6、標(biāo)為(1,1)．又B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,4)，.故S△ABC＝××1＝.
4．(2017·山東卷)若x，y滿足約束條件則x＋2y的最大值為( D )
A．1 B．3
C．5 D．9
解析 畫(huà)出可行域如圖中陰影部分所示，令z＝x＋2y，平移直線x＋2y＝0，可知當(dāng)z＝x＋2y過(guò)點(diǎn)C(3,3)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即zmax＝3＋2×3＝9，故選D．
5．已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－ax(a∈R)．若z取最大值時(shí)的唯一最優(yōu)解是(1,3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__(1，＋∞)__.
解析 如圖，依題意，直線x＋y－4＝0與x－y＋2＝0交于A
7、(1,3)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取最大值，故a>1.
一 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域
確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法
(1)“直線定界，特殊點(diǎn)定域”，即先作直線，再取特殊點(diǎn)并代入不等式組．若滿足不等式組，則不等式(組)表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€與特殊點(diǎn)同側(cè)的那部分區(qū)域；否則就對(duì)應(yīng)與特殊點(diǎn)異側(cè)的平面區(qū)域．若直線不過(guò)原點(diǎn)，特殊點(diǎn)一般取(0,0)點(diǎn)．
(2)當(dāng)不等式中帶等號(hào)時(shí)，邊界為實(shí)線，不帶等號(hào)時(shí)，邊界應(yīng)畫(huà)為虛線．
【例1】 (1)如圖陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示為( A )
A． B．
C． D．
(2)若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切危移?/p>
8、面積等于，則m的值為( B )
A．－3 B．1
C． D．3
解析 (1)兩直線方程分別為x－2y＋2＝0與x＋y－1＝0.
由(0,0)點(diǎn)在直線x－2y＋2＝0右下方，
可知x－2y＋2≥0，
又(0,0)點(diǎn)在直線x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0.
即為所表示的可行域．
(2)作出可行域，如圖中陰影部分所示，易求A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(2,0)，B(1－m,1＋m)，C，D(－2m,0)．
S△ABC＝S△ADB－S△ADC
＝·
＝(2＋2m)
＝(1＋m)＝.
解得m＝1或m＝－3(舍去)．
二 線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題
(1
9、)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值．線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，所以對(duì)于一般的線性規(guī)劃問(wèn)題，我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn)，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值．
(2)由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)．求解線性規(guī)劃中含參問(wèn)題的基本方法有兩種：一是把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問(wèn)題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過(guò)構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍；二是先分離含有參數(shù)的式子，通過(guò)觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)．
(3)利用可行域及最優(yōu)解求參數(shù)及其范圍．利用約束條件作出可行域，通過(guò)分析可行域及目標(biāo)函數(shù)確定最優(yōu)解
10、的點(diǎn)，再利用已知可求參數(shù)的值或范圍．
【例2】 (1)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋5y的最小值為( B )
A．－4 B．6
C．10 D．17
(2)x，y滿足約束條件若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為( D )
A．或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
解析 (1)由線性約束條件畫(huà)出可行域(如圖中陰影部分)．
當(dāng)直線2x＋5y－z＝0過(guò)點(diǎn)A(3,0)時(shí)，zmin＝2×3＋5×0＝6.故選B．
(2)作出可行域(如圖所示的△ABC及其內(nèi)部)．
由題設(shè)z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一可知：線性目標(biāo)函數(shù)
11、取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的直線與可行域某一邊界重合．
又kAB＝－1，kAC＝2，kBC＝，∴a＝－1或a＝2或a＝，
驗(yàn)證：a＝－1或a＝2時(shí)，滿足題意；a＝時(shí)，不滿足題意，故選D．
三 非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題
非線性目標(biāo)函數(shù)常見(jiàn)類型的幾何意義
(1)(x－a)2＋(y－b)2為點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)距離的平方．
(2)為點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率．
(3)|Ax＋By＋C|是點(diǎn)(x，y)到直線Ax＋By＋C＝0的距離的倍．
【例3】 設(shè)x，y滿足條件
(1)求u＝x2＋y2的最大值與最小值；
(2)求v＝的最大值與最小值；
(3)求z＝|2x＋y＋4|的最大
12、值與最小值．
解析 畫(huà)出滿足條件的可行域，如圖所示．
(1)x2＋y2＝u表示一組同心圓(圓心為原點(diǎn)O)，且對(duì)同一圓上的點(diǎn)x2＋y2的值都相等，由圖象可知：當(dāng)(x，y)在可行域內(nèi)取值時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)圓O過(guò)C點(diǎn)時(shí)，u最大，過(guò)點(diǎn)(0,0)時(shí)，u最?。?
又C(3,8)，所以u(píng)max＝73，umin＝0.
(2)v＝表示可行域內(nèi)的點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)D(5,0)的斜率，由圖象可知，kBD最大，kCD最?。?
又因?yàn)镃(3,8)，B(3，－3)，
所以vmax＝＝，vmin＝＝－4.
