2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第5節(jié) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布教學(xué)案 理（含解析）北師大版

《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第5節(jié) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布教學(xué)案 理（含解析）北師大版》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第5節(jié) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布教學(xué)案 理（含解析）北師大版（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第五節(jié)　獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 [考綱傳真]　1.了解條件概率的概念，了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念.2.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題． 1．條件概率 在已知B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率叫作B發(fā)生時(shí)A發(fā)生的條件概率，用符號(hào)P(A|B)來(lái)表示，其公式為P(A|B)＝(P(B)＞0)． 2．相互獨(dú)立事件 (1)一般地，對(duì)兩個(gè)事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱(chēng)A，B相互獨(dú)立． (2)如果A，B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也相互獨(dú)立． (3)如果A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 3

2、．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 (1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次試驗(yàn)結(jié)果，則 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)． (2)二項(xiàng)分布 進(jìn)行n次試驗(yàn)，如果滿(mǎn)足以下條件： ①每次試驗(yàn)只有兩個(gè)相互對(duì)立的結(jié)果，可以分別稱(chēng)為“成功”和“失敗”； ②每次試驗(yàn)“成功”的概率均為p，“失敗”的概率均為1－p； ③各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的． 用X表示這n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)． 若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如上所述，稱(chēng)X服從參數(shù)為n，

3、p的二項(xiàng)分布，簡(jiǎn)記為X～B(n，p)． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)相互獨(dú)立事件就是互斥事件． (　　) (2)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)． (　　) (3)公式P(AB)＝P(A)P(B)對(duì)任意兩個(gè)事件都成立． (　　) (4)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布列，是一個(gè)用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)的概率分布． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．設(shè)隨機(jī)變量X～B，則P(X＝3)

4、等于(　　) A.　　　　B．　　　　C.　　　　D． A　[∵X～B，∴P(X＝3)＝C6＝.故選A.] 3．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，則P(A)等于(　　) A. B． C. D． C　[由P(AB)＝P(A)P(B|A)，得＝P(A)， ∴P(A)＝.] 4．某人射擊，一次擊中目標(biāo)的概率為0.6，經(jīng)過(guò)3次射擊，此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為_(kāi)_______． 　[P＝C0.620.4＋C0.63＝.] 5．天氣預(yù)報(bào)，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒(méi)有影響，則這兩地中恰有一個(gè)地方降雨的概率為_(kāi)__

5、_____． 0．38　[設(shè)甲地降雨為事件A，乙地降雨為事件B，則兩地恰有一地降雨為A＋B， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.] 條件概率 1．從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝(　　) A.　　　　B．　　　　C.　　　　D． B　[法一：P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝.由條件概率計(jì)算公式，得P(B|A)＝＝＝. 法二：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4個(gè)．

6、 事件AB發(fā)生的結(jié)果只有(2,4)一種情形，即n(AB)＝1. 故由古典概型概率P(B|A)＝＝.] 2．某校組織由5名學(xué)生參加的演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場(chǎng)，B不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，學(xué)生C第一個(gè)出場(chǎng)的概率為(　　) A. B． C. D． A　[因?yàn)椤癆和B都不是第一個(gè)出場(chǎng)，B不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的安排方法中，另外3人中任何一個(gè)第一個(gè)出場(chǎng)的概率相等，故“C第一個(gè)出場(chǎng)”的概率是.] 3．(2019·運(yùn)城模擬)有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為_(kāi)_______

7、． 0．72　[設(shè)“種子發(fā)芽”為事件A，“種子成長(zhǎng)為幼苗”為事件AB(發(fā)芽，又成活為幼苗)．出芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9，根據(jù)條件概率公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為0.72.] [規(guī)律方法]　(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，這是求條件概率的通法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝. 相互獨(dú)立事件的概率 【例1】　某乒乓球俱樂(lè)部派甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員參加

