2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1.3 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系 2.1.4 平面與平面之間的位置關(guān)系學(xué)案（含解析）新人教A版必修2

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1、2.1.3　空間中直線與平面之間的位置關(guān)系2.1.4　平面與平面之間的位置關(guān)系 知識導(dǎo)圖 學(xué)法指導(dǎo) 1.在判斷線面關(guān)系、面面關(guān)系時，一般都要遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從線線關(guān)系到線面關(guān)系，再到面面關(guān)系． 2．無論是判斷還是證明，一定要注意對自然語言、圖形語言和符號語言進行相互轉(zhuǎn)換，使三者相輔相成． 高考導(dǎo)航 本節(jié)內(nèi)容在高考中很少單獨考查，通過掌握空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系，進而掌握后面將要學(xué)習(xí)的直線、平面平行(或垂直)的判定及其性質(zhì)等，要引起重視. 知識點一　空間中直線與平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 直線a在 平面α內(nèi) 直線a在平面α外

2、 直線a與平面α相交 直線a與平面α平行 公共點 無數(shù)個公共點 1個公共點 0個公共點 符號表示 a?α a∩α＝A a∥α 圖形表示 知識點二　平面與平面之間的位置關(guān)系 位置關(guān)系 兩平面平行 兩平面相交 公共點 沒有公共點 有一條公共直線 位置關(guān)系 兩平面平行 兩平面相交 圖形表示 符號表示 α∥β α∩β＝a 1．判斷面面位置關(guān)系時，要利用好長方體(或正方體)這一模型． 2．畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行． [小試身手] 1．判斷下列命題是否正確. (

3、正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行．(　　) (2)若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行．(　　) (3)若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行．(　　) (4)若兩個平面都平行于同一條直線，則這兩個平面平行．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．若直線a不平行于平面α，則下列結(jié)論成立的是(　　) A．α內(nèi)的所有直線均與a異面 B．α內(nèi)不存在與a平行的直線 C．α內(nèi)直線均與a相交 D．直線a與平面α有公共點 解析：若直線a不平行于平面α，則直線a

4、在平面α內(nèi)或直線a與平面α相交，故選D. 答案：D 3．平面α∥平面β，直線a∥平面α，則(　　) A．a(chǎn)∥β　　　　　　　　B．a(chǎn)在平面β上 C．a(chǎn)與β相交 D．a(chǎn)∥β或a?β 解析：如圖1滿足a∥α，α∥β，此時a∥β； 如圖2滿足a∥α，α∥β，此時a?β，故選D. 答案：D 4．若直線a，b是異面直線，a?β，則b與平面β的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．相交 C．b?β D．平行或相交 解析：∵a，b異面，且a?β，∴b?β，∴b與β平行或相交． 答案：D 類型一　考查直線與平面的位置關(guān)系 例1　給出以下命題(其中a，b表示直線，α表示

5、平面)： ①若a∥α，b∥α，則a∥b；②若a∥b，b∥α，則a∥α；③若a∥α，b?α，則a∥b；④若α的同側(cè)有兩點A，B到平面α的距離相等，則AB∥α. 其中正確命題的個數(shù)是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′與B′C′相交，故①錯誤；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故②錯誤；A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′與BC異面，故③錯誤．④顯然正確． 【

6、答案】　B 作出一個長方體→找出滿足條件的直線和平面→對比結(jié)論判斷正誤 方法歸納 直線與平面位置關(guān)系的判斷方法和注意事項 (1)判斷方法． 首先把文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，然后弄清圖形間的相對位置是確定的還是可變的，最后根據(jù)定義確定直線與平面的位置關(guān)系． 可以借助幾何體模型，把要判斷關(guān)系的直線和平面放在某些具體的空間圖形中，以便正確作出判斷，切忌憑空臆斷． (2)注意事項． ①空間中直線與平面只有三種位置關(guān)系：直線與平面平行、直線與平面相交和直線在平面內(nèi)．在判斷直線與平面的位置關(guān)系時，這三種情形都要考慮到，避免疏忽和遺漏． ②正確理解“直線在平面外”的含義． 跟蹤訓(xùn)練

