2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第2節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用學(xué)案 北師大版

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1、第2節(jié)基本不等式及其應(yīng)用最新考綱1.了解基本不等式的證明過程；2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問題.知 識(shí) 梳 理1.基本不等式：(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào).(3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).2.兩個(gè)重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào).(2)ab(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào).3.利用基本不等式求最值已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值是2(簡(jiǎn)記：積定和最小).(2)如果和xy是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是(簡(jiǎn)

2、記：和定積最大).常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.2(a，b同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào).2.ab.3.(a0，b0).4.連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號(hào)成立的條件一致.診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)兩個(gè)不等式a2b22ab與成立的條件是相同的.()(2)函數(shù)yx的最小值是2.()(3)函數(shù)f(x)sin x的最小值為4.()(4)x0且y0是2的充要條件.()解析(1)不等式a2b22ab成立的條件是a，bR；不等式成立的條件是a0，b0.(2)函數(shù)yx值域是(，22，)，沒有最小值.(3)函數(shù)f(x)sin x的最小值為5.(4)x0且y0是2的充分不必要條件.答案(

3、1)(2)(3)(4)2.設(shè)x0，y0，且xy18，則xy的最大值為()A.80 B.77 C.81 D.82解析xy81，當(dāng)且僅當(dāng)xy9時(shí)取等號(hào).答案C3.若函數(shù)f(x)x(x2)在xa處取最小值，則a等于()A.1 B.1 C.3 D.4解析當(dāng)x2時(shí)，x20，f(x)(x2)2224，當(dāng)且僅當(dāng)x2(x2)，即x3時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，即a3.答案C4.(2017山東卷)若直線1(a0，b0)過點(diǎn)(1，2)，則2ab的最小值為_.解析由題設(shè)可得1，a0，b0，2ab(2ab)22428.故2ab的最小值為8.答案85.(教材習(xí)題改編)一段長(zhǎng)為30 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形

4、菜園，墻長(zhǎng)18 m，則這個(gè)矩形的長(zhǎng)為_m，寬為_m時(shí)菜園面積最大.解析設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m，寬為y m.則x2y30，所以Sxyx(2y)，當(dāng)且僅當(dāng)x2y，即x15，y時(shí)取等號(hào).答案15考點(diǎn)一配湊法求最值【例1】 (1)若x，則f(x)4x2的最大值為_；(2)函數(shù)y的最大值為_.解析(1)因?yàn)閤，所以54x0，則f(x)4x2323231.當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時(shí)，等號(hào)成立.故f(x)4x2的最大值為1.(2)令t0，則xt21，所以y.當(dāng)t0，即x1時(shí)，y0；當(dāng)t0，即x1時(shí)，y，因?yàn)閠24(當(dāng)且僅當(dāng)t2時(shí)取等號(hào))，所以y，即y的最大值為(當(dāng)t2，即x5時(shí)y取得最大值).答案(1)1(2)規(guī)

5、律方法1.應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號(hào)成立的條件.2.在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.【訓(xùn)練1】 (1)(2018西安月考)若對(duì)任意x1，不等式x1a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.(2)函數(shù)y(x1)的最小值為_.解析(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x1在1，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)x12在0，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)在1，)的最小值為g(1)，因此對(duì)任意x1不等式x1a恒成立，所以ag(x

6、)最小值，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)y(x1)222.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)，等號(hào)成立.答案(1)(2)22考點(diǎn)二常數(shù)代換或消元法求最值(易錯(cuò)警示)【例2】 (1)(一題多解)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值為_；(2)(一題多解)已知x0，y0，x3yxy9，則x3y的最小值為_.解析(1)法一由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)5(當(dāng)且僅當(dāng)，即x1，y時(shí)，等號(hào)成立)，3x4y的最小值是5.法二由x3y5xy，得x，x0，y0，y，3x4y4y4y425，當(dāng)且僅當(dāng)y時(shí)等號(hào)成立，(3x4y)min5.(2)由已知得x.法一(消元法)因?yàn)閤0，y0，所以0y3，所以x3y

7、3y3(y1)6266，當(dāng)且僅當(dāng)3(y1)，即y1，x3時(shí)，(x3y)min6.法二x0，y0，9(x3y)xyx(3y)，當(dāng)且僅當(dāng)x3y時(shí)等號(hào)成立.設(shè)x3yt0，則t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故當(dāng)x3，y1時(shí)，(x3y)min6.答案(1)5(2)6規(guī)律方法條件最值的求解通常有三種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是對(duì)條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解.易錯(cuò)警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條

