2020版高考數(shù)學一輪復習 第6章 不等式、推理與證明 第5節(jié) 綜合法、分析法、反證法、數(shù)學歸納法教學案 理（含解析）北師大版

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1、第五節(jié)　綜合法、分析法、反證法、數(shù)學歸納法 [考綱傳真]　1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點.2.了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程和特點.3.了解數(shù)學歸納法的原理.4.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題． 1．綜合法、分析法 內(nèi)容 綜合法 分析法 定義 從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明．我們把這樣的思維方法稱為綜合法 從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個命題的條件，或者歸結(jié)為定義、

2、公理、定理等．我們把這樣的思維方法稱為分析法 實質(zhì) 由因?qū)Ч? 執(zhí)果索因 框圖 表示 → →…→ →→…→得到一個明顯,成立的條件 文字語言 因為……所以……或由……得…… 要證……只需證……即證…… 2.反證法 (1)反證法的定義：在假定命題結(jié)論的反面成立的前提下，經(jīng)過推理，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題結(jié)論成立的方法叫反證法． (2)反證法的證題步驟： ①作出否定結(jié)論的假設(shè)；②進行推理，導出矛盾；③否定假設(shè)，肯定結(jié)論． 3．數(shù)學歸納法 一般地，證明一個與正

3、整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行： (1)歸納奠基：證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立； (2)歸納遞推：假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立． 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．上述證明方法叫做數(shù)學歸納法． [常用結(jié)論]　利用歸納假設(shè)的技巧 在推證n＝k＋1時，可以通過湊、拆、配項等方法用上歸納假設(shè)．此時既要看準目標，又要掌握n＝k與n＝k＋1之間的關(guān)系．在推證時，分析法、綜合法、反證法等方法都可以應(yīng)用． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (

4、1)用數(shù)學歸納法證明問題時，第一步是驗證當n＝1時結(jié)論成立． (　　) (2)綜合法是直接證明，分析法是間接證明． (　　) (3)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件．(　　) (4)用反證法證明結(jié)論“a>b”時，應(yīng)假設(shè)“a

5、角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”過程應(yīng)用了 (　　) A．分析法 B．綜合法 C．綜合法、分析法結(jié)合使用 D．間接證法 B　[由證明過程看是用了綜合法的證明，故選B．] 4．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則a＋，b＋，c＋三個數(shù)(　　) A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一個不大于2 D．至少有一個不小于2 D　[∵＋＋ ＝＋＋≥6， 當且僅當a＝b＝c時取等號， ∴三個數(shù)中至少有一個不小于2.] 5．用數(shù)學歸納法證明12＋22

6、＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝時，由n＝k的假設(shè)到證明n＝k＋1時，等式左邊應(yīng)添加的式子是(　　) A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2 C．(k＋1)2 D．(k＋1)[2(k＋1)2＋1] B　[若n＝k時成立，即12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝成立，那么n＝k＋1時，左邊＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12，對比n＝k時的式子可知，當n＝k＋1時，等式左邊應(yīng)添加的式子是(k＋1)2＋k2，故選B．] 分析法的應(yīng)用 1．若a，b∈(1，＋∞)，證明＜. [證明]　要證＜

7、， 只需證()2＜()2， 只需證a＋b－1－ab＜0， 即證(a－1)(1－b)＜0. 因為a＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0， 即(a－1)(1－b)＜0成立， 所以原不等式成立． 2．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，c. 求證：＋＝. [證明]　要證＋＝， 即證＋＝3，也就是＋＝1， 只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需證c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B＝60°， 由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°， 即b2＝c2＋a2－ac，故c

8、2＋a2＝ac＋b2成立． 于是原等式成立． [規(guī)律方法]　(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件．正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利解決的關(guān)鍵． (2)證明較復雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證． 綜合法的應(yīng)用 【例1】　設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知3an－2Sn＝2. (1)證明{an}是等比數(shù)列并求出通項公式an； (2)求證：S－SnSn＋2＝4×3n. [證明]　(1)因為3an－2Sn＝2，所以3an＋1－2Sn＋1＝2，

