2020版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第11節(jié) 導數(shù)的應用(第1課時)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教學案 理(含解析)北師大版

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1、第十一節(jié) 導數(shù)的應用 [考綱傳真] 1.了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系;能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件;會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次);會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).3.會利用導數(shù)解決某些實際問題(生活中的優(yōu)化問題). 1.導函數(shù)的符號和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系 (1)如果在某個區(qū)間內(nèi),函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f′(x)≥0,則在這個區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)是增加的; (2)如果在某個區(qū)間內(nèi),函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f′(x)≤0,則

2、在這個區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)是減少的. 2.函數(shù)的極值與導數(shù) (1)函數(shù)的極大值點和極大值:在包含x0的一個區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)在任何一點的函數(shù)值都小于x0點的函數(shù)值,稱點x0為函數(shù)y=f(x)的極大值點.其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值. (2)函數(shù)的極小值點和極小值:在包含x0的一個區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)在任何一點的函數(shù)值都大于x0點的函數(shù)值,稱點x0為函數(shù)y=f(x)的極小值點,其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值. (3)極值和極值點:極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點. (4)求可導函數(shù)極值的步驟: ①求f′(x). ②求方

3、程f′(x)=0的根. ③檢查f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右兩側(cè)的符號.如果左正右負,那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么f(x)在這個根處取得極小值. 3.函數(shù)的最值與導數(shù) (1)最大值點:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值點x0指的是:函數(shù)在這個區(qū)間上所有點的函數(shù)值都不超過f(x0).函數(shù)的最小值點也有類似的意義. (2)函數(shù)的最大值:最大值或者在極值點取得,或者在區(qū)間的端點取得. (3)最值:函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值. (4)求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟 ①求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值; ②將f(x)的各極值與f

4、(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值. 1.可導函數(shù)f(x)在(a,b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是:對任意x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a,b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零. 2.對于可導函數(shù)f(x),f′(x0)=0是函數(shù)f(x)在x=x0處有極值的必要不充分條件. 3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值在端點處或極值點處取得. [基礎(chǔ)自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增加的,那么在區(qū)間(a,b)上一定有f′(x)>0. (  ) (

5、2)函數(shù)的極大值不一定比極小值大. (  ) (3)函數(shù)的最大值不一定是極大值,函數(shù)的最小值也不一定是極小值. (  ) (4)若實際問題中函數(shù)定義域是開區(qū)間,則不存在最優(yōu)解. (  ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(教材改編)如圖是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f′(x)的圖像,則下面判斷正確的是(  ) A.在區(qū)間(-2,1)上,f(x)是增加的 B.在區(qū)間(1,3)上f(x)是減少的 C.在區(qū)間(4,5)上f(x)是增加的 D.當x=2時,f(x)取到極小值 C [結(jié)合原函數(shù)與導函數(shù)的關(guān)系可知,當x∈(4,5)時,f′(x)>0,∴y=f(

6、x)在(4,5)上是增函數(shù),故選C.] 3.函數(shù)f(x)=cos x-x在(0,π)上的單調(diào)性是(  ) A.先增后減 B.先減后增 C.增函數(shù) D.減函數(shù) D [∵f′(x)=-sin x-1, ∴當x∈(0,π)時,f′(x)<0, ∴f(x)在(0,π)上是減函數(shù).] 4.已知a是函數(shù)f(x)=x3-12x的極小值點,則a=(  ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 D [由f′(x)=3x2-12=0得x=±2,又當x<-2時,f′(x)>0,當-2<x<2時,f′(x)<0,當x>2時,f′(x)>0,∴x=2是f(x)的極小值點,即a=2.]