8、某運(yùn)動(dòng)會(huì)的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線(xiàn)和未出線(xiàn)兩種情況．規(guī)定一名運(yùn)動(dòng)員出線(xiàn)記1分，未出線(xiàn)記0分．假設(shè)甲、乙、丙出線(xiàn)的概率分別為，，，他們出線(xiàn)與未出線(xiàn)是相互獨(dú)立的． (1)求在這次選拔賽中，這三名運(yùn)動(dòng)員至少有一名出線(xiàn)的概率； (2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員的得分之和為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列． [解]　(1)記“甲出線(xiàn)”為事件A，“乙出線(xiàn)”為事件B，“丙出線(xiàn)”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線(xiàn)”為事件D， 則P(D)＝1－P( )＝1－××＝. (2)由題意可得，ξ的所有可能取值為0,1,2,3， 則P(ξ＝0)＝P( )＝××＝； P(ξ＝1)＝

9、P( )＋P( )＋P( )＝××＋××＋××＝； P(ξ＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝； P(ξ＝3)＝P(ABC)＝××＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P [規(guī)律方法]　1.求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，先將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件或轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件，再求概率． 2．求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法： (1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解． (2)直接計(jì)算較煩瑣或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算． 設(shè)某人有5發(fā)子彈，他向某一目標(biāo)射擊

10、時(shí)，每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為.若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊，否則將子彈打完． (1)求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率； (2)求他所耗用的子彈數(shù)X的分布列． [解]　記“第k發(fā)子彈命中目標(biāo)”為事件Ak(k＝1,2,3,4,5)，則A1，A2，A3，A4，A5相互獨(dú)立，且P(Ak)＝，P()＝. (1)法一：他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為 P(A1)＋P(A2)＝P(A1)P()＋P()P(A2)＝×＋×＝. 法二：由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式知，他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為P＝C××＝. (2)X的所有可能取值為2,3,4,5. P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(

11、)＝×＋×＝， P(X＝3)＝P(A1 )＋P(A2A3)＝×2＋×2＝， P(X＝4)＝P(A1A3A4)＋P(A2 )＝3×＋3×＝， P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝. 綜上，X的分布列為 X 2 3 4 5 P 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 【例2】　(2019·佛山模擬)某企業(yè)對(duì)新擴(kuò)建的廠(chǎng)區(qū)進(jìn)行綠化，移栽了銀杏、垂柳兩種大樹(shù)各2株．假定銀杏移栽的成活率為，垂柳移栽的成活率為，且各株大樹(shù)是否成活互不影響． (1)求兩種大樹(shù)各成活1株的概率； (2)設(shè)ξ為兩種大樹(shù)成活的株數(shù)之和，求隨機(jī)變量ξ的分布列． [解]　(1)

12、記“銀杏大樹(shù)成活1株”為事件A，“垂柳大樹(shù)成活1株”為事件B，則“兩種大樹(shù)各成活1株”為事件AB． 由題可知P(A)＝C··＝，P(B)＝C··＝， 由于事件A與B相互獨(dú)立， 所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝. (2)由題意知ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4. P(ξ＝0)＝2·2＝； P(ξ＝1)＝C···2＋C···2＝； P(ξ＝2)＝＋2·2＋2·2＝； P(ξ＝3)＝C···2＋C···2＝； P(ξ＝4)＝2·2＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P [規(guī)律方法]　獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題

13、策略 (1)在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率． (2)在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，求得概率． 某食品廠(chǎng)為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線(xiàn)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線(xiàn)上的40件產(chǎn)品作為樣本稱(chēng)出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖． (1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量； (2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過(guò)505

14、克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列； (3)從該流水線(xiàn)上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列． [解]　(1)質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件)． (2)重量超過(guò)505的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則重量未超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，X的取值為0,1,2， X服從超幾何分布． P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， ∴X的分布列為 X 0 1 2 P (3)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過(guò)505克的概率為＝. 從

15、流水線(xiàn)上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問(wèn)題可看成2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，質(zhì)量超過(guò)505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2，且Y～B， P(X＝k)＝C2－kk， 所以P(Y＝0)＝C·2＝， P(Y＝1)＝C··＝， P(Y＝2)＝C·2＝. ∴Y的分布列為 Y 0 1 2 P 1．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為(　　) A．0.648 　　 B．0.432 C．0.36 　　 D．0.312 A　[3次投籃投中2次的概率為P

16、(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，所以通過(guò)測(cè)試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故選A.] 2．(2014·全國(guó)卷Ⅱ)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(　　) A．0.8 　　 B．0.75 C．0.6 　　 D．0.45 A　[已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率，可根據(jù)條件概率公式，得P＝＝0.8.] - 8 -