2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第8章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 8.1 向量的數(shù)量積 8.1.2 向量數(shù)量積的運算律學(xué)案 新人教B版第三冊

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1、8.1.2　向量數(shù)量積的運算律 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.通過向量數(shù)量積的定義給出向量數(shù)量積的運算律．(難點) 2.能利用運算律進(jìn)行向量的數(shù)量積運算．(重點，難點) 1.通過向量加法與數(shù)乘運算律得到數(shù)量積的運算律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)． 2.利用平面向量的運算律進(jìn)行數(shù)量積運算，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng). 1.兩個向量數(shù)量積的運算律 (1)交換律：a·b＝b·a. (2)結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)． (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 思考1：根據(jù)實數(shù)乘法的分配律，得到向量數(shù)量積的分配律： (1)實數(shù)a，b，c的乘

2、法分配律：(a＋b)·c＝______. (2)向量a，b的數(shù)量積的分配律：(a＋b)·c＝____. [提示](1)ac＋bc(2)a·c＋b·c 2.重要公式： 平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 完全平方公式 (a±b)2＝a2±2a·b＋b2 思考2：根據(jù)實數(shù)的乘法公式，得到向量數(shù)量積的公式： (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__________； 向量數(shù)量積公式：(a＋b)(a－b)＝________. (2)完全平方公式：(a±b)2＝__________； 向量數(shù)量積公式：(a±b)2＝__________. [提示](1)a2－b2

3、；a2－b2 (2)a2±2ab＋b2；a2±2a·b＋b2 1.下面給出的關(guān)系式中正確的個數(shù)是(　　) ① 0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2； ④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2. A．1　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 C　[①②③正確，④錯誤，⑤錯誤，(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2·b2cos 2 θ≠a2·b2，選C．] 2.已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a與b的夾角為90°，b與c的夾角為45°，則a·(b·c)的化簡結(jié)果是(　　) A．0　 B．a(chǎn)　 C．b　 D．c B　[b·c＝

4、|b||c|cos 45°＝1.∴a·(b·c)＝a.] 3.已知|a|＝2，|b|＝1，a與b之間的夾角為60°，那么向量|a－4b|2＝(　　) A．2　 B．2　 C．6　 D．12 D　[∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12.] 4．設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列結(jié)論： ①a·c－b·c＝(a－b)·c； ②(b·c)·a－(c·a)·b不與c垂直； ③|a|－|b|<|a－b|； ④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2. 其中正確的序號是________．

5、 ①③④　[根據(jù)向量積的分配律知①正確；因為[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， ∴(b·c)·a－(c·a)·b與c垂直，② 錯誤； 因為a，b不共線，所以|a|，|b|，|a－b|組成三角形三邊，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正確；④正確．故正確命題的序號是①③④.] 利用向量數(shù)量積的運算律計算 【例1】(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則·＝________. (2)(2019·東營高一檢測)已知e1，e2是互相垂直的單位向量，a＝e1－e2，b＝e1＋λe2. ①

6、若a⊥b，求實數(shù)λ的值； ②若a與b的夾角為60°，求實數(shù)λ的值． [思路探究](1)利用向量垂直的充要條件轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積計算． (2)利用平面向量的數(shù)量積公式以及運算律，解方程求參數(shù)的值． (1)18　[在平行四邊形ABCD中，得＝＋，＝－. 由AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，得·＝·(＋)＝0?·＝－·. 所以·＝·(－)＝·－·＝－2·＝2· ＝2||||cos〈，〉＝2||2＝18.] (2)[解]?、儆蒩⊥b, 得a·b＝0，則(e1－e2)·(e1＋λe2)＝0，得e＋λe1·e2－e1·e2－λe＝0，－λ＝0，所以λ＝. ②因為e1－e2與e1＋λe2的

7、夾角為60°，所以cos 〈e1－e2，e1＋λe2〉＝，且·＝e＋λe1·e2－e1·e2－λe＝－λ， |e1－e2|＝＝＝2， |e1＋λe2|＝＝＝，∴－λ＝2××cos 60°＝， 解得λ＝. 利用向量數(shù)量積的運算律計算的注意事項 (1)計算(λa＋μb)·(λa＋μb)，可以類比多項式乘法運算律，注意實數(shù)的乘法、數(shù)乘向量和向量的數(shù)量積在表示和意義的異同. (2)三個實數(shù)的積滿足結(jié)合律(ab)c＝a(bc)＝(ac)b，而三個向量的“數(shù)量積”不一定滿足結(jié)合律，即下列等式不一定成立：(a·b)·c＝a·(b·c)＝(a·c)·b，這是因為上式的本質(zhì)為λc＝μa＝kb，當(dāng)

