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1、溯源回扣八 復(fù)數(shù)、程序框圖、推理與證明
1.復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的充要條件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi(a，b∈R)).還要注意巧妙運用參數(shù)問題和合理消參的技巧.
[回扣問題1] 設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝為純虛數(shù)，則實數(shù)a＝________.
解析 z＝＝＝＋，
由于z為純虛數(shù)，且a∈R，
∴≠0且＝0，則a＝－2.
答案 －2
2.復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應(yīng)的點為Z(a，b)，不是Z(a，bi)；當且僅當O為坐標原點時，向量與點Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)相同.
[回扣問題2] (2018·北京卷)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于( )
A.第一象限 B.第二象
2、限
C.第三象限 D.第四象限
解析?。剑剑玦，其共軛復(fù)數(shù)為－i，對應(yīng)的點為，故選D.
答案 D
3.類比推理易盲目機械類比，不要被表面的假象(某一點表面相似)迷惑，應(yīng)從本質(zhì)上類比.
[回扣問題3] 圖①有面積關(guān)系：＝，則圖②有體積關(guān)系：________.
答案?。?
4.反證法證明命題進行假設(shè)時，應(yīng)將結(jié)論進行否定，特別注意“至少”“至多”的否定要全面.
[回扣問題4] 用反證法證明命題“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要作的假設(shè)是________________.
解析 結(jié)論的否定：方程x3＋ax＋b＝0一個實根都沒有，所以假設(shè)是“方程x
3、3＋ax＋b＝0沒有實根”.
答案 方程x3＋ax＋b＝0沒有實根
5.控制循環(huán)結(jié)構(gòu)的是計數(shù)變量和累加變量的變化規(guī)律以及循環(huán)結(jié)束的條件.在解答這類題目時，易混淆兩變量的變化次序，且容易錯誤判定循環(huán)體結(jié)束的條件.
[回扣問題5] (2017·全國Ⅲ卷)執(zhí)行下面的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為( )
A.5 B.4 C.3 D.2
解析 若N＝2，第一次進入循環(huán)，t＝1≤2成立，S＝100，M＝－＝－10，t＝1＋1＝2≤2成立，第二次進入循環(huán)，此時S＝100－10＝90，M＝－＝1，t＝2＋1＝3≤2不成立，所以輸出S＝90<91成立，所
4、以輸入的正整數(shù)N的最小值是2.
答案 D
6.用數(shù)學歸納法證明時，易盲目認為n0的起始取值n0＝1，另外注意證明傳遞性時，必須用n＝k成立的歸納假設(shè).
[回扣問題6] 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1(n∈N*).
(1)求a1，a2；
(2)猜想數(shù)列{Sn}的通項公式，并給出證明.
解 (1)當n＝1時，方程x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，
∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.
當n＝2時，方程x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，
∴－a2－a2＝0，解得a2＝.
(2)由題意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得
SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝.
由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.
猜想Sn＝(n∈N*).
下面用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論.
①當n＝1時，結(jié)論成立.
②假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時結(jié)論成立，即Sk＝，
當n＝k＋1時，Sk＋1＝＝＝.
∴當n＝k＋1時結(jié)論成立.
由①②知Sn＝對任意的正整數(shù)n都成立.
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