7、1　下列結(jié)論正確的是________． (1)若直線a∥平面α，直線b?α，則a∥b； (2)若直線a∥平面α，直線b∥平面α，則直線a與b相交； (3)若直線a?平面α，則a∥α或a與α相交； (4)若直線a∩平面α＝A，則a?α； (5)若直線a?平面α，直線b?平面α，則a，b無公共點． 解析：(1)錯，a，b還可能異面；(2)錯，a，b還可能異面或平行；(3)正確，a?α包含兩種情況，相交或平行；(4)正確，a∩α＝A，則a與α相交，有a?α；(5)錯，a，b還可能相交． 答案：(3)(4) 有關(guān)直線與平面的位置關(guān)系的問題，我們可借助熟悉的幾何體(如正方體、長方體)模型

8、解決． 類型二　平面與平面的位置關(guān)系 例2　α、β是兩個不重合的平面，下列說法中正確的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．平面α內(nèi)有兩條直線a，b都與平面β平行，那么α∥β B．平面α內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面β，那么α∥β C．若直線a與平面α和平面β都平行，那么α∥β D．平面α內(nèi)所有的直線都與平面β平行，那么α∥β 【解析】　A，B都不能保證α，β無公共點，如圖(1)所示；C中當(dāng)a∥α，a∥β時，α與β可能相交，如圖(2)所示；只有D保證α，β一定無公共點． 【答案】　D 從平面與平面平行的定義出發(fā)進行判斷，即

9、兩平面沒有公共點． 方法歸納 兩個平面的位置關(guān)系同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系類似，可以從有無公共點區(qū)分：如果兩個平面有一個公共點，那么由公理3可知，這兩個平面相交于過這個點的一條直線；如果兩個平面沒有公共點，那么就說這兩個平面互相平行．這樣我們可以得出兩個平面的位置關(guān)系：①平行——沒有公共點；②相交——有且只有一條公共直線．若平面α與β平行，記作α∥β；若平面α與β相交，且交線為l，記作α∩β＝l. 跟蹤訓(xùn)練2　如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，且這兩條直線互相平行，那么這兩個平面的位置關(guān)系是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A

10、．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不正確 解析：如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB?平面ABCD，C1D1?平面A1B1C1D1，C1D1?平面CDD1C1，AB∥C1D1，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD與平面CDD1C1相交． 答案：C 借助正方體，找到題中的條件符合的平面，觀察兩個平面的位置關(guān)系. 2.1.3-4 [基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關(guān)系一定是(　　) A．平行　　　　B．相交 C．平行或

11、相交 D．不能確定 解析：如下圖所示： 由圖可知，兩個平面平行或相交． 答案：C 2．如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行，那么這條直線與另一個平面的位置關(guān)系為(　　) A．平行 B．相交 C．直線在平面內(nèi) D．平行或直線在平面內(nèi) 解析：由面面平行的定義可知，若一條直線在兩個平行平面中的一個平面內(nèi)，則這條直線與另一個平面無公共點，所以與另一個平面平行．由此可知，本題中這條直線可能在平面內(nèi)．否則此直線與另一個平面平行(因為若一條直線與兩個平行平面中的一個平面相交，則必然與另一個平面相交)． 答案：D 3．若直線l不平行于平面α，且l?α，則(　　) A．α內(nèi)的所有

12、直線與l異面 B．α內(nèi)不存在與l平行的直線 C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行 D．α內(nèi)的直線與l都相交 解析：若在平面α內(nèi)存在與直線l平行的直線，因l?α，故l∥α，這與題意矛盾． 答案：B 4．[2019·安陽課時檢測]過平面外兩點作該平面的平行平面，可以作(　　) A．0個 B．1個 C．0個或1個 D．1個或2個 解析：平面外兩點的連線與已知平面的位置關(guān)系有兩種情況： ①直線與平面相交，可以作0個平行平面． ②直線與平面平行，可以作1個平行平面． 答案：C 5．[2019·鄭州課時檢測]給出下列說法： ①若直線a在平面α外，則a∥α；②若直線a∥b，b?平面

13、α，則a∥α；③若直線a∥平面α，那么直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線． 其中說法正確的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：對于①，直線a在平面α外包括兩種情況，即a∥α或a與α相交，∴a和α不一定平行，∴①說法錯誤． 對于②，∵直線a∥b，b?平面α，只能說明a和b無公共點，但a可能在平面α內(nèi)，∴a不一定平行于α，∴②說法錯誤． 對于③，比如在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥平面ABCD，A1D1∥AD，∴平面ABCD內(nèi)任一條平行于AD的直線都與A1D1平行，∴③說法正確． 答案：B 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．有下列命題：

