2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版必修2

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1、第2章 平面解析幾何初步 直線方程及其應(yīng)用 【例1】　過點(diǎn)A(－5，－4)作一直線l，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形的面積為5，求直線l的方程． [思路探究]　已知直線過定點(diǎn)A，且與兩坐標(biāo)軸都相交，圍成的直角三角形的面積已知．求直線方程時(shí)可采用待定系數(shù)法，設(shè)出直線方程的點(diǎn)斜式，再由面積為5列方程，求直線的斜率． [解]　由題意知，直線l的斜率存在．設(shè)直線為y＋4＝k(x＋5)，交x軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)(0，5k－4)， S＝××|5k－4|＝5， 得25k2－30k＋16＝0(無實(shí)根)，或25k2－50k＋16＝0， 解得k＝或k＝， 所以所求直線l

2、的方程為2x－5y－10＝0，或8x－5y＋20＝0. (1)求直線方程的主要方法是待定系數(shù)法，要掌握直線方程五種形式的適用條件及相互轉(zhuǎn)化，能根據(jù)條件靈活選用方程，當(dāng)不能確定某種方程條件具備時(shí)要另行討論條件不滿足的情況． (2)運(yùn)用直線系方程的主要作用在于能使計(jì)算簡(jiǎn)單． 1．過點(diǎn)P(－1,0)，Q(0,2)分別作兩條互相平行的直線，使它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1，求這兩條直線的方程． [解]　(1)當(dāng)兩條直線的斜率不存在時(shí)，兩條直線的方程分別為x＝－1，x＝0，它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1，滿足題意； (2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k， 則兩條直線的方

3、程分別為y＝k(x＋1)，y＝kx＋2. 令y＝0，分別得x＝－1，x＝－. 由題意得＝1，即k＝1. 則直線的方程為y＝x＋1，y＝x＋2， 即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0. 綜上可知，所求的直線方程為x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0. 直線的位置關(guān)系 【例2】　已知直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得： (1)l1⊥l2；(2)l1∥l2. [思路探究]　已知兩直線的方程中都含有參數(shù)，求不同的位置關(guān)系時(shí)參數(shù)的取值，可以利用平行(或垂直)的條件列方程求解． [解]　法一：當(dāng)m＝0或2時(shí)，兩直線既不平行，也不

4、垂直； 當(dāng)m≠0且m≠2時(shí)，直線l1，l2的斜率分別為：－，. (1)若l1⊥l2，則－·＝－1，解得m＝. (2)若l1∥l2，則由－＝，得m＝－1或m＝3. 又當(dāng)m＝3時(shí)，l1與l2重合，故m＝3舍去． 故l1∥l2時(shí)，m＝－1. 法二：(1)∵l1⊥l2，∴m－2＋3m＝0，∴m＝. (2)∵l1∥l2，∴3－m(m－2)＝0且2m≠6(m－2)， 故m＝－1. 利用直線的方程判定兩條直線的平行或垂直關(guān)系是這部分知識(shí)常涉及的題型．求解時(shí)，可以利用斜率之間的關(guān)系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂直關(guān)系，求參數(shù)的值時(shí)也可用如下方法： 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝

5、0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)l1∥l2時(shí)，可令A(yù)1B2－A2B1＝0，解得參數(shù)的值后，再代入方程驗(yàn)證，排除重合的情況； (2)l1⊥l2時(shí)，可利用A1A2＋B1B2＝0直接求參數(shù)的值． 2．已知點(diǎn)A(2,2)和直線l：3x＋4y－20＝0. (1)求過點(diǎn)A，且和直線l平行的直線方程； (2)求過點(diǎn)A，且和直線l垂直的直線方程． [解]　(1)因?yàn)樗笾本€與l：3x＋4y－20＝0平行， 所以設(shè)所求直線方程為3x＋4y＋m＝0. 又因?yàn)樗笾本€過點(diǎn)A(2,2)，所以3×2＋4×2＋m＝0， 所以m＝－14，所以所求直線方程為3x＋4y－14＝0.

