2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計數(shù)原理與概率 第58講 古典概型學(xué)案

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1、 第58講　古典概型 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.理解古典概型及其概率計算公式． 2．會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率. 2017·山東卷，8 2016·江蘇卷，7 2016·天津卷，16 古典概型主要考查實際背景的等可能事件，通常與互斥事件、對立事件等知識相結(jié)合進行考查. 分值：5分 1．基本事件的特點 (1)任何兩個基本事件都是__互斥__的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成__基本事件__的和． 2．古典概型 具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型． (1)有限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本

2、事件__只有有限個__； (2)等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性__相等__． 3．古典概型的概率公式 P(A)＝. 1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“××”)． (1)某袋中裝有大小均勻的三個紅球、兩個黑球、一個白球，那么每種顏色的球被摸到的可能性相同．(　×　) (2)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同．(　√　) (3)分別從3名男同學(xué)、4名女同學(xué)中各選一名作代表，那么每個同學(xué)當(dāng)選的可能性相同．(　×　) (4)利用古典概型的概率公式求“在邊長為2的正方形內(nèi)任取一點，這點到正方形中心距離小于或等于1”的概率．(　×　)

3、(5)“從長為1的線段AB上任取一點C，求滿足AC≤的概率是多少”是古典概型．(　×　) 解析 (1)錯誤．摸到紅球的概率為，摸到黑球的概率為，摸到白球的概率為. (2)正確．取到小于0的數(shù)的概率為，取到不小于0的數(shù)的概率也為. (3)錯誤．男同學(xué)當(dāng)選的概率為，女同學(xué)當(dāng)選的概率為. (4)錯誤．由于正方形內(nèi)點的個數(shù)具有無限性，與古典概型不符． (5)錯誤．線段上的點及所取的點不具有古典概型所滿足的有限性，所以(5)錯誤． 2．從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為(　C　) A．　　 B．　　 C．　　 D．1 解析 基本事件總數(shù)為(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)

4、共3種，甲被選中共2種，則P＝. 3．從1,2,3,4,5,6六個數(shù)中任取2個數(shù)，則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率是(　D　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 從六個數(shù)中任取2個數(shù)有15種方法，取出的兩個數(shù)是連續(xù)自然數(shù)有5種情況，則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率P＝1－＝. 4．從分別寫有1,2,3,4,5的五張卡片中依次取兩張，假設(shè)每張卡片被取到的概率相等，且每張卡片上只有一個數(shù)字，則取到的兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為(　D　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 列舉法：從分別寫有1,2,3,4,5的五張卡片中依次取兩張，總的情況為：(1,2)，(

5、1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)共20種情況．兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的有：(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,1)，(3,5)，(4,2)，(5,1)，(5,3)共8種情況．∴從分別寫有1,2,3,4,5的五張卡片中依次取兩張，這兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率P＝＝，故選D． 5．將甲、乙兩球隨機放入編號為1,2,3的3個盒子中，每個盒子的放球數(shù)量不限，則在1,2號盒子中各有一個球的概率為(

6、　B　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 依題意得，甲、乙兩球各有3種不同的放法，共9種放法，其中1,2號盒子中各有一個球的放法有2種，故有1,2號盒子中各有一個球的概率為. 一　簡單的古典概型問題 求古典概型概率的基本步驟 (1)算出所有基本事件的個數(shù)n. (2)算出事件A包含的所有基本事件的個數(shù)m. (3)代入公式P(A)＝，求出P(A)． 【例1】 (1)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為(　B　) A．　　 B．　　 C．　　 D．1 (2)從分別

7、標(biāo)有1,2，…，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是(　C　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 (1)從15個球中任取2個球共有C種取法，其中有1個紅球，1個白球的情況有C·C＝50(種)，所以P＝＝. (2)所求概率為P＝＝. 二　復(fù)雜的古典概型問題 求較復(fù)雜事件的概率問題的方法 (1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解． (2)先求其對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式求解． 【例2】 為振興旅游業(yè)，四川省面向國內(nèi)發(fā)行總量為2 000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)

8、行的是熊貓金卡(簡稱金卡)，向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡稱銀卡)．某旅游公司組織了一個有36名游客的旅游團到四川名勝景區(qū)旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客．在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡． (1)在該團中隨機采訪2名游客，求恰有1人持銀卡的概率； (2)在該團中隨機采訪2名游客，求其中持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率． 解析 (1)由題意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡．設(shè)事件A為“采訪該團2人，恰有1人持銀卡”，則P(A)＝＝，所以采訪該團2人，恰有1人持銀卡的概率是. (2)設(shè)事件B為“采訪該團2人，持金卡與持銀卡人數(shù)相等”，可以分為

