2018高中數(shù)學 第3章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入學案 理 蘇教版選修2-2

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1、 第3章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 一、學習目標： 1. 理解復數(shù)的基本概念； 2. 理解復數(shù)相等的充要條件； 3. 了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義； 4. 會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算； 5. 了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義。 二、重點、難點 重點：掌握復數(shù)的概念；復數(shù)的加法與減法的運算及幾何意義；復數(shù)的四則運算。 難點：對復數(shù)概念和復數(shù)的幾何意義的靈活運用及復數(shù)運算的準確運用。 三、考點分析： 1. 復數(shù)的有關(guān)概念和復數(shù)的幾何意義是高考命題的熱點之一，常以選擇題的形式出現(xiàn)，屬容易題； 2. 復數(shù)的代數(shù)運算是高考的另一熱點，以選擇題、填空題的形

2、式出現(xiàn)，屬容易題。 一、復數(shù)的有關(guān)概念 1. 復數(shù)的概念 形如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部。若b＝0，則a＋bi為實數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)。 2. 復數(shù)相等：a＋bi＝c＋dia＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）。 3. 共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛a＝c，b＝－d（a，b，c，d∈R）。 4. 復平面 借用直角坐標系來表示復數(shù)的平面，叫做復平面。x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。實軸上的點表示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)；各象限內(nèi)的點都表示非純虛數(shù)。 5. 復數(shù)的模 向量的模

3、r叫做復數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝。 二、復數(shù)的幾何意義 1. 復數(shù)z＝a＋bi復平面內(nèi)的點Z（a，b）（a，b∈R）； 2. 復數(shù)z＝a＋bi平面向量（a，b∈R）。 三、復數(shù)的運算 1. 復數(shù)的加、減、乘、除運算法則 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），則 ①加法：z1＋ z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i； ②減法：z1－ z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i； ③乘法：z1· z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i； ④除

4、法： 2. 復數(shù)加法的運算定律 復數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何、、∈C，有＋＝＋，（＋）＋＝＋（＋）。 注：任意兩個復數(shù)不一定能比較大小，只有這兩個復數(shù)全是實數(shù)時才能比較大小。 知識點一：復數(shù)的有關(guān)概念 例1 當實數(shù)m為何值時，z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i （1）為純虛數(shù)；（2）為實數(shù)；（3）對應的點在復平面的第二象限內(nèi)。 思路分析：根據(jù)復數(shù)分類的條件和復數(shù)的幾何意義求解。 解題過程：根據(jù)復數(shù)的有關(guān)概念，轉(zhuǎn)化為實部和虛部分別滿足的條件求解。 （1）若z為純虛數(shù)，則解得m＝3 （2）若z為實數(shù)，則解得m＝－1或m＝－2 （3）若z的對應

5、點在第二象限，則解得－1

6、題過程： …………………………① 或…………………………………………② 或…………………………③ 由①得a＝－3，b＝±2，經(jīng)檢驗，a＝－3，b＝－2不合題意，舍去。 ∴a＝－3，b＝2 由②得a＝±3，b＝－2。又a＝－3，b＝－2不合題意，∴a＝3，b＝－2； 由③得，此方程組無整數(shù)解。 綜合①②③得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2。 解題后反思：利用復數(shù)相等可實現(xiàn)復數(shù)問題向?qū)崝?shù)問題的轉(zhuǎn)化。解題時要把等號兩邊的復數(shù)化為標準的代數(shù)形式。注：對于復數(shù)z，如果沒有給出代數(shù)形式，可設(shè)z＝a＋bi（a，b∈R）。 知識點三：復數(shù)的代數(shù)運算 例3 計算： 思路分析：根據(jù)

7、復數(shù)的運算法則計算。 解題過程： 。 解題后反思：（1）在進行復數(shù)的代數(shù)運算時，記住以下結(jié)論，可提高計算速度： ④ ⑤ ⑥。 （2）復數(shù)的四則運算類似于多項式的四則運算，此時含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可，但要注意把i的冪寫成最簡單的形式，在運算過程中，要熟悉i的特點及熟練應用運算技巧。 知識點四：復數(shù)加減法的幾何意義 例4 如圖，平行四邊形OABC，頂點O、A、C分別表示0，3＋2i，－2＋4i，試求： （1）表示的復數(shù)；（2）對角線所表示的復數(shù)。 思路分析：求某個向量對應的復數(shù)，只要求出向量的起點和終點對應