6、 (2)因?yàn)樗笾本€與直線l：3x＋4y－20＝0垂直， 所以設(shè)所求直線方程為4x－3y＋n＝0. 又因?yàn)樗笾本€過點(diǎn)A(2,2)，所以4×2－3×2＋n＝0， 所以n＝－2，所以所求直線方程為4x－3y－2＝0. 距離問題 【例3】　已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分別滿足下列條件的a、b的值． (1)直線l1過點(diǎn)(－3，－1)，并且直線l1與直線l2垂直； (2)直線l1與直線l2平行，并且坐標(biāo)原點(diǎn)到l1、l2的距離相等． [解]　(1)∵l1⊥l2， ∴a(a－1)＋(－b)·1＝0. 即a2－a－b＝0.① 又點(diǎn)(－3

7、，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2且l2的斜率為1－a， ∴l(xiāng)1的斜率也存在，＝1－a， 即b＝. 故l1和l2的方程可分別表示為 l1：(a－1)x＋y＋＝0， l2：(a－1)x＋y＋＝0. ∵原點(diǎn)到l1與l2的距離相等， ∴4＝，解得a＝2或a＝. 因此或 距離公式的運(yùn)用 1．距離問題包含兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離，兩平行直線間的距離． 2．牢記各類距離的公式并能直接應(yīng)用，解決距離問題時(shí)，往往將代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形的直觀分析相結(jié)合． 3．已知正方形中心為點(diǎn)M(－1,0)，一條邊所在直線

8、的方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程． [解]　正方形中心到直線x＋3y－5＝0的距離d＝＝. 設(shè)與直線x＋3y－5＝0平行的直線方程為x＋3y＋C1＝0.由正方形的性質(zhì)，得＝， 解得C1＝－5(舍去)或C1＝7. 所以與直線x＋3y－5＝0相對(duì)的邊所在的直線方程為x＋3y＋7＝0. 設(shè)與直線x＋3y－5＝0垂直的邊所在的直線方程為 3x－y＋C2＝0.由題意，得＝， 解得C2＝9或C2＝－3. 所以另兩邊所在直線的方程為3x－y＋9＝0和3x－y－3＝0. 求圓的方程 【例4】　求圓心在直線3x＋4y－1＝0上，且經(jīng)過兩圓x2＋y2－x＋y－2＝0與x2

9、＋y2＝5的交點(diǎn)的圓的方程． [思路探究]　解答本題可利用過兩圓交點(diǎn)的圓系方程求解，也可求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解． [解]　法一：設(shè)所求圓為x2＋y2－x＋y－2＋λ(x2＋y2－5)＝0， 化為一般式，得x2＋y2－x＋y－＝0. 故圓心坐標(biāo)為， 代入直線3x＋4y－1＝0，得λ＝－. 再把λ代入所設(shè)方程，得x2＋y2＋2x－2y－11＝0， 故所求圓的方程為x2＋y2＋2x－2y－11＝0. 法二：解方程組 得兩圓的交點(diǎn)為A(1，－2)和B(2，－1)． 設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵A，B在圓上，且圓心在直線3x＋4y－1＝0上，

10、 ∴ 解得 ∴所求圓的方程是x2＋y2＋2x－2y－11＝0. 求圓的方程主要是聯(lián)系圓系方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，利用待定系數(shù)法解題．一般地，當(dāng)已知圓的圓心或半徑的幾何特征時(shí)，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并結(jié)合圓的幾何性質(zhì)求解；當(dāng)已知圓上三個(gè)點(diǎn)時(shí)，設(shè)圓的一般方程；當(dāng)所求圓經(jīng)過直線與圓、圓與圓的交點(diǎn)時(shí)，常利用圓系方程來解答． 過兩個(gè)已知圓x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)． 4．圓心在直線5x－3y＝8上，且圓與兩坐標(biāo)軸均相切，求此圓

11、的標(biāo)準(zhǔn)方程． [解]　設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(r＞0)．因?yàn)閳A與兩坐標(biāo)軸均相切，故圓心坐標(biāo)滿足x0－y0＝0或x0＋y0＝0. 又圓心在直線5x－3y＝8上，所以5x0－3y0＝8. 由得 由得 所以圓心坐標(biāo)為(4,4)或(1，－1)，相應(yīng)的半徑為r＝4或r＝1，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1. 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 【例5】　已知圓M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直線l過點(diǎn)P(2,3)且與圓M交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，求直線l的方程． [思路探究]　分斜率存在與不存在兩