7、 5.函數(shù)y=2x3-2x2在區(qū)間[-1,2]上的最大值是________. 8 [y′=6x2-4x,令y′=0, 得x=0或x=. ∵f(-1)=-4,f(0)=0,f=-,f(2)=8,∴最大值為8.] 第1課時 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 【例1】 (1)函數(shù)y=x2-ln x的遞減區(qū)間為(  ) A.(-1,1]       B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞) (2)(2016·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4. ①求a,b的值;

8、②求f(x)的單調(diào)區(qū)間. (1)B [∵y=x2-ln x, ∴x∈(0,+∞),y′=x-=. 由y′≤0可解得0<x≤1, ∴y=x2-ln x的遞減區(qū)間為(0,1],故選 B.] (2)[解]?、賔′(x)=ea-x-xea-x+b,由切線方程可得解得a=2,b=e. ②f(x)=xe2-x+ex,f′(x)=(1-x)e2-x+e. 令g(x)=(1-x)e2-x, 則g′(x)=-e2-x-(1-x)e2-x=e2-x(x-2). 令g′(x)=0得x=2. 當x<2時,g′(x)<0,g(x)遞減; 當x>2時,g′(x)>0,g(x)遞增. 所以x=2時,

9、g(x)取得極小值-1,也是最小值. 所以f′(x)=g(x)+e≥e-1>0. 所以f(x)的增區(qū)間為(-∞,+∞),無減區(qū)間. [規(guī)律方法] 1.掌握利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的3個步驟 (1)確定函數(shù)f(x)的定義域; (2)求導數(shù)f′(x); (3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相應的x的取值范圍,對應的區(qū)間為f(x)的遞增(減)區(qū)間. 2.理清有關(guān)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的3個點 (1)單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間,所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要先求函數(shù)的定義域; (2)求可導函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,可以直接轉(zhuǎn)化為f′(x)>0與f′(x)<0這兩個不等式的解集問題來處理;

10、(3)若可導函數(shù)f(x)在指定區(qū)間D上遞增(減),則應將其轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(f′(x)≤0)來處理. (1)(2019·北京模擬)函數(shù)f(x)=x2-2ln x的遞減區(qū)間是(  ) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-1,1) (2)(2019·威海模擬)函數(shù)f(x)=(x-3)ex的遞增區(qū)間是________. (1)A (2)(2,+∞) [(1)∵f′(x)=2x-=(x>0), ∴當x∈(0,1)時,f′(x)<0,f(x)為減函數(shù); 當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)為增函數(shù). (2)函數(shù)f(x)=(x-3)ex的

11、導數(shù)為f′(x)=[(x-3)ex]′=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.f′(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.] 利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性 【例2】 設(shè)函數(shù)f(x)=aln x+,其中a為常數(shù). (1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程; (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性. [解] (1)由題意知a=0時,f(x)=,x∈(0,+∞). 此時f′(x)=.可得f′(1)=,又f(1)=0, 所以曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為x-2y-1=0. (2)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞). f′(x)=+=. 當a≥0時

12、,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上遞增. 當a<0時,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a, 由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1), ①當a=-時,Δ=0,f′(x)=≤0, 函數(shù)f(x)在(0,+∞)上遞減. ②當a<-時,Δ<0,g(x)<0, f′(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上遞減. ③當-<a<0時,Δ>0. 設(shè)x1,x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個零點, 則x1=,x2=. 由x1==>0, 所以x∈(0,x1)時,g(x)<0,f′(x)<0,函數(shù)f(x)遞減; x∈(x1,x2)時,g(x)>0,f′(x)>0,函

13、數(shù)f(x)遞增; x∈(x2,+∞)時,g(x)<0,f′(x)<0,函數(shù)f(x)遞減. 綜上可得: 當a≥0時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上遞增; 當a≤-時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上遞減; 當-<a<0時,f(x)在,上遞減, 在上遞增. [規(guī)律方法] 研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時,需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論. (1)討論分以下四個方面,①二次項系數(shù)討論,②根的有無討論,③根的大小討論,④根在不在定義域內(nèi)討論. (2)討論時要根據(jù)上面四種情況,找準參數(shù)討論的分類. (3)討論完必須寫綜述. 已知函數(shù)f(x)=x2-2aln x+(a-2)x,當

