2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第7節(jié) 雙曲線教學(xué)案 理（含解析）北師大版

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1、 第七節(jié)　雙曲線 [考綱傳真]　1.了解雙曲線的實(shí)際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用． 1．雙曲線的定義 (1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線的焦距． (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0. ①當(dāng)2a<|F

2、1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是雙曲線； ②當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是兩條射線； ③當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)不存在． 2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 圖形 性 質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝±x y＝±x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞) 實(shí)、虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝2a；線段B1B2叫

3、做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng) a，b，c的關(guān)系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 1．雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)中，過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸所在直線的弦長(zhǎng)為. 2．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于其虛半軸長(zhǎng)． 3．已知雙曲線－＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)，求其漸近線的方程，只需把λ改寫為0整理即可． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線． (　　) (2)方程－＝1

4、(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線． (　　) (3)雙曲線－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0. (　　) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．雙曲線3x2－y2＝1的漸近線方程是(　　) A．y＝±3x　　　　　　　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x C　[由3x2－y2＝0得y＝±x.故選C.] 3．(教材改編)若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B．5 C. D．2 A　[由

5、題意可知b＝2a， ∴e＝＝＝，故選A.] 4．若雙曲線E：－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于(　　) A．11 B．9 C．5 D．3 B　[由題意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由雙曲線的定義||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.] 5．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為________． －y2＝1　[由題意可得解得a＝2， b＝1，所以雙曲線的方程為－y＝1.] 雙曲線的定義及其應(yīng)用 【例1】

6、　(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為________． (2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝________. (1)x2－＝1(x≤－1)　(2)　[(1)如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和B． 根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|. 因?yàn)閨MA|＝|MB|， 所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC

7、1|＝|BC2|－|AC1|＝2， 所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1，C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|. 根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a＝1，c＝3，則b2＝8. 故點(diǎn)M的軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)． (2)因?yàn)橛呻p曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2， 所以|PF1|＝2|PF2|＝4， 所以cos∠F1PF2 ＝ ＝＝.] [母題探究]　(1)將本例(2)中的條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“∠F1PF2＝60°”，則△F1PF2的面積是多少？ (2)將本例(2)中的條件“|PF1|＝

8、2|PF2|”改為“·＝0”，則△F1PF2的面積是多少？ [解]　(1)不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上， 則|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝＝， ∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2. (2)不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上， 則|PF1|－|PF2|＝2a＝2， ∵·＝0，∴⊥， ∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝4， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2.

9、 [規(guī)律方法]　(1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程； (2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系． (1)方程－＝12的化簡(jiǎn)結(jié)果為(　　) A.－＝1　　　　　　 B．－＝1 C.－＝1(x＞0) D．－＝1(x＞0) (2)設(shè)P是雙曲線－＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|＝9，則|PF2|等于________． (1)C　(2)17　[(1)設(shè)F1(－10,0)，F(xiàn)2(10,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)

10、，則由題意可知 |PF1|－|PF2|＝12，又|F1F2|＝20， ∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支． 又2a＝12,2c＝20，∴a＝6，c＝10，b＝8. 即所求方程為－＝1(x＞0)． (2)由題意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P點(diǎn)在雙曲線的右支，則有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.] 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 【例2】　(1)(2018·天津高考)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，

11、則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 (2)已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(2,3)，漸近線方程為y＝±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A.－＝1 B．－＝1 C．x2－＝1 D．－＝1 (1)C　(2)C　[(1)由d1＋d2＝6，得雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，所以b＝3.因?yàn)殡p曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以雙曲線的方程為－＝1，故選C. (2)因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±x, 即＝±x.所以可設(shè)雙曲線的方程是x2－＝λ(λ≠0)，將點(diǎn)(2,3)代入，得λ＝1，所以該雙曲

12、線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1，故選C.] [規(guī)律方法]　求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法 (1)定義法：由條件判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，得雙曲線方程． (2)待定系數(shù)法：即“先定位，后定量”，如果不能確定焦點(diǎn)的位置，應(yīng)注意分類討論或恰當(dāng)設(shè)置簡(jiǎn)化討論． (1)(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為(　　) A.－＝1　　　　　　 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 (2)已知點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線上，△ABM為等腰三角形，

13、且頂角為120°，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．x2－＝1 B．x2－＝1 C．x2－＝1 D．x2－y2＝1 (1)B　(2)D　[(1)由y＝x可得＝.① 由橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為(3,0)，(－3,0)， 可得a2＋b2＝9.② 由①②可得a2＝4，b2＝5. 所以C的方程為－＝1. 故選B． (2)由題意知a＝1.不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，則由題意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°.過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則|BN|＝1，|MN|＝，所以M(2，)，代入雙曲線方程得4－＝1，解得b＝1，所以雙曲線的方程為x2－y2＝1，故選D．] 雙曲線的幾何性質(zhì)

14、 ?考法1　雙曲線的離心率問(wèn)題 【例3】　(2018·廣州一模)如圖，在梯形ABCD中，已知|AB|＝2|CD|，＝，雙曲線過(guò)C，D，E三點(diǎn)，且以A，B為焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為(　　) A. B．2 C．3 D． A　[如圖，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則由梯形的性質(zhì)與雙曲線的對(duì)稱性知C，D關(guān)于y軸對(duì)稱．設(shè)A(－c,0)，則B(c,0)，C(其中h為梯形的高)，因?yàn)椋?，所以xE＝－c，yE＝h.設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，因?yàn)辄c(diǎn)C，E在雙曲線上，則解得＝7，所以雙曲線的離心率e＝＝，故選A.] ?考法2　雙曲線的