(3)因?yàn)閦＝|2x＋y＋4|＝·表示可行域內(nèi)點(diǎn)P(x，y)到直線2x＋y＋4＝0的距離的倍，由圖象知A到直
13、線2x＋y＋4＝0的距離最小，C到直線2x＋y＋4＝0的距離最大．又因?yàn)锳，C(3,8)，
故當(dāng)x＝－，y＝時(shí)，
zmin＝·＝.
當(dāng)x＝3，y＝8時(shí)，zmax＝·＝18.
四 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用
解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟
第一步：分析題意，設(shè)出未知量；
第二步：列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)；
第三步：作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；
第四步：將數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案還原為實(shí)際問(wèn)題的答案．
【例4】 (2016·天津卷)某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料．生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示.
原料
肥料
A
B
14、
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料．已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為2萬(wàn)元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為3萬(wàn)元．分別用x，y表示計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)．
(1)用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域；
(2)問(wèn)分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)？并求出此最大利潤(rùn)．
解析 (1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為
該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D1中的陰影部分．
(2)設(shè)利潤(rùn)為z萬(wàn)元，則目標(biāo)函數(shù)為z＝2x＋3y.
15、考慮z＝2x＋3y，將它變形為y＝－x＋，這是斜率為－，隨z變化的一族平行直線，為直線在y軸上的截距，當(dāng)取最大值時(shí)，z的值最大．又因?yàn)閤，y滿足約束條件，所以由圖2可知，當(dāng)直線z＝2x＋3y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最大，即z最大．
解方程組得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(20,24)．
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
故生產(chǎn)甲種肥料20車皮、乙種肥料24車皮時(shí)利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為112萬(wàn)元．
1．(2017·浙江卷)若x，y滿足約束條件則z＝x＋2y的取值范圍是( D )
A．[0,6] B．[0,4]
C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)
解析 畫(huà)出可行域如圖陰影
16、部分所示，平移直線x＋2y＝0，可知，直線z＝x＋2y過(guò)點(diǎn)(2,1)時(shí)取得最小值4，無(wú)最大值，故選D．
2．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組目標(biāo)函數(shù)t＝x－2y的最大值為2，則實(shí)數(shù)a的值是( D )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析 可行域?yàn)椤鰽BC及其內(nèi)部，如圖所示．由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)t＝x－2y過(guò)點(diǎn)A時(shí)有最大值，由直線x－2y＝2與直線x－2＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，代入直線x＋2y－a＝0，得a＝2，故選D．
3．已知實(shí)數(shù)x，y滿足則k＝的最大值為( C )
A． B．
C．1 D．
解析 如圖，不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椤鰽OB的邊界及其
17、內(nèi)部區(qū)域，
k＝＝表示點(diǎn)(x，y)和(－1,0)的連線的斜率．
由圖知，點(diǎn)(0,1)和點(diǎn)(－1,0)連線的斜率最大，所以kmax＝＝1，故選C．
4．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為_(kāi)_216_000__元．
解析 設(shè)生產(chǎn)
18、產(chǎn)品A x件，生產(chǎn)產(chǎn)品B y件，利潤(rùn)之和為z元，則z＝2 100x＋900y.
根據(jù)題意得即
作出可行域(如圖)．
由得
當(dāng)直線2 100x＋900y－z＝0過(guò)點(diǎn)M(60,100)時(shí)，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000.
故所求的最大值為216 000元．
易錯(cuò)點(diǎn) 不能準(zhǔn)確確定最優(yōu)解的位置
錯(cuò)因分析：“截距型”最優(yōu)解問(wèn)題一是要弄清z與截距的關(guān)系，二是要看與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的直線的斜率的正負(fù)以及與可行域邊界直線斜率的大小關(guān)系．
【例1】 已知約束條件目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的值最大為12，則＋的最小值為_(kāi)_______
19、.
解析 畫(huà)出可行域，如圖中陰影部分所示．
由z＝ax＋by得，y＝－x＋.
∵－＜0，∴一定是過(guò)點(diǎn)A時(shí)z取最大值．
由得A(4,6)，
∴zmax＝4a＋6b＝12，∴＋＝1.
∴＋＝＝＋＋＋≥＋＋2＝(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，取等號(hào))．
∴＋的最小值為.
答案
【跟蹤訓(xùn)練1】 設(shè)變量x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z＝x＋ky(k>0)的最小值為13，則實(shí)數(shù)k＝( C )
A．7 B．5或13
C．5或 D．13
解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，可知z＝x＋ky(k>0)過(guò)點(diǎn)A或B時(shí)取得最小值，所以＋k＝13或＋k＝13，解得k＝5或.
20、
課時(shí)達(dá)標(biāo) 第34講
[解密考綱]考查線性規(guī)劃以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．
一、選擇題
1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足則z＝4x＋y的最大值為( B )
A．10 B．8
C．2 D．0
解析 畫(huà)出可行域，根據(jù)圖形可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0)時(shí)，z＝4x＋y取得最大值8.