14、a<0時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性. [解] 函數(shù)的定義域為(0,+∞),f′(x)=x-+a-2=. ①當-a=2,即a=-2時,f′(x)=≥0,f(x)在(0,+∞)內(nèi)遞增. ②當0<-a<2,即-2<a<0時,∵0<x<-a或x>2時,f′(x)>0;-a<x<2時,f′(x)<0, ∴f(x)在(0,-a),(2,+∞)內(nèi)遞增,在(-a,2)內(nèi)遞減. ③當-a>2,即a<-2時, ∵0<x<2或x>-a時,f′(x)>0;2<x<-a時,f′(x)<0, ∴f(x)在(0,2),(-a,+∞)內(nèi)遞增,在(2,-a)內(nèi)遞減. 綜上所述,當a=-2時,f(x)在(0,+∞

15、)內(nèi)遞增;當-2<a<0時,f(x)在(0,-a),(2,+∞)內(nèi)遞增,在(-a,2)內(nèi)遞減;當a<-2時,f(x)在(0,2),(-a,+∞)內(nèi)遞增,在(2,-a)內(nèi)遞減. 函數(shù)單調(diào)性的應用 ?考法1 比較大小或解不等式 【例3】 (1)設(shè)函數(shù)f′(x)是定義在(0,2π)上的函數(shù)f(x)的導函數(shù),f(x)=f(2π-x),當0<x<π時,若f(x)sin x-f′(x)cos x<0,a=f,b=0,c=-f,則(  ) A.a(chǎn)<b<c       B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b (2)(2019·山師大附中模擬)已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)

16、,f(1)=e,任意x∈R,2f(x)-f′(x)>0,則不等式f(x)<e2x-1的解集為(  ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,e) D.(e,+∞) (1)A (2)B [(1)由f(x)=f(2π-x),得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=π對稱,令g(x)=f(x)cos x,則g′(x)=f′(x)cos x-f(x)sin x>0, 所以當0<x<π時,g(x)在(0,π)內(nèi)遞增, 所以g<g<g=g,即a<b<c,故選A. (2)設(shè)F(x)=,則F′(x)=′=. 因為2f(x)-f′(x)>0, 所以F′(x)=<0, 即F(x)是

17、減函數(shù), f(x)<e2x-1等價于<1,即F(x)<1. 又因為f(1)=e, 所以F(1)==1, 則不等式f(x)<e2x-1的解集是(1,+∞),故選 B.] ?考法2 求參數(shù)的取值范圍 【例4】 已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x(a≠0). (1)若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)存在遞減區(qū)間,求a的取值范圍; (2)若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上遞減,求a的取值范圍. [解] (1)h(x)=ln x-ax2-2x,x∈(0,+∞), 所以h′(x)=-ax-2,由于h(x)在(0,+∞)上存在遞減區(qū)間,所以當x∈(0,+∞)

18、時,-ax-2<0有解, 即a>-有解. 設(shè)G(x)=-,所以只要a>G(x)min即可. 而G(x)=2-1,所以G(x)min=-1. 所以a>-1,即a的取值范圍為(-1,+∞). (2)由h(x)在[1,4]上遞減得, 當x∈[1,4]時,h′(x)=-ax-2≤0恒成立, 即a≥-恒成立. 所以a≥G(x)max,而G(x)=2-1, 因為x∈[1,4],所以∈, 所以G(x)max=-(此時x=4), 所以a≥-,即a的取值范圍是. [母題探究] (1)本例(2)中,若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上遞增,求a的取值范圍. (2)本例(2)中