14、 ①兩個平面有無數(shù)個公共點，則這兩個平面重合； ②若l，m是異面直線，l∥α，m∥β，則α∥β. 其中錯誤命題的序號為________． 解析：對于①，兩個平面相交，則有一條交線，也有無數(shù)多個公共點，故①錯誤；對于②，借助于正方體ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB與B1C1異面，而平面DCC1D1與平面AA1D1D相交，故②錯誤． 答案：①② 7．與空間四邊形ABCD四個頂點距離相等的平面共有________個． 解析：A，B，C，D四個頂點在平面α的異側(cè)，如果一邊3個，另一邊1個，適合題意的平面有4個；如果每邊2個，適合題意的平

15、面有3個，共7個． 答案：7 8．下列命題正確的有________． ①若直線與平面有兩個公共點，則直線在平面內(nèi)； ②若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α； ③若直線l與平面α相交，則l與平面α內(nèi)的任意直線都是異面直線； ④如果兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線一定與該平面相交； ⑤若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線平行或異面； ⑥若平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β，則直線a∥b. 解析：對②，直線l也可能與平面相交；對③，直線l與平面內(nèi)不過交點的直線是異面直線，而與過交點的直線相交；對④，另一條直線可能在平面內(nèi)，也可能與平面平行；對⑥，兩平

16、行平面內(nèi)的直線可能平行，也可能異面．故①⑤正確． 答案：①⑤ 三、解答題(每小題10分，共20分) 9. 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1和BB1的中點，則下列直線與平面的位置關(guān)系是什么？ (1)AM所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系； (2)CN所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系； (3)AM所在的直線與平面CDD1C1的位置關(guān)系； (4)CN所在的直線與平面CDD1C1的位置關(guān)系． 解析：(1)AM所在的直線與平面ABCD相交； (2)CN所在的直線與平面ABCD相交； (3)AM所在的直線與平面CDD1C1平行； (4)CN所在

17、的直線與平面CDD1C1相交． 10. 如圖，已知平面α∩β＝l，點A∈α，點B∈α，點C∈β，且A?l，B?l，直線AB與l不平行，那么平面ABC與平面β的交線與l有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論． 解析：平面ABC與β的交線與l相交． 證明：∵AB與l不平行，且AB?α，l?α， ∴AB與l一定相交，設(shè)AB∩l＝P， 則P∈AB，P∈l. 又∵AB?平面ABC，l?β， ∴P∈平面ABC，P∈β. ∴點P是平面ABC與β的一個公共點，而點C也是平面ABC與β的一個公共點，且P，C是不同的兩點， ∴直線PC就是平面ABC與β的交線． 即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，

18、 ∴平面ABC與β的交線與l相交． [能力提升](20分鐘，40分) 11．[2019·洛陽單元練習(xí)]下列說法中正確的個數(shù)是(　　) ①平面α與平面β，γ都相交，則這三個平面有2條或3條交線； ②如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面； ③直線a不平行于平面α，則a不平行于α內(nèi)任何一條直線． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：①錯誤．平面α與平面β，γ都相交，則這三個平面可能有2條或3條交線，還可能只有1條交線． ②錯誤．如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a有可能在經(jīng)過b的平面內(nèi)． ③錯誤．直線a不平行于平面α，則a有可能在平面α內(nèi)，此時a

19、可以與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行． 答案：A 12．三個平面最多能把空間分為________部分，最少能把空間分成________部分． 解析：三個平面可將空間分成4,6,7,8部分，所以三個平面最少可將空間分成4部分，最多分成8部分． 答案：8　4 13．如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，P是A′D的中點，Q是B′D′的中點，判斷直線PQ與平面AA′B′B的位置關(guān)系，并利用定義證明． 解析：直線PQ與平面AA′B′B平行． 連接AD′，AB′，在△AB′D′中，∵PQ是△AB′D′的中位線，平面AB′D′∩平面AA′B′B＝AB′，∴PQ在平面AA′B′B外，且與

20、直線AB′平行，∴PQ與平面AA′B′B沒有公共點，∴PQ與平面AA′B′B平行． 14．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中點，畫出過D1，C，E的平面與平面ABB1A1的交線，并說明理由． 解析：如圖，取AB的中點F，連接EF，A1B，CF. ∵E是AA1的中點， ∴EF∥A1B. 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四邊形A1BCD1是平行四邊形． ∴A1B∥CD1， ∴EF∥CD1. ∴E，F(xiàn)，C，D1四點共面． ∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE， F∈平面ABB1A1，F(xiàn)∈平面D1CE， ∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF. ∴過D1，C，E的平面與平面ABB1A1的交線為EF. - 11 -