8、的復數(shù)即可。 解題過程：（1）＝－，∴表示的復數(shù)為－3－2i?！撸?，∴表示的復數(shù)為－3－2i。 （2）＝－，∴所表示的復數(shù)為（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i。 解題后反思：（1）解決這類題目時可利用復數(shù)a＋bi（a，b∈R）與復平面內(nèi)以原點為起點的向量之間一一對應的關(guān)系，相等的向量表示同一復數(shù)，然后借助于向量運算的平行四邊形法則和三角形法則進行求解。 （2）復數(shù)問題實數(shù)化是解決復數(shù)問題最基本也是最重要的思想方法，橋梁是設(shè)z＝x＋yi，依據(jù)是復數(shù)相等的充要條件。 （湖北高考）若i為虛數(shù)單位，圖中復平面內(nèi)點Z表示復數(shù)z，則表示復數(shù)的點是（ ） A. E B.

9、F C. G D. H 思路分析：首先在圖形上看出復數(shù)z的代數(shù)形式，再進行復數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù)，整理成最簡形式，在坐標系中看出對應的點。 解題過程：觀察圖形可知z＝3＋i， ∴， 即對應點H（2，－1）， 故選D。 解題后反思：本題考查復數(shù)的幾何意義，考查根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式，在坐標系中找出對應的點，根據(jù)復平面上的點寫出對應的復數(shù)的表示式。 問題：已知z為復數(shù)，z＋2i和均為實數(shù)，其中i是虛數(shù)單位。 （1）求復數(shù)z； （2）若復數(shù)（z＋ai）2在復平面上對應的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍。 思路分析： （1）設(shè)出復數(shù)的代數(shù)

10、形式，整理出z＋2i和，根據(jù)兩個都是實數(shù)、虛部都等于0，得到復數(shù)的代數(shù)形式。 （2）根據(jù)上一問得出的復數(shù)的結(jié)果，代入復數(shù)（z＋ai）2中，利用復數(shù)的加減和乘方運算，寫出代數(shù)的標準形式，根據(jù)復數(shù)對應的點在第一象限，寫出關(guān)于實部大于0和虛部大于0，解不等式組，得到結(jié)果。 解題過程：（1）設(shè)復數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）， 由題意，z＋2i＝a＋bi＋2i＝a＋ ∴b＋2＝0，即b＝－2。 又， ∴2b＋a＝0，即a＝－2b＝4。∴z＝4－2i。 （2）由（1）可知z＝4－2i， ∵（z＋ai）2＝（4－2i＋ai）2＝[4＋（a－2）i]2＝16－（a－2）2＋8（a－2）i 對

11、應的點在復平面的第一象限， ∴ 解得a的取值范圍為2＜a＜6。 解題后反思：本題考查復數(shù)的加減乘除運算，復數(shù)的代數(shù)形式和幾何意義，復數(shù)與復平面上的點的對應，及解決實際問題的能力，是一道綜合題。 1. 掌握復數(shù)的代數(shù)形式，理解實部和虛部的概念，及復數(shù)的幾何意義。 2. 熟練進行復數(shù)的加減法和乘除法的運算。常用的運算公式要記牢： （1±i）2＝±2i，＝－i，＝i，＝－i，＝b－ai， （－±i）3＝1，（±i）3＝－1 3. 解決復數(shù)的根本思想，就是將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來解決。 4. 高考主要考查復數(shù)的運算，這是高考中重要的知識點。 下節(jié)課我們開始學習——選修2－3第1章第1節(jié) 兩個基本計數(shù)原理，請大家閱讀課本思考： 1. 什么是分類計數(shù)原理？ 2. 什么是分步計數(shù)原理？ 5