9、事件B1為“采訪該團2人，持金卡0人，持銀卡0人”，或事件B2為“采訪該團2人，持金卡1人，持銀卡1人”兩種情況． 則P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝， 所以采訪該團2人，持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率是. 三　知識交匯中的古典概型問題 古典概型可以出現(xiàn)在很多問題背景下，關(guān)鍵是理解題目的實際含義，找出基本事件的總數(shù)及目標(biāo)事件的數(shù)目． 【例3】 (2017·山東卷)在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的

10、作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示． (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)． 解析 (1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，則P(M)＝＝. (2)由題意知X可取的值為：0,1,2,3,4，則 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 因此X的分布列為 X 0 1 2 3

11、 4 P X的數(shù)學(xué)期望是 E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4) ＝0＋1×＋2×＋3×＋4×＝2. 1．投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點數(shù)之差的絕對值為3的概率是(　B　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點數(shù)之差的絕對值為3的情況有：1,4；4,1；2,5；5,2；3,6；6,3；共6種，而拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子的情況有36種，所以所求概率P＝＝，故選B． 2．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從

12、0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為(　D　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函數(shù)f(x)有兩個極值點．則有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由題意知所有的基本事件9個，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．滿足a2＞b2的有6個基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率為＝. 3．盒子中裝有標(biāo)有數(shù)字且大小相同的小球，其中m個小球

13、標(biāo)有數(shù)字1,3個小球標(biāo)有數(shù)字3,2個小球標(biāo)有數(shù)字5.若從盒子中任取2個球，可得這兩個球所標(biāo)數(shù)字之和為6的概率是.若從盒子中任取3個球，則三個球所標(biāo)數(shù)字之和小于10的概率為(　B　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 依題意＝，化簡得13m2－63m－10＝0，解得m＝5， 任取3個球．它們所標(biāo)數(shù)字之和小于10的情況有： (1,1,1)，(1,1,3)，(1,1,5)，(1,3,3)，(1,3,5)，(3,3,3)， 故所求概率為：＝. 4．某校50名學(xué)生參加智力答題活動，每人回答3個問題，答對題目個數(shù)的及對應(yīng)人數(shù)統(tǒng)計結(jié)果如下表. 答對題目個數(shù) 0 1 2 3

14、人數(shù) 5 10 20 15 根據(jù)上表信息解答以下問題： (1)從這50名學(xué)生任選兩人，求兩人答對題目個數(shù)之和為4或5的概率； (2)從這50名學(xué)生中任選兩人，用X表示這兩名學(xué)生答對題目之差的絕對值，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)． 解析 (1)記“兩人答對題目個數(shù)之和為4或5”為事件A，則P(A)＝＝＝，即兩人答對題目個數(shù)之和為4或5的概率為. (2)依題意可知X的可能取值分別為0,1,2,3. 則P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝. 從而X的分布列為 X 0 1 2 3 P X

15、的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 易錯點　將基本事件的“等可能”與“非等可能”弄錯 錯因分析：誤認(rèn)為題目中所有的基本事件的出現(xiàn)都是等可能的，而有些時候基本事件的出現(xiàn)不是等可能的，從而造成錯解，如對于下面的例題會誤認(rèn)為基本事件共有4個：(正正正)(正正反)(正反反)(反反反)，其實這四種結(jié)果的出現(xiàn)不是等可能的． 【例1】 同時投擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，三枚硬幣同時正面向上的概率為________． 解析 由題意作出樹狀圖如下． 一共有8種情況，三枚硬幣同時正面向上只有1種情況，所以，P(三枚硬幣同時正面向上)＝. 答案 【跟蹤訓(xùn)練1】 (2016·江蘇

16、卷)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后投擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是____. 解析 先后拋擲2次骰子，所有可能出現(xiàn)的情況可用數(shù)對表示為 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， … (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36個． 其中點數(shù)之和不小于10的有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4

17、)，(6,5)，(6,6)，共6個．從而點數(shù)之和小于10的數(shù)對共有30個，故所求概率P＝＝. 課時達標(biāo)　第58講 [解密考綱]古典概型在高考中常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，有時與集合、函數(shù)、不等式等知識綜合，以解答題形式出現(xiàn)． 一、選擇題 1．從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)a，從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)b，則a