8、件；(2)盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號(hào)成立的條件一致.【訓(xùn)練2】 (1)已知x，y均為正實(shí)數(shù)，且，則xy的最小值為()A.24 B.32 C.20 D.28(2)(2018石家莊質(zhì)檢)已知直線l：axbyab0(a0，b0)經(jīng)過點(diǎn)(2，3)，則ab的最小值為_.解析(1)x，y均為正實(shí)數(shù)，且，則xy(x2y2)46(x2y2)4646420，當(dāng)且僅當(dāng)xy10時(shí)取等號(hào).xy的最小值為20.故選C.(2)因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)(2，3)，所以2a3bab0，所以b0，所以a30，所以abaa355252，當(dāng)且僅當(dāng)a3，即a3，b2時(shí)等號(hào)成立.答案(1)C(2)52考點(diǎn)三基本

9、不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例3】 運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50x100(單位：千米/時(shí)).假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車每小時(shí)耗油升，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元.(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值.解(1)設(shè)所用時(shí)間為t(h)，y214，x50，100.所以，這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是yx，x50，100(或yx，x50，100).(2)yx26，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x18時(shí)等號(hào)成立.故當(dāng)x18千米/時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為26元.規(guī)律方法1.設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值

10、的變量定義為函數(shù).2.根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.3.在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)求解.【訓(xùn)練3】 2016年11月3日20點(diǎn)43分我國長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭在海南文昌發(fā)射中心成功發(fā)射，它被公認(rèn)為我國已從航天大國向航天強(qiáng)國邁進(jìn)的重要標(biāo)志.長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭的設(shè)計(jì)生產(chǎn)采用了很多新技術(shù)新材料，甲工廠承擔(dān)了某種材料的生產(chǎn)，并以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)(為保證質(zhì)量要求1x10)，每小時(shí)可消耗A材料kx29千克，已知每小時(shí)生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時(shí)，消耗A材料10千克.(1)設(shè)生產(chǎn)m千克該產(chǎn)品，消耗A材料y千克，試把y表示為x的函數(shù).(2

11、)要使生產(chǎn)1 000千克該產(chǎn)品消耗的A材料最少，工廠應(yīng)選取何種生產(chǎn)速度？并求消耗的A材料最少為多少？解(1)由題意，得k910，即k1，生產(chǎn)m千克該產(chǎn)品需要的時(shí)間是，所以y(kx29)m，x1，10.(2)由(1)知，生產(chǎn)1 000千克該產(chǎn)品消耗的A材料為y1 0001 00026 000，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x3時(shí)，等號(hào)成立，且31，10.故工廠應(yīng)選取3千克/時(shí)的生產(chǎn)速度，消耗的A材料最少，最少為6 000千克.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1.下列不等式一定成立的是()A.lglg x(x0)B.sin x2(xk，kZ)C.x212|x|(xR)D.1(xR)解析當(dāng)x0時(shí)，x22

12、xx，所以lglg x(x0)，故選項(xiàng)A不正確；運(yùn)用基本不等式時(shí)需保證“一正”“二定”“三相等”，當(dāng)xk，kZ時(shí)，sin x的正負(fù)不定，故選項(xiàng)B不正確；顯然選項(xiàng)C正確；當(dāng)x0時(shí)，有1，選項(xiàng)D不正確.答案C2.若2x2y1，則xy的取值范圍是()A.0，2 B.2，0C.2，) D.(，2解析22x2y1，所以2xy，所以xy2.答案D3.(2018平頂山一模)若對(duì)于任意的x0，不等式a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B.C. D.解析由x0，得，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，等號(hào)成立，則a.答案A4.若a0，b0，且ab4，則下列不等式恒成立的是()A. B.1C.2 D.a2b28解析4ab2(當(dāng)且

