2019版高考數(shù)學一輪復習 第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第27講 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入學案

《2019版高考數(shù)學一輪復習 第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第27講 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學一輪復習 第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第27講 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入學案（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第27講　數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.理解復數(shù)的基本概念． 2．理解復數(shù)相等的充要條件． 3．了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義． 4．會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算． 5．了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義. 2017·全國卷Ⅱ，1 2017·全國卷Ⅲ，2 2017·山東卷，2 2017·天津卷，9 2016·全國卷Ⅰ，2 復數(shù)的概念(如實部、虛部、純虛數(shù)、共軛復數(shù)、復數(shù)的模)及復數(shù)的四則運算(特別是除法運算)是高考考查的主要內(nèi)容，復數(shù)的幾何意義常與解析幾何知識交匯命題. 分值：5分 1．復數(shù)的有關(guān)概念 (1)復

2、數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中a，b分別是它的__實部__和__虛部__.若__b＝0__，則a＋bi為實數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若__a＝0，且b≠0__，則a＋bi為純虛數(shù)． (2)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?__a＝c且b＝d__(a，b，c，d∈R)． (3)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?__a＝c且b＝－d__(a，b，c，d∈R)． (4)復平面：建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面，叫做復平面．__x軸__叫做實軸，__y軸除去原點__叫做虛軸．實軸上的點都表示__實數(shù)__；除原點外，虛軸上的點都表示__純虛數(shù)__；各象限內(nèi)的點都表示__非純

3、虛數(shù)__.復數(shù)集用C表示． (5)復數(shù)的模：向量的模r做復數(shù)z＝a＋bi的模，記作__|z|__或__|a＋bi|__，即|z|＝|a＋bi|＝____. 2．復數(shù)的幾何意義 (1)復數(shù)z＝a＋bi復平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R)． (2)復數(shù)z＝a＋bi__平面向量__(a，b∈R)． 3．復數(shù)的運算 (1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則： ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__(a＋c)＋(b＋d)i__； ②減法：z1－z2 ＝(a＋bi)－(c＋di)＝__(a－c)＋(b－d)i__；

4、③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__； ④除法：＝＝____(c＋di≠0)． (2)復數(shù)加法的運算律 復數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝__z2＋z1__，(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋z3)__. 4．i乘方的周期性 in＝ 其中k∈Z. 5．共軛復數(shù)與模的關(guān)系 z·z＝|z|2＝||2. 1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)． (1)若a∈C，則a2≥0.(　×　) (2)在實數(shù)范圍內(nèi)的兩個數(shù)能比較大小，因而在復數(shù)范圍內(nèi)的兩個數(shù)也能比較大?。?　×　) (3

5、)一個復數(shù)的實部為0，則此復數(shù)必為純虛數(shù)．(　×　) (4)復數(shù)的模就是復數(shù)在復平面內(nèi)對應向量的模．(　√　) 解析 (1)錯誤．若a＝i，則a2＝－1<0, 因而(1)錯誤． (2)錯誤．若兩個復數(shù)為虛數(shù)，或一個為實數(shù)，一個為虛數(shù)，則它們不能比較大?。? (3)錯誤．當虛部也為0時，則此復數(shù)為實數(shù)0. (4)正確．由復數(shù)的幾何意義可知該結(jié)論正確． 2．已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若(1－2i)(a＋i)為純虛數(shù)，則a的值為(　B　) A．－6　　 B．－2　　 C．2　　 D．6 解析 由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是純虛數(shù)得由此解得a＝－2. 3．若a

6、，b∈R，i為虛數(shù)單位，且(a＋i)i＝b＋i，則(　D　) A．a(chǎn)＝1，b＝1　　 B．a(chǎn)＝－1，b＝1 C．a(chǎn)＝－1，b＝－1　　 D．a(chǎn)＝1，b＝－1 解析 由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根據(jù)兩復數(shù)相等條件得a＝1，b＝－1. 4．若復數(shù)z滿足＝2i，則z對應的點位于第__二__象限． 解析 z＝2i(1＋i)＝－2＋2i，因此z對應的點為(－2,2)，在第二象限內(nèi)． 5．若復數(shù)z滿足z＋i＝，則|z|＝____. 解析 因為z＝－i＝1－3i－i＝1－4i，則|z|＝. 一　復數(shù)的有關(guān)概念 (1)復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)

