2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程教學(xué)案 理（含解析）新人教A版

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1、第三節(jié)　圓的方程 [考綱傳真]　1.掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想． 1．圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡) 標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心(a，b)，半徑r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0) 圓心， 半徑 2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系： (1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0，y0)在圓上，則(

2、x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. [常用結(jié)論] 1．圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程為x2＋y2＝r2. 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(　　) (2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓．(　　) (3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓．(　　) (4)方程Ax2＋Bxy＋

3、Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1　　 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D　[由題意得圓的半徑為，故該圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2，故選D.] 3．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓的充要條件是(　　) A.＜m＜1 B．m＜或m＞1 C．m＜ D．m＞1 B　[由16m2

4、－20m＋4＞0得m＜或m＞1.故選B.] 4．若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a(chǎn)＝±1. A　[由題意可得(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1.故選A.] 5．(教材改編)圓C的圓心在x軸上，并且過點(diǎn)A(－1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為________． (x－2)2＋y2＝10　[設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0)， ∵點(diǎn)A(－1,1)和B(1,3)在圓C上， ∴|CA|＝|CB|，即＝， 解得a＝2，所以圓心為C(2,0)， 半

5、徑|CA|＝＝， ∴圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.] 圓的方程 【例1】　(1)圓E經(jīng)過三點(diǎn)A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.2＋y2＝　　　 B.2＋y2＝ C.2＋y2＝ D.2＋y2＝ (2)過點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 (1)C　(2)C　[(1)設(shè)圓E的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

6、由題意得解得 ∴x2＋y2－x－1＝0，即2＋y2＝.故選C. (2)∵圓心在直線x＋y－2＝0上，∴設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,2－a)． ∴圓的半徑r＝ ＝， 解得a＝1，r＝2，∴圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.故選C.] [規(guī)律方法]　求圓的方程的兩種方法 (1)幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程. (2)待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值； ②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)

7、而求出D，E，F(xiàn)的值. (1)(2018·合肥二模)已知圓C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以O(shè)C為直徑的圓的方程為(　　) A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100 C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25 (2)圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． (1)C　(2)(x－2)2＋(y－1)2＝4　[(1)由題意可知圓心C為(6,8)，則以O(shè)C為直徑的圓的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25.故選C. (

8、2)設(shè)圓C的圓心為(a，b)(b＞0)，由題意得a＝2b＞0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1. 所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.] 與圓有關(guān)的最值問題 【例2】　已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2,3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． [解]　(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0， 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， ∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2. 又|QC|＝＝4， ∴|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2.

9、 (2)可知表示直線MQ的斜率k. 設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0. 由直線MQ與圓C有交點(diǎn)，所以≤2， 可得2－≤k≤2＋， ∴的最大值為2＋，最小值為2－. [母題探究]　(1)(變化結(jié)論)在本例的條件下，求y－x的最大值和最小值． (2)(變換條件)若本例中條件“點(diǎn)Q(－2,3)”改為“點(diǎn)Q是直線3x＋4y＋1＝0上的動(dòng)點(diǎn)”，其它條件不變，試求|MQ|的最小值． [解]　(1)設(shè)y－x＝b，則x－y＋b＝0. 當(dāng)直線y＝x＋b與圓C相切時(shí)，截距b取到最值， ∴＝2，∴b＝9或b＝1. 因此y－x的最大值為9，最小值為1. (2)∵

10、圓心C(2,7)到直線3x＋4y＋1＝0上動(dòng)點(diǎn)Q的最小值為點(diǎn)C到直線3x＋4y＋1＝0的距離， ∴|QC|min＝d＝＝7. 又圓C的半徑r＝2， ∴|MQ|的最小值為7－2. [規(guī)律方法]　與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法 (1)形如μ＝形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題. (2)形如t＝ax＋by形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題. (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題. (1)設(shè)P(x，y)是曲線x2＋(y＋4)2＝4上任意一點(diǎn)，則的最大值為(　　) A.＋2 B. C．5 D．6

11、(2)一束光線從點(diǎn)A(－1,1)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長是(　　) A．4 B．5 C．3－1 D．2 (1)A　(2)A　[(1)的幾何意義為點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)A(1,1)之間的距離．易知點(diǎn)A(1,1)在圓x2＋(y＋4)2＝4的外部，由數(shù)形結(jié)合可知的最大值為＋2＝＋2.故選A. (2)由題意可得圓心C(2,3)，半徑r＝1，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(－1，－1)，求得|A′C|＝＝5，故最短路徑為|A′C|－r＝5－1＝4，故選A.] 與圓有關(guān)的軌跡問題 【例3】　(2019·衡水調(diào)研)已知直角三角形ABC的斜邊為A

12、B，且A(－1,0)，B(3,0)．求： (1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程； (2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程． [解]　(1)法一：設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0. 因?yàn)锳C⊥BC，所以kAC·kBC＝－1， 又kAC＝，kBC＝， 所以·＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． 法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝|AB|＝2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))．

13、 所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． (2)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3,0)，M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． [規(guī)律方法]　求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解. (2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解. (3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程

14、求解. (4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解. 動(dòng)點(diǎn)A在圓x2＋y2＝1上移動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是(　　) A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝4 C．(2x－3)2＋4y2＝1 D.2＋y2＝ C　[設(shè)中點(diǎn)M(x，y)，則動(dòng)點(diǎn)A(2x－3,2y)．∵點(diǎn)A在圓x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.故選C.] 1．(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取

15、值范圍是(　　) A．[2,6] B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] A　[圓心(2,0)到直線的距離d＝＝2，所以點(diǎn)P到直線的距離d1∈[，3]．根據(jù)直線的方程可知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面積S＝|AB|d1＝d1.因?yàn)閐1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面積的取值范圍是[2,6]．] 2．(2015·全國卷Ⅱ)過三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|＝(　　) A．2 B．8 C．4 D．10 C　[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F

16、＝0， 則解得 ∴圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2， ∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4，故選C.] 3．(2015·全國卷Ⅰ)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 2＋y2＝　[由題意知a＝4，b＝2，上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2)，(0，－2)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)．由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(diǎn)(0,2)，(0，－2)，(4,0)三點(diǎn)．設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－m)2＋y2＝r2(00)，則解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝.] - 7 -