19、,若h(x)在[1,4]上存在遞減區(qū)間,求a的取值范圍. [解] (1)由h(x)在[1,4]上遞增得, 當x∈[1,4]時,h′(x)≥0恒成立, ∴當x∈[1,4]時,a≤-恒成立, 又當x∈[1,4]時,min=-1(此時x=1), ∴a≤-1,即a的取值范圍是(-∞,-1]. (2)h(x)在[1,4]上存在遞減區(qū)間, 則h′(x)<0在[1,4]上有解, ∴當x∈[1,4]時,a>-有解, 又當x∈[1,4]時,min=-1, ∴a>-1,即a的取值范圍是(-1,+∞). [規(guī)律方法] 1.已知函數(shù)的單調(diào)性,求參數(shù)的取值范圍,應用條件f′(x)≥0(或f′(x)

20、≤0),x∈(a,b)恒成立,解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解),應注意參數(shù)的取值是f′(x)不恒等于0的參數(shù)的范圍. 2.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上不單調(diào),則轉(zhuǎn)化為f′(x)=0在(a,b)上有解. 3.利用導數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧,利用題目條件,構(gòu)造輔助函數(shù),把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題,再由單調(diào)性比較大小或解不等式.常見構(gòu)造的輔助函數(shù)形式有: (1)(2019·武漢模擬)已知定義域為R的奇函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)為y=f′(x),當x>0時,xf′(x)-f(x)<0,若a=,b=,c=,則a,b,c的大小

21、關(guān)系正確的是(  ) A.a(chǎn)<b<c B.b<c<a C.a(chǎn)<c<b D.c<a<b (2)(2019·蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-2aln x+(a-2)x. ①當a=-1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; ②是否存在實數(shù)a,使函數(shù)g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上遞增?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由. (1)D [設(shè)g(x)=,則g′(x)=, ∵當x>0時,xf′(x)-f(x)<0,∴g′(x)<0. ∴g(x)在(0,+∞)上是減函數(shù). 由f(x)為奇函數(shù),知g(x)為偶函數(shù),則g(-3)=g(3), 又a=g(e),b=g(ln

22、 2),c=g(-3)=g(3), ∴g(3)<g(e)<g(ln 2),故c<a< B.] (2)[解] ①當a=-1時,f(x)=x2+2ln x-3x, 則f′(x)=x+-3==. 當0<x<1或x>2時,f′(x)>0,f(x)遞增;當1<x<2時,f′(x)<0,f(x)遞減. ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1)與(2,+∞),減區(qū)間為(1,2). ②假設(shè)存在實數(shù)a,使g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上是增函數(shù), ∴g′(x)=f′(x)-a=x--2≥0恒成立. 即≥0在x∈(0,+∞)上恒成立. ∴x2-2x-2a≥0當x>0時恒成立, ∴a≤(x2-

23、2x)=(x-1)2-恒成立. 又φ(x)=(x-1)2-,x∈(0,+∞)的最小值為-. ∴當a≤-時,g′(x)≥0恒成立. 又當a=-,g′(x)=當且僅當x=1時,g′(x)=0. 故當a∈時,g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上遞增. 1.(2016·全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)遞增,則a的取值范圍是(  ) A.[-1,1] B. C. D. C [取a=-1,則f(x)=x-sin 2x-sin x,f′(x)=1-cos 2x-cos x,但f′(0)=1--1=-<0,不具備在(-∞,+∞)遞增的

24、條件,故排除A,B, D.故選C.] 2.(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導函數(shù),f(-1)=0,當x>0時,xf′(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(  ) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) A [設(shè)y=g(x)=(x≠0),則g′(x)=,當x>0時,xf′(x)-f(x)<0, ∴g′(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),且g(1)=f(1)=-f(-1)=0. ∵f(x)為奇函數(shù),∴g(x)為偶函數(shù), ∴g(x)的圖像的示意圖如圖所示. 當x>0,g(x)>0時,f(x)>0,00,x<-1, ∴使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(-∞,-1)∪(0,1),故選A.] - 11 -

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