7、的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可． (2)解題時一定要先看復數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部． 【例1】 (1)(2017·天津卷)已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為__－2__. (2)(2016·江蘇卷)復數(shù)z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部是__5__. (3)設復數(shù)z滿足z2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則z的模為____. 解析 (1)由＝＝－i是實數(shù)， 得－＝0，所以a＝－2. (2)(1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5i，所以z的實部為5

8、. (3)設z＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝a2－b2＋2abi， 由復數(shù)相等的定義得解得或 從而|z|＝＝. 二　復數(shù)的幾何意義 (1)復數(shù)z、復平面上的點Z及向量相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?. (2)由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關(guān)系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀． 【例2】 (1)設復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)的對應點關(guān)于虛軸對稱，z1＝2＋i，則z1z2＝(　A　) A．－5　　 B．5　　 C．－4＋i　　 D．－4－i (2)如圖，在復平面內(nèi)，點A表示復數(shù)z，則圖中

9、表示z的共軛復數(shù)的點是(　B　) A．A　　 B．B　　 C．C　　 D．D (3)已知復數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它們所對應的點分別為A，B，C，O為坐標原點，若＝x＋y，則x＋y的值是__5__. 解析 (1)由題意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5. (2)設z＝－a＋bi(a>0，b>0)，則z的共軛復數(shù)＝－a－bi.它對應的點為(－a，－b)，是第三象限的點，即圖中的B點． (3)由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，∵＝x＋y， ∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋

10、y,2x－y)， ∴解得故x＋y＝5. 三　復數(shù)的代數(shù)形式運算 (1)復數(shù)的乘法．復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可． (2)復數(shù)的除法．除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式． 【例3】 (1)(2016·全國卷Ⅰ)設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，則|x＋yi|＝(　B　) A．1　　 B．　　 C．　　 D．2 (2)(2016·全國卷Ⅲ)若z＝1＋2i，則＝(　C　) A．1　　 B．－1　　 C．i　　 D．－i (3)若a為實數(shù)，且(2＋

11、ai)(a－2i)＝－4i，則a＝(　B　) A．－1　　 B．0　　 C．1　　 D．2 解析 (1)∵x，y∈R，(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi， ∴∴|x＋yi|＝|1＋i|＝＝.故選B． (2)∵z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴＝＝i.故選C． (3)∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，即4a＋(a2－4)i＝－4i， ∴解得a＝0. 1．(2017·北京卷)若復數(shù)(1－i)(a＋i)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是(　B　) A．(－∞，1)　　 B．(－∞，－1) C．(1，＋∞)　　 D．(－1，＋∞) 解析 因為z＝

12、(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在復平面內(nèi)對應的點為(a＋1,1－a)，又此點在第二象限，所以 解得a<－1，故選B． 2．若復數(shù)z滿足(1＋2i)z＝(1－i)，則|z|＝(　C　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 z＝＝?|z|＝. 3．已知復數(shù)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則－z2的共軛復數(shù)是(　B　) A．－1＋3i　　 B．1＋3i　　　　 C．1－3i　　 D．－1－3i 解析 －z2＝－(1＋i)2＝－2i＝1－i－2i＝1－3i，其共軛復數(shù)是1＋3i，故選B． 4．復數(shù)(i是虛數(shù)單位)的虛部是(　C　) A．1　　 B．i　　 C