12、種情況： (1)???? (2)? [解]　(1)當(dāng)直線l存在斜率時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－3＝k(x－2)， 即kx－y＋3－2k＝0. 示意圖如圖，作MC⊥AB于C. 在Rt△MBC中，|BC|＝|AB|＝，|MB|＝2， 故|MC|＝＝1， 由點(diǎn)到直線的距離公式得＝1， 解得k＝. 故直線l的方程為3x－4y＋6＝0. (2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x＝2， 且|AB|＝2，所以符合題意． 綜上所述，直線l的方程為3x－4y＋6＝0或x＝2. 1．直線與圓的位置關(guān)系是高考考查的重點(diǎn)，切線問題更是重中之重，判斷直線與圓的位置關(guān)系以幾何法為主，解題時(shí)

13、應(yīng)充分利用圓的幾何性質(zhì)以簡(jiǎn)化解題過程． 2．解決圓與圓的位置關(guān)系的關(guān)鍵是抓住它的幾何特征，利用兩圓圓心距與兩圓半徑的和、差的絕對(duì)值的大小來確定兩圓的位置關(guān)系，以及充分利用它的幾何圖形的形象直觀性來分析問題． 5．求圓O：x2＋y2＝36與圓M：x2＋y2－10y＋16＝0的公切線的方程． [解]　如圖，易知兩圓相交，公切線有兩條． 由圓M的方程易得M(0,5)，r＝3. 設(shè)兩圓的公切線與圓O相切于點(diǎn)B(x0，y0)， 則公切線方程為x0x＋y0y＝36. ∵點(diǎn)M到公切線的距離等于3， ∴＝3. ∵x＋y＝36，點(diǎn)M在公切線的下方， ∴－(5y0－36)＝18

14、，即y0＝.從而x0＝±＝±. 故公切線方程為x＋y－36＝0或－x＋y－36＝0， 即4x＋3y－30＝0或4x－3y＋30＝0. 軌跡問題 【例6】　如圖，圓O1與圓O2的半徑都是1，|O1O2|＝4，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM，PN，(M，N分別為切點(diǎn))，使得|PM|＝|PN|，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程． [思路探究]　由△PMO1與△PNO2均為直角三角形表示出切線長(zhǎng)|PM|與|PN|，建立坐標(biāo)系后，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)即可由等式|PM|＝|PN|求出P點(diǎn)的軌跡方程． [解]　如圖，以O(shè)1，O2所在直線為x軸，線段|O1O2|的垂直平分線為y

15、軸，建立直角坐標(biāo)系，則O1(－2,0)，O2(2,0)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)． 在Rt△PMO1中，|PM|2＝|PO1|2－1， 在Rt△PNO2中，|PN|2＝|PO2|2－1. 又因?yàn)閨PM|＝|PN|，所以|PM|2＝2|PN|2，即 |PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)，即|PO1|2＋1＝2|PO2|2， 所以(x＋2)2＋y2＋1＝2[(x－2)2＋y2]， 整理得x2＋y2－12x＋3＝0， 即為所求點(diǎn)P的軌跡方程． 1．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是解析幾何中的重要題型，解答這類問題常用的方法有：直接法、定義法、消元法、代數(shù)法等． 2．求軌跡方程的步驟

16、：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)列出動(dòng)點(diǎn)滿足的軌跡條件；(3)把軌跡條件坐標(biāo)化；(4)化簡(jiǎn)整理；(5)檢驗(yàn)．在檢驗(yàn)中要排除不符合要求的點(diǎn)，或者補(bǔ)充上漏掉的部分． 6．等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4,2)，底邊一個(gè)端點(diǎn)是B(3,5)，求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么． [解]　設(shè)另一端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y) . 依題意，得|AC|＝|AB|. 由兩點(diǎn)間距離公式， 得＝， 整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10. 這是以點(diǎn)A(4,2)為圓心，以為半徑的圓，如圖所示，又因?yàn)锳、B、C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，所以A、B、C三點(diǎn)不共線．即點(diǎn)B、C不能重合且B、C不能為圓A的一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)． 因?yàn)辄c(diǎn)B、C不能重合，所以點(diǎn)C不能為(3,5)． 又因?yàn)辄c(diǎn)B、C不能為一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，所以≠4.且≠2，即點(diǎn)C不能為(5，－1)． 故端點(diǎn)C的軌跡方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去點(diǎn)(3,5)和(5，－1))． 綜上，它的軌跡是以點(diǎn)A(4,2)為圓心，為半徑的圓，但除去(3,5)和(5，－1)兩點(diǎn)． - 10 -