9、 所以3an＋1－3an－2(Sn＋1－Sn)＝0. 因為Sn＋1－Sn＝an＋1，所以＝3，所以{an}是等比數(shù)列． 當n＝1時，3a1－2S1＝2，又S1＝a1，所以a1＝2. 所以{an}是以2為首項，以3為公比的等比數(shù)列，其通項公式為an＝2×3n－1. (2)由(1)可得Sn＝3n－1，Sn＋1＝3n＋1－1，Sn＋2＝3n＋2－1， 故S－SnSn＋2＝(3n＋1－1)2－(3n－1)(3n＋2－1)＝4×3n， 即S－SnSn＋2＝4×3n. [規(guī)律方法]　(1)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條

10、件或已證的真實判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理，最后導出所要求證結(jié)論的真實性． (2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理． 設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1. 證明：(1)ab＋bc＋ac≤； (2)＋＋≥1. [證明]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1， 即ab＋bc＋ca≤. (2)因為a，b，c均為正數(shù)，＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)

11、≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c， 所以＋＋≥1. 反證法的應(yīng)用 【例2】　設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝＋.證明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時成立． [證明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1. (1)由基本不等式及ab＝1， 有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2. (2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時成立，則由a2＋a<2及a>0，得0

12、不成立，而設(shè)結(jié)論的反面成立(否定結(jié)論) (2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導出矛盾，矛盾可以是與已知條件、定義、公理、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾．(推導矛盾) (3)立論：因為推理正確，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤．既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立．(命題成立) 設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和． (1)求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列； (2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？為什么？ [解]　(1)證明：假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，則S＝S1S3， 即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)， 因為a1≠0

13、，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即q＝0，這與公比q≠0矛盾， 所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列． (2)當q＝1時，Sn＝na1，故{Sn}是等差數(shù)列； 當q≠1時，{Sn}不是等差數(shù)列．假設(shè){Sn}是等差數(shù)列， 則2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)， 得q＝0，這與公比q≠0矛盾． 綜上，當q＝1時，數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列； 當q≠1時，數(shù)列{Sn}不是等差數(shù)列． 數(shù)學歸納法的應(yīng)用 【例3】　已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*. (1)當n＝1,2,3時，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系； (2)猜想f(n)與

14、g(n)的大小關(guān)系，并給出證明． [解]　(1)當n＝1時，f(1)＝1，g(1)＝1， 所以f(1)＝g(1)； 當n＝2時，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)； 當n＝3時，f(3)＝，g(3)＝， 所以f(3)＜g(3)． (2)由(1)猜想，f(n)≤g(n)，用數(shù)學歸納法證明． ①當n＝1,2,3時，不等式顯然成立． ②假設(shè)當n＝k(k＞3，k∈N*)時不等式成立， 即1＋＋＋＋…＋＜－， 則當n＝k＋1時， f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋. 因為－ ＝－ ＝＜0， 所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)． 由①②可知，對一切n∈N*，都有f(

15、n)≤g(n)成立． [規(guī)律方法]　1.應(yīng)用數(shù)學歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題 (1)當遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學歸納法． (2)用數(shù)學歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時也成立，證明時用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法． 2．利用數(shù)學歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正確性． 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.

16、 (1)求a1，a2，a3的值； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． [解]　(1)由Sn＝2nan＋1－3n2－4n，得 S2＝4a3－20，S3＝S2＋a3＝5a3－20. 又S3＝15， ∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8. ∵S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7， ∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3. 綜上知a1＝3，a2＝5，a3＝7. (2)由(1)猜想an＝2n＋1(n∈N*)，以下用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝1時，猜想顯然成立； ②假設(shè)當n＝k(k∈N*，且k≥2)時，有ak＝2k＋1成立， 則Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1) ＝·k＝k(k＋2)． 又Sk＝2kak＋1－3k2－4k， ∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k， 解得ak＋1＝2k＋3＝2(k＋1)＋1， 即當n＝k＋1時，猜想成立． 由①②知，數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋1(n∈N*)． - 8 -