13、．　　 D．i 解析 因為＝＝＋i，所以該復數(shù)的虛部為，故選C． 易錯點　復數(shù)的基本概念認識不清晰 錯因分析：①弄錯虛部的概念，忽略虛部是實數(shù)，不包含虛數(shù)單位i.②忽略純虛數(shù)中，a＝0且b≠0.③虛數(shù)之間不可以比較大小，如果兩個復數(shù)之間可以比較大小，則一定均為實數(shù)． 【例1】 若z＝(1＋i)i(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部是(　　) A．1　　 B．－1　　　　 C．i　　 D．－i 解析 ∵z＝(1＋i)i＝i＋i2＝－1＋i，∴z的虛部為1. 答案 A 【例2】 實數(shù)m分別取何值時，復數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i， (1)是實數(shù)；(2)是純虛

14、數(shù)；(3)對應點在x軸上方． 解析 (1)由z為實數(shù)，得m2－2m－15＝0，解得m＝5或m＝－3. (2)由z為純虛數(shù)，得解得m＝－2. (3)由z的對應點在x軸上方，得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5. 【跟蹤訓練1】 使不等式(m2－4m＋3)i＋10>m2－(m2－3m)i成立的實數(shù)m＝__3__. 解析 ∵(m2－4m＋3)i＋10>m2－(m2－3m)i， ∴解得m＝3. 課時達標　第27講 [解密考綱]復數(shù)的計算以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，主要考查復數(shù)的概念和復數(shù)代數(shù)形式的四則運算． 一、選擇題 1．(2017·全國卷Ⅱ)＝(　D　) A．1＋2i

15、　　 B．1－2i C．2＋i　　 D．2－i 解析 ＝＝＝2－i，故選D． 2．(2017·全國卷Ⅲ)設復數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝(　C　) A．　　 B． C．　　 D．2 解析 z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝. 3．i是虛數(shù)單位，若＝a＋bi(a，b∈R)，則lg(a＋b)的值是(　C　) A．－2　　 B．－1 C．0　　 D． 解析 ∵＝＝－i＝a＋bi， ∴∴l(xiāng)g(a＋b)＝lg 1＝0，故選C． 4．(2018·甘肅蘭州模擬)已知復數(shù)z＝(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是純虛數(shù)，則a＝(　C　) A．0　　 B．1 C．－

16、1　　 D．±1 解析 由題意得解得a＝－1. 5．滿足＝i(i為虛數(shù)單位)的復數(shù)z＝(　B　) A．＋i　　 B．－i C．－＋i　　 D．－－i 解析 去掉分母，得z＋i＝zi，所以(1－i)z＝－i， 解得z＝＝－i，故選B． 6．已知復數(shù)z＝1＋ai(a∈R)(i是虛數(shù)單位)，＝－＋i，則a＝(　B　) A．2　　 B．－2 C．±2　　 D．－ 解析 由題意可得＝－＋i，即＝＝－＋i，∴＝－，＝，∴a＝－2，故選B． 二、填空題 7．(2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則a2＋b2＝__5__，ab＝__2__. 解

17、析 ∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i， ∴∴或∴a2＋b2＝5，ab＝2. 8．在復平面上，復數(shù)對應的點到原點的距離為____. 解析 由題意可知＝＝. 9．若復數(shù)z滿足(1＋2i)z＝|3＋4i|(i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z＝__1－2i__. 解析 ∵(1＋2i)z＝|3＋4i|＝5，∴z＝＝＝1－2i. 三、解答題 10．計算：(1)； (2)； (3)＋； (4). 解析 (1)＝＝＝－1－3i. (2)＝＝＝＝＋i. (3)＋＝＋＝＋＝－1. (4)＝＝＝＝＝－－i. 11．已知z是復數(shù)，z＋2i，均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復數(shù)(z＋ai

18、)2在復平面上對應的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍． 解析 設z＝x＋yi(x，y∈R)，則z＋2i＝x＋(y＋2)i，由題意得y＝－2. ∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i. 由題意得x＝4，∴z＝4－2i.∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i. 由于(z＋ai)2在復平面上對應的點在第一象限， ∴解得2