2．設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y的取值范圍是( A )
A． B．
C．[－1,6] D．
解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．由圖可知，當(dāng)直線z＝3x－y過(guò)點(diǎn)A(2,0)時(shí)，z取得最大值6，過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z取得最小值－，故選A．
3．設(shè)變量x
21、，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝x2＋y2的取值范圍為( C )
A．[2,8] B．[4,13]
C．[2,13] D．
解析 作出可行域，如圖中陰影部分，將目標(biāo)函數(shù)看作是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，從而可得zmin＝|OA|2＝2＝2，zmax＝|OB|2＝32＋22＝13.故z∈[2,13]．
4．若實(shí)數(shù)x，y滿足且z＝y(tǒng)－x的最小值為－2，則k＝( B )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析 當(dāng)k≥0時(shí)，直線z＝y(tǒng)－x不存在最小值，
∴k＜0.當(dāng)k＜0時(shí)，當(dāng)有且僅當(dāng)直線z＝y(tǒng)－x經(jīng)過(guò)kx－y＋2＝0與x軸的交點(diǎn)，(－，0)時(shí)，z取得最小值－2
22、，∴－2＝，即k＝－1.
5．若關(guān)于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a＝( A )
A．3 B．6
C．5 D．4
解析 先作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域，如圖．因?yàn)橹本€ax－y＋1＝0過(guò)定點(diǎn)(0,1)，且不等式ax－y＋1≥0表示的區(qū)域在直線ax－y＋1＝0的下方，所以△ABC為不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域．
因?yàn)锳到直線BC的距離為1，所以S△ABC＝×1×BC＝2，
所以BC＝4.當(dāng)x＝1時(shí)，yC＝1＋a，所以yC＝1＋a＝4，
解得a＝3.
6．設(shè)實(shí)數(shù)x, y滿足則z＝＋的取值范圍是( D )
A． B．
C． D．
解析 作出不等式組表示的
23、平面區(qū)域，如圖中陰影所示．解方程組得可行域的頂點(diǎn)分別為A(3,1)，B(1,2)，C(4,2)．由于表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的連線的斜率，則kOA＝，kOB＝2，kOC＝，所示∈.結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的圖象，得z∈，故選D．
二、填空題
7．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件則的最大值為_(kāi)_3__.
解析 由約束條件畫(huà)出可行域，如圖．
的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，所以的最大值即為直線OA的斜率，又由得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3)，于是max＝kOA＝3.
8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋(y－2)2＝1，則ω＝的取值范圍是__[1,2]__.
24、
解析 設(shè)P(x，y)，M(1，)，則cos〈，〉＝＝，過(guò)原點(diǎn)O作⊙C的切線OA，OB，切點(diǎn)為A，B，
易知：∠MOx＝∠AOx＝60°，∠BOx＝120°，
∴0°≤〈，〉≤60°，
∴≤cos〈，〉≤1，∴1≤ω≤2.
9．已知a>0，實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a的值為_(kāi)___.
解析 由題意得直線y＝a(x－3)過(guò)x＝1與2x＋y＝1的交點(diǎn)(1，－1)，因此a的值為.
三、解答題
10．已知D是以點(diǎn)A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包括邊界與內(nèi)部)，如圖所示．
(1)寫(xiě)出表示區(qū)域D的不等式組；
(2)設(shè)點(diǎn)B(
25、－1，－6)，C(－3,2)在直線4x－3y－a＝0的異側(cè)，求a的取值范圍．
解析 (1)直線AB，AC，BC的方程分別為7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.
原點(diǎn)(0,0)在區(qū)域D內(nèi)，故表示區(qū)域D的不等式組為
(2)依題意[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，
即(14－a)(－18－a)<0，
解得－18
26、如圖陰影部分．
由
解得A.
由解得C(1,1)．
由解得B(5,2)．
(1)設(shè)P(x，y)，則z＝＝＝kPO，
由圖知zmin＝kOB＝.
(2)z＝x2＋y2＝|PO|2，∵|OC|2＝2，|OB|2＝29，
∴由圖得2≤z≤29，即z∈[2,29]．
(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(－3,2)的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到(－3,2)的距離中，
dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝＝8.
∴16≤z≤64，即z∈[16,64]．
12．某客運(yùn)公司用A，B兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地
27、間的長(zhǎng)途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每輛車每天往返一次．A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛，公司擬組建一個(gè)不超過(guò)21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求B型車不多于A型車7輛．若每天運(yùn)送人數(shù)不少于900，且使公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？
解析 設(shè)A型，B型車分別為x，y輛，
相應(yīng)營(yíng)運(yùn)成本為z元，則z＝1 600x＋2 400y.
由題意，得x，y滿足約束條件
作出可行域如圖陰影部分所示，可行域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．
由圖可知，當(dāng)直線1 600x＋2 400y＝z經(jīng)過(guò)可行域的點(diǎn)P時(shí)，直線z＝1 600x＋2 400y在y軸上的截距最小，即z取得最小值．
故應(yīng)配備A型車5輛，B型車12輛，可以滿足公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最小．
15
2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第34講 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題學(xué)案
