2019-2020學年高中數學 第2章 函數 1 生活中的變量關系 2 對函數的進一步認識 2.1 函數概念學案 北師大版必修1

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1、2．1　函數概念 學 習 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1.通過實例，了解生活中的變量關系．(易混點) 2．理解函數的概念及函數的三要素．(重點) 3．會求一些簡單函數的定義域和值域．(重點、難點) 4．能夠正確使用區(qū)間表示某些函數的定義域和值域．(重點、難點) 1.通過學習函數的概念，提升數學抽象素養(yǎng)． 2．通過求一些簡單函數的定義域和值域，培養(yǎng)數學運算素養(yǎng). 1．生活中的變量關系 閱讀教材P23～P25內容，完成下列問題． 并非有依賴關系的兩個變量都有函數關系．只有滿足對于其中一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一確定的值與之對應時，才稱它們之間具有函數關系． 2

2、．函數的概念 閱讀教材P26～P27“值域是{s|s≥0}”之間的部分，完成下列問題． (1)定義 給定兩個非空數集A和B，如果按照某個對應關系f，對于集合A中任何一個數x，在集合B中都存在唯一確定的數f(x)與之對應，那么就把對應關系f叫作定義在集合A上的函數． (2)記法 f：A→B，或y＝f(x)，x∈A. (3)名稱 x叫作自變量，集合A叫作函數的定義域．集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫作函數的值域，稱y是x的函數． 思考：函數y＝x2－1(x∈R)與函數y＝t2－1(t∈R)是同一函數嗎？ [提示]　是同一函數，這兩個函數定義域相同，對應關系也相同．因此，這兩個函

3、數是同一函數． 3．區(qū)間的概念 閱讀教材P27從“研究函數常常用到區(qū)間的概念”～“例1”以上內容，完成下列問題． (1)區(qū)間的定義 條件：aa} {x|x≤a} {x|x

4、(a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 幾何 表示 1．下列等式中，y不是x的函數關系的是(　　) A．y＝2x　　　　　 B．y＝ C．y＝x2＋5 D．y2＝x2＋5 D　[選項A、B、C符合函數定義．對于選項D，當x＝0時，y＝±.故y不是x的函數．] 2．函數y＝＋的定義域為(　　) A．{x|x≤1}　　　　 B．{x|x≥0} C．{x|x≥1，或x≤0} D．{x|0≤x≤1} D　[依題意，得解得0≤x≤1.] 3．集合{x|x≥0，且x≠1}用區(qū)間表示為________． [答案] [0,1)∪(1，＋∞)

5、 4．若函數f(x)＝2x2＋3x－5，則f(2)＝________. 9　[f(2)＝2×22＋3×2－5＝9.] 生活中的變量關系及判斷 【例1】　下列兩個變量之間是否存在依賴關系，其中哪些是函數關系？ (1)圓的面積與其半徑之間的關系； (2)家庭收入與消費支出之間的關系； (3)人的身高與視力之間的關系； (4)價格不變的情況下，商品銷售額和銷售量之間的關系． [思路探究]　當一個變量隨著另一個變量的變化而變化時，這兩個變量之間存在依賴關系；存在依賴關系的兩個變量，對于一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一確定的值與之對應時，這兩個變量具有函數關系． [解]　

6、(1)圓的面積隨圓的半徑的變化而變化，所以圓的面積與其半徑之間存在依賴關系，又因為對每一個半徑的值，都有唯一的圓的面積與之對應，故圓的面積是半徑的函數． (2)消費支出隨家庭收入的變化而變化，消費支出與家庭收入之間存在依賴關系，但消費支出還要受到其他因素的影響，二者之間不是函數關系． (3)人的身高與視力之間不存在依賴關系． (4)價格不變的情況下，商品銷售額隨銷售量的變化而變化，二者存在依賴關系，且商品銷售額是銷售量的函數． 綜上可知，(1)(4)中的變量存在依賴關系，且是函數關系； (2)中的變量存在依賴關系，不是函數關系；(3)中的變量不存在依賴關系． 1．判斷兩個變量之

7、間是否存在依賴關系，只需看一個變量發(fā)生變化時，另一個變量是否會隨之變化． 2．判斷兩個具有依賴關系的變量是否是函數關系，關鍵是看二者之間的關系是否具有確定性，即驗證對于一個變量的每一個值，另一個變量是否都有唯一確定的值與之對應． 1．下列變量之間是否具有依賴關系？其中哪些是函數關系？ ①正方形的面積和它的邊長之間的關系； ②姚明罰球次數與進球次數之間的關系； ③施肥量與作物產量之間的關系； ④汽車從A地到B地所用時間與汽車速度之間的關系． [解]?、佗冖邰苤袃蓚€變量都存在依賴關系，其中①④是函數關系，②③不是函數關系． 函數的概念 【例2】　(1)設M＝{x|0≤

8、x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個圖形： 能表示從集合M到集合N的函數關系的個數是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)下圖中能表示函數關系的是________． (1)B　(2)①②④　[(1)①中，因為在集合M中，當1

9、數的方法 ①先觀察兩個數集A，B是否非空. ②驗證對應關系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性. (2)根據圖形判斷對應是否為函數的步驟 ①任取一條垂直于x軸的直線l. ②在定義域內平行移動直線l. ③若l與圖形有且只有一個交點，則是函數；若在定義域內沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數. 2．下列各式是否表示y是x的函數關系？如果是，寫出這個函數的解析式；若不是，請說明原因． (1)5x＋2y＝1(x∈R)；(2)xy＝－3(x≠0)； (3)x2＋y2＝1(x∈(－1,0))；(4)x3＋y3＝1(x∈R)． [解]　(1)5x＋2y＝1(x∈R)