15、漸近線問(wèn)題 【例4】　(2019·福州模擬)過(guò)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別作雙曲線的兩條漸近線的平行線，若這4條直線所圍成的四邊形的周長(zhǎng)為8b，則該雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x A　[由雙曲線的對(duì)稱性得該四邊形為菱形，因?yàn)樵撍倪呅蔚闹荛L(zhǎng)為8b，所以菱形的邊長(zhǎng)為2b，由勾股定理得4條直線與y軸的交點(diǎn)到x軸的距離為＝，又4條直線分別與兩條漸近線平行，所以＝，解得a＝b，所以該雙曲線的漸近線的斜率為±1，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x，故選A.] ?考法3　雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用 【例5】　(1)(

16、2019·福州模擬)已知雙曲線－＝1與直線y＝2x有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為(　　) A．(1，) B．(1，] C．(，＋∞) D．[，＋∞) (2)已知雙曲線C1：－y2＝1，雙曲線C2：－＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在雙曲線C2的一條漸近線上，且OM⊥MF2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，若S△OMF2＝16，且雙曲線C1，C2的離心率相同，則雙曲線C2的實(shí)軸長(zhǎng)為(　　) A．32 B．16 C．8 D．4 (1)C　(2)B　[(1)∵雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，則由題意，得＞2，∴e＝＝＞＝，即雙曲線離心率的取值范圍為(，＋∞)．

17、(2)雙曲線C1：－y2＝1的離心率為，設(shè)F2(c,0)，雙曲線C2的一條漸近線方程為y＝x，可得|MF2|＝＝b，|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32.又a2＋b2＝c2，且＝，得a＝8，b＝4，c＝4，所以雙曲線C2的實(shí)軸長(zhǎng)為16.] [規(guī)律方法]　與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的解題策略 (1)求雙曲線的離心率(或范圍)．依據(jù)題設(shè)條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得． (2)求雙曲線的漸近線方程．依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程． (1)(2019·?？谀M)在平面直角坐標(biāo)

18、系xOy中，雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與圓(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，則C的離心率為(　　) A. B． C. D． (2)若實(shí)數(shù)k滿足0＜k＜9，則曲線－＝1與曲線－＝1的(　　) A．焦距相等 B．實(shí)半軸長(zhǎng)相等 C．虛半軸長(zhǎng)相等 D．離心率相等 (3)已知雙曲線C1，C2的焦點(diǎn)分別在x軸、y軸上，漸近線方程為y＝±x(a＞0)，離心率分別為e1，e2，則e1＋e2的最小值為________． (1)B　(2)A　(3)2　[(1)雙曲線C的漸近線方程為by±ax＝0，與圓相切的只能是直線by－ax＝0，則＝1，化簡(jiǎn)得3a＝4b，所以

19、9a2＝16b2＝16(c2－a2)，e2＝，故e＝，故選 B． (2)∵0＜k＜9，∴9－k＞0,25－k＞0. ∴－＝1與－＝1均表示雙曲線， 又25＋(9－k)＝34－k＝(25－k)＋9， ∴它們的焦距相等，故選A. (3)e1＋e2＝＋＝·≥×＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)取等號(hào)，故e1＋e2的最小值是2.] 1．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝±x　　　　　　　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x A　[法一：由題意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±

20、x＝±x，故選A. 法二：由e＝＝＝，得＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，故選A.] 2.(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(　　) A. B．3 C．2 D．4 B　[因?yàn)殡p曲線－y2＝1的漸近線方程為y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線與直線y＝x交于點(diǎn)M，由△OMN為直角三角形，不妨設(shè)∠OMN＝90°，則∠MFO＝60°，又直線MN過(guò)點(diǎn)F(2,0)，所以直線MN的方程為y＝－(x－2)， 由得所以M，所以|OM|＝＝，

21、所以|MN|＝|OM|＝3，故選B．] 3．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是(　　) A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，) A　[若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則 又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴ ∴－13m2且n<－m2，此時(shí)n不存在．故選A.] 4.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩

22、點(diǎn)．若∠MAN＝60°，則C的離心率為________． 　[如圖，由題意知點(diǎn)A(a,0)，雙曲線的一條漸近線l的方程為y＝x，即bx－ay＝0， ∴點(diǎn)A到l的距離d＝. 又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，∴△MAN為等邊三角形， ∴d＝MA＝b，即＝b，∴a2＝3b2，∴e＝＝＝.] 5．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A(0,6)．當(dāng)△APF周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為________． 12　[由雙曲線方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F(xiàn)1(－3,0)． 當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由雙曲線定義知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，從而△APF的周長(zhǎng)＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|. 因?yàn)閨AF|＝＝15為定值， 所以當(dāng)(|AP|＋|PF1|)最小時(shí)，△APF的周長(zhǎng)最小，由圖像可知，此時(shí)點(diǎn)P在線段AF1與雙曲線的交點(diǎn)處(如圖所示)． 由題意可知直線AF1的方程為y＝2x＋6， 由 得y2＋6y－96＝0， 解得y＝2或y＝－8(舍去)， 所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F ＝×6×6－×6×2＝12.] - 11 -