18、所求概率為P＝＝，故選D． 2．隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點數(shù)之和不超過4的概率記為p1，點數(shù)之和大于8的概率記為p2，點數(shù)之和為奇數(shù)的概率記為p3，則(　A　) A．p1

19、參加同一個興趣小組的概率為(　A　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 甲、乙兩位同學(xué)參加3個小組的所有可能性有3×3＝9(種)，其中甲、乙兩人參加同—個小組的情況有3種，故甲、乙兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率P＝＝. 4．從1,2,3,4這四個數(shù)字中一次隨機取兩個，則取出的這兩個數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是(　B　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 從1,2,3,4這四個數(shù)字中一次隨機取兩個，共有6種情況，其中取出的這個數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有(1,3)，(2,4)，共2種，所以P＝＝. 5．把一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為m，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為n，方程組只有一

20、組解的概率是(　D　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 方程組只有一組解，除了這兩種情況之外都可以，故所求概率P＝＝. 6．甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就稱甲、乙“心相近”．現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心相近”的概率為(　D　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 試驗包含的基本事件共有6×6＝36種結(jié)果．其中滿足題設(shè)條件的有如下情況： 若a＝1，則b＝1,2；若a＝2，則b＝1,2,3； 若a＝3，則b＝2,3,4；若a＝4，則b＝3

21、 ,4 ,5 ； 若a＝5，則b＝4,5,6；若a＝6，則b＝5,6. 共16種．故他們“心相近”的概率為P＝＝. 二、填空題 7．甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為____. 解析 甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種的所有可能情況為(紅，白)，(白，紅)，(紅，藍)，(藍，紅)，(白，藍)，(藍，白)，(紅，紅)，(白，白)，(藍，藍)，共9種，他們選擇相同顏色運動服的所有可能情況為(紅，紅)，(白，白)，(藍，藍)，共3種．故所求概率為P＝＝. 8．某班班會準(zhǔn)備從含甲、乙、丙的7名

22、學(xué)生中選取4人依次發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人發(fā)言，且甲、乙都發(fā)言時丙不能發(fā)言，則甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為____. 解析 若甲、乙兩人只有一人參加時，不同的發(fā)言順序有CCA種；若甲、乙同時參加時，不同的發(fā)言順序有CA種，而甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰情況有AA種，∴所求概率為＝. 9．(2017·山東濰坊模擬)如圖，莖葉圖表示甲、乙兩名籃球運動員在五場比賽中的得分，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均得分不超過乙的平均得分的概率為　　. 解析 由莖葉圖知甲在五場比賽中的得分總和為18＋19＋20＋21＋22＝100；乙運動員在已知成績的四場比賽中得分總和為15＋16

23、＋18＋28＝77，乙的另一場得分是20到29十個數(shù)字中的任何一個的可能性是相等的，共有10個基本事件，而事件“甲的平均得分不超過乙的平均得分”就包含了其中的23,24,25,26,27,28,29共7個基本事件，所以甲的平均得分不超過乙的平均得分的概率為. 三、解答題 10．一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4. (1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率； (2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n

24、本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個．從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3}兩個．因此所求事件的概率P＝＝. (2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結(jié)果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個． 又滿足條件n≥m＋2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個， 所以滿足條件n≥

25、m＋2的事件的概率為P1＝. 故滿足條件n

26、＝. X 0 1 2 P 隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 12．一個均勻的正四面體的四個面上分別涂有1,2,3,4四個數(shù)字，現(xiàn)隨機投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為b，c. (1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率； (2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程”的概率． 解析 (1)因為是投擲兩次，因此基本事件(b，c)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16個． 當(dāng)z＝4時，(b，c)的所有取值為(1,3)，(3,1)，所以P(z＝4)＝＝. (2)①若方程一根為x＝1，則1－b－c＝0，即b＋c＝1，不成立． ②若方程一根為x＝2，則4－2b－c＝0，即2b＋c＝4，所以 ③若方程一根為x＝3，則9－3b－c＝0，即3b＋c＝9，所以 ④若方程一根為x＝4，則16－4b－c＝0，即4b＋c＝16，所以 由①②③④知，(b，c)的所有可能取值為(1,2)，(2,3)，(3,4)． 所以方程為“漂亮方程”的概率為P＝. 12