要條件，但不是充分條件； 等差數(shù)列前n項(xiàng)Sn=na1+d=n2+(a1－)n

17、，當(dāng)d≠0時(shí)，（n，Sn）為過原點(diǎn)的拋物線y=x2+(a1－)x上的點(diǎn)，但d=0時(shí)，則為直線y=a1x上的點(diǎn)，故（3）中p是q的充分條件，但不是必要條件； 當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=p+q 當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－=(p－1)，說明從第二項(xiàng)起構(gòu)成公比為P的等比數(shù)列，故從第一項(xiàng)就構(gòu)成等比數(shù)列的充要條件是p+q=p－1，即q=－1，（4）中p是q的充要條件 填④ 13．∵mx2－4x+4=0是一元二次方程 ∴m≠0。 另一方程為x2－4mx+4m2―4m―5=0 都要有實(shí)根 ∴ 解得m∈[－，1] 兩根為整數(shù)，故和與積也為整數(shù). ∴m為4之約數(shù) ∴m=－1或1

18、m=－1時(shí)，第一個方程與x2+4x－4=0 根非整數(shù)，而m=1時(shí)，兩方程均為整數(shù)根 ∴兩方程根均為整數(shù)的充要條件是m=1 六、附錄 例1．∠A＞∠Ba＞b2RsinA＞2RsinBsinA＞sinB。 p是q1 的充要條件。 y=cosx在（0，π）單調(diào)減，A，B∈（0，π），故∠A＞∠BcosA＜cosB，p是q2充要條件 y=cotx在（0，π）單調(diào)減，A、B∈（0，π），故∠A＞∠BcotA＜cotB，p是q3的充要條件； 由900＞600，sin900＞cos600，及1350＞300，sin1350＜cos300知，p不是q4的充分條件，也不是q4的必要條件。 例2．充要條件（證明見正文） 例3．四個命題都是真命題 例4．非p：＞2，即x＜－1或x＞11 非q：x2―2x+1―m2＞0，即x＜1－m或x＞1+m. 非qp： ∴m≥10 m≥10時(shí)，―1與―1―m不可能相等，故非p 非q， ∴m∈ 例5．必要條件，但不是充分條件 例6．見正文