10、是函數關系，解析式為y＝－x＋； (2)xy＝－3(x≠0)是函數關系，解析式為y＝(x≠0)； (3)x2＋y2＝1(x∈(－1,0))不是函數關系，因對于x∈(－1,0)的任意一個值，對應的y值有兩個； (4)x3＋y3＝1(x∈R)是函數關系，解析式為y＝. 求函數的定義域 【例3】　求下列函數的定義域： (1)y＝＋；(2)y＝. [思路探究]　求函數的定義域就是求使函數表達式有意義的自變量的取值范圍，可通過列不等式或不等式組求解． [解]　(1)依題意解得－1≤x≤1. 所以，函數y＝＋的定義域為[－1,1]． (2)依題意，解得x≤1，且x≠0，且x≠－

11、1. 所以，函數y＝的定義域為(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0,1]． 1．當函數是由解析式給出時，求函數的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍．(1)偶次根號下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能為0；(3)零次冪的底數不為0；(4)如果函數有實際背景，那么除符合上述要求外，還要符合實際情況． 2．注意定義域是一個集合，其結果必須用集合或區(qū)間來表示． 3．函數y＝＋的定義域是(　　) A．{x|x≤1}　　　　 B．{x|x≥0} C．{x|x≤0，或x≥1} D．{x|0≤x≤1} A　[依題意1－x≥0，解得x≤1.所以，函數y＝＋的定義域

12、為{x|x≤1}．] 求函數值與值域 [探究問題] 1．已知f(x)＝，如何求f？ 提示：f＝＝＝. 2．已知f(x)＝，若f(x)＝2，如何求x? 提示：由f(x)＝2，得＝2，解得x＝－2. 3．已知f(x)＝，如何求f[f(x)]? 提示：f[f(x)]＝＝＝＝. 　已知f(x)＝(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)． (1)求f(1)，g(1)的值； (2)求f[g(x)]的值． [思路探究]　(1)將x＝1分別代入f(x)與g(x)的函數表達式中求出函數值． (2)將x＝x＋4代入f(x)的解析式中，求出f[g(x)]． [解]　(1)f(1

13、)＝＝1，g(1)＝1＋4＝5. (2)f[g(x)]＝f(x＋4)＝＝＝－(x∈R，且x≠－2)． 1．(變結論)在本例條件下，求g[f(1)]的值及f(2x＋1)的表達式． [解]　g[f(1)]＝g(1)＝1＋4＝5. f(2x＋1)＝＝－. 2．(變條件、變結論)若將本例g(x)的定義域改為{0,1,2,3}，求g(x)的值域． [解]　因為g(x)＝x＋4，x∈{0,1,2,3}，所以g(0)＝4，g(1)＝5，g(2)＝6，g(3)＝7. 所以g(x)的值域為{4,5,6,7}． (1)求函數值的方法 ①先要確定出函數的對應關系f的具體含義，②然后將變量取

14、值代入解析式計算，對于f[g(x)]型的求值，按“由內到外”的順序進行，要注意f[g(x)]與g[f(x)]的區(qū)別. (2)求函數值域的常用方法 ①觀察法：對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到； ②配方法：此法是求“二次函數類”值域的基本方法，即把函數通過配方轉化為能直接看出其值域的方法； ③分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數類”的形式，便于求值域； ④換元法：即運用新元代換，將所給函數化成值域易確定的函數，從而求得原函數的值域. 1．對函數相等的概念的理解 (1)函數有三個要素：定義域、值域、對應關系．函數的定義域和對應關系共同

15、確定函數的值域，因此當且僅當兩個函數的定義域和對應關系都分別相同時，這兩個函數才是同一個函數． (2)定義域和值域都分別相同的兩個函數，它們不一定是同一函數，因為函數對應關系不一定相同．如y＝x與y＝3x的定義域和值域都是R，但它們的對應關系不同，所以是兩個不同的函數． 2．區(qū)間實質上是數軸上某一線段或射線上的所有點所對應的實數的取值集合，即用端點所對應的數、“＋∞”(正無窮大)、“－∞”(負無窮大)、方括號(包含端點)、小圓括號(不包含端點)等來表示的部分實數組成的集合．如{x|a

16、績與物理成績的關系是函數關系．(　　) (2)根據函數的定義，定義域中的多個x可以對應同一個y值．(　　) (3)在函數f：A→B中，值域即集合B.(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．已知f(x)＝x2＋1，則f[f(－1)]＝________. 5　[∵f(－1)＝(－1)2＋1＝2， ∴f[f(－1)]＝f(2)＝22＋1＝5.] 3．函數y＝的定義域是________． {x|x≠±1}　[由x2－1≠0，得x≠±1.所以函數y＝的定義域為{x|x≠±1}．] 4．已知函數f(x)＝. (1)求f(2)和f[f(2)]； (2)若f(x)＝，求x； (3)求函數f(x)的值域． [解]　(1)∵f(2)＝＝，∴f[f(2)]＝f＝＝＝－. (2)由f(x)＝，得＝，x2＝3，∴x＝±. (3)f(x)＝1＋. ∵x2＋1≥1，∴－2≤<0，∴－1≤1＋<1. ∴函數f(x)的值域為[－1,1)． - 8 -