8、三個向量不共線時，顯然等式不成立. 1.已知△ABC外接圓半徑是1，圓心為O，且3＋4＋5＝0，則·＝(　　) A．　　　B．　　　C．－　　　D． C　[由3＋4＋5＝0，得5＝－3－4，兩邊平方，得252＝92＋162＋24·， 因為△ABC外接圓半徑是1，圓心為O，所以25＝9＋16＋24·，即·＝0. 所以·＝(5)·(－)＝(－3－4)·(－)＝(－3·＋32－42＋4·)＝－.] 利用平面向量的數(shù)量積證明幾何問題 【例2】　如圖，已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中點，E是AB上的一點，且AE＝2EB．求證：AD⊥CE. [思路探究]　

9、借助平面向量垂直的充要條件解題，即通過計算·＝0完成證明． [證明]　設(shè)此等腰直角三角形的直角邊長為a，則 ·＝· ＝·＋·＋·＋· ＝－a2＋0＋a·a·＋·a· ＝－a2＋a2＋a2＝0. 所以AD⊥CE. 利用向量法證明幾何問題的方法技巧 (1)利用向量表示幾何關(guān)系，如位置關(guān)系、長度關(guān)系，角度關(guān)系. (2)進(jìn)行向量計算，如向量的線性運算、數(shù)量積運算. (3)將向量問題還原成幾何問題，如向量共線與三點共線或者直線平行，向量的夾角與直線的夾角等. 2.在邊長為1的菱形ABCD中，∠A＝60°，E是線段CD上一點，滿足||＝2||，如圖所示，設(shè)＝a，＝b.

10、(1)用a，b表示； (2)在線段BC上是否存在一點F滿足AF⊥BE？若存在，確定F點的位置，并求||；若不存在，請說明理由． [解](1)根據(jù)題意得：＝＝b， ＝＝＝－＝－a， ∴＝＋＝b－a； (2)結(jié)論：在線段BC上存在使得4||＝||的一點F滿足AF⊥BE，此時||＝. 理由如下： 設(shè)＝t＝tb，則＝(1－t)b，(0≤t≤1)， ∴＝＋＝a＋tb， ∵在邊長為1的菱形ABCD中，∠A＝60°， ∴|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|cos 60°＝， ∵AF⊥BE， ∴·＝(a＋tb)·＝a·b－a2＋tb2 ＝×－＋t＝0， 解得t＝，從而＝a＋

11、b， ∴||＝＝ ＝＝. 1.向量的數(shù)量積與實數(shù)乘積運算性質(zhì)的比較 實數(shù)a，b，c 向量a，b，c a≠0，a·b＝0?b＝0 a≠0，a·b＝0?/ b＝0 a·b＝b·c(b≠0)?a＝c a·b＝b·c(b≠0)?/ a＝c |a·b|＝|a|·|b| |a·b|≤|a|·|b| 滿足乘法結(jié)合律 不滿足乘法結(jié)合律 2.知識導(dǎo)圖 ——數(shù)量積運算律—— ∣ 1.已知|a|＝3，|b|＝2，則(a＋b)·(a－b)＝(　　) A．2　　　 B．3 C．5 D．－5 C　[因為|a|＝3，|b|＝2，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝9－

12、4＝5.] 2.已知?ABCD中，||＝4，||＝3，N為DC的中點，＝2，則·＝(　　) A．2　　　　 B．5 C．6　　　　　 D．8 C　[·＝(＋)·(＋) ＝·＝2－2 ＝×42－×32＝6.故選C．] 3.已知向量|a|＝2|b|＝2，a與b的夾角為120°，則|a＋2b|＝(　　) A．2　　　　 B．3 C．4　　 D．6 A　[因為向量|a|＝2|b|＝2，a與b的夾角為120°，則|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4|a||b|cos 120°＋4＝4.所以|a＋2b|＝2.] 4．已知向量a與b的夾角為30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，則|b|＝________. 　[因為|2a－b|＝1，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋|b|2－4|b|cos 30°＝1， 即|b|2－2|b|＋3＝0，所以(|b|－)2＝0，所以|b|＝.] 7