13、僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立)，即2，ab4，選項(xiàng)A，C不成立；1，選項(xiàng)B不成立；a2b2(ab)22ab162ab8，選項(xiàng)D成立.答案D5.若a，b都是正數(shù)，則的最小值為()A.7 B.8 C.9 D.10解析a，b都是正數(shù)，5529，當(dāng)且僅當(dāng)b2a0時(shí)取等號(hào).答案C6.若正數(shù)x，y滿足4x29y23xy30，則xy的最大值是()A. B. C.2 D.解析由x0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(當(dāng)且僅當(dāng)2x3y時(shí)等號(hào)成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值為2.答案C7.已知x0，y0且4xyx2y4，則xy的最小值為()A. B.2 C. D.2解析x0，y0，x2

14、y2，4xy(x2y)4xy2，44xy2，則(2)(1)0，2，xy2.答案D8.(2018鄭州質(zhì)檢)已知a，b(0，)，且ab5，則ab的取值范圍是()A.1，4 B.2，)C.(2，4) D.(4，)解析因?yàn)閍b(ab)5，又a，b(0，)，所以ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，即(ab)25(ab)40，解得1ab4.答案A二、填空題9.正數(shù)a，b滿足abab3，則ab的取值范圍是_.解析a，b是正數(shù)，abab323，解得3，即ab9.答案9，)10.(2017天津卷)若a，bR，ab0，則的最小值為_.解析a，bR，ab0，4ab24，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào).答案411.已知函數(shù)f(x)

15、(aR)，若對(duì)于任意的xN+，f(x)3恒成立，則a的取值范圍是_.解析對(duì)任意xN+，f(x)3，即 3恒成立，即a3.設(shè)g(x)x，xN+，則g(x)x4，當(dāng)x2時(shí)等號(hào)成立，又g(2)6，g(3)，g(4)6.g(2)g(3)，g(x)min.3，a，故a的取值范圍是.答案12.(2018成都診斷)某工廠需要建造一個(gè)倉庫，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研分析，運(yùn)費(fèi)與工廠和倉庫之間的距離成正比，倉儲(chǔ)費(fèi)與工廠和倉庫之間的距離成反比，當(dāng)工廠和倉庫之間的距離為4千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)為20萬元，倉儲(chǔ)費(fèi)為5萬元，當(dāng)工廠和倉庫之間的距離為_千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)與倉儲(chǔ)費(fèi)之和最小，最小為_萬元.解析設(shè)工廠和倉庫之間的距離為x千米，運(yùn)費(fèi)為y1萬元

16、，倉儲(chǔ)費(fèi)為y2萬元，則y1k1x(k10)，y2(k20)，工廠和倉庫之間的距離為4千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)為20萬元，倉儲(chǔ)費(fèi)用為5萬元，k15，k220，運(yùn)費(fèi)與倉儲(chǔ)費(fèi)之和為萬元，5x220，當(dāng)且僅當(dāng)5x，即x2時(shí)，運(yùn)費(fèi)與倉儲(chǔ)費(fèi)之和最小，為20萬元.答案220能力提升題組(建議用時(shí)：15分鐘)13.(2018西安模擬)若ABC的內(nèi)角滿足sin Asin B2sin C，則cos C的最小值是()A. B. C. D.解析由正弦定理，得ab2c.所以cos C.當(dāng)且僅當(dāng)3a22b2，即ab時(shí)，等號(hào)成立.所以cos C的最小值為.答案A14.(2018安徽江南十校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足an1an(n1)cos

17、(n2，nN+)，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S2 017m1 010，且a1m0，則的最小值為()A.2 B. C.2 D.2解析由an1an(n1)cos(n2，nN+)得，a3a23，a4a30，a5a45，a6a50，a7a67，a8a70，a9a89，a10a90，a2a3a4a5a6a7a8a9a2 014a2 015a2 016a2 0172，S2 017504(a2a3a4a5)a11 008a1，又S2 017m1 010，a1m2，(a1m)2，即的最小值為2.答案A15.(2018南昌調(diào)研)設(shè)x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)zabxy(a0，b0)的最大值為35，則ab的最小值為_.解析可行域如圖所示，當(dāng)直線abxyz(a0，b0)過點(diǎn)B(2，3)時(shí)，z取最大值2ab3.于是有2ab335，ab16.所以ab28，當(dāng)且僅當(dāng)ab4時(shí)等號(hào)成立，所以(ab)min8.答案816.正數(shù)a，b滿足1，若不等式abx24x18m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.解析因?yàn)閍0，b0，1，所以ab(ab)1010216.由題意，得16x24x18m，即x24x2m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，又x24x2(x2)26的最小值為6，所以6m，即m6.答案6，)12