2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第6節(jié) 正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用教學(xué)案 理(含解析)北師大版
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1、第六節(jié) 正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用 [考綱傳真] 1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題. 1.正弦、余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為△ABC的外接圓半徑,則 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ===2R. a2=b2+c2-2bccos_A; b2=c2+a2-2cacos_B; c2=a2+b2-2abcos_C. 變形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B, c=2Rsin C; (2)a∶b∶c=sin A∶
2、sin B∶sin C; (3)==2R. cos A=; cos B=; cos C=. 2.三角形常用面積公式 (1)S=a·ha(ha表示邊a上的高); (2)S=absin C=acsin B=bcsin A; (3)S=r(a+b+c)(r為內(nèi)切圓半徑). 3.實(shí)際問題中的常用角 (1)仰角和俯角:與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方的角叫做仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方的角叫做俯角(如圖1). (2)方向角:相對(duì)于某正方向的水平角,如南偏東30°、北偏西45°、西偏北60°等. (3)方位角:指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目
3、標(biāo)方向線的水平角,如點(diǎn)B的方位角為α(如圖2). (4)坡度:坡面與水平面所成的二面角的度數(shù). 1.在△ABC中,A>B?a>b?sin A>sin B. 2.三角形中的射影定理 在△ABC中,a=bcos C+ccos B; b=acos C+ccos A; c=bcos A+acos B. 3.內(nèi)角和公式的變形 (1)sin(A+B)=sin C; (2)cos(A+B)=-cos C. 4.在△ABC中,若acos A=bcos B,則△ABC是等腰三角形或直角三角形. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (
4、1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比. ( ) (2)在△ABC中,若sin A>sin B,則A>B. ( ) (3)在△ABC的六個(gè)元素中,已知任意三個(gè)元素可求其他元素. ( ) (4)當(dāng)b2+c2-a2>0時(shí),△ABC為銳角三角形;當(dāng)b2+c2-a2=0時(shí),△ABC為直角三角形;當(dāng)b2+c2-a2<0時(shí),△ABC為鈍角三角形. ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.(教材改編)已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若A=,B=,a=1,則b=( ) A.2 B.1 C. D. D [由=得b===×2
5、=.] 3.(教材改編)在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,則此三角形有( ) A.無解 B.兩解 C.一解 D.解的個(gè)數(shù)不確定 B [∵bsin A=24sin 45°=12, ∴12<18<24,即bsin A<a<B. ∴此三角形有兩解.] 4.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,則cos C的值為( ) A. B. C.- D.- D [由題意可知a∶b∶c=3∶2∶4,不妨設(shè)a=3k,b=2k,c=4k,則cos C===-.] 5.在△ABC中,a=2,c=,B=30°,則S△ABC=________;
6、b=________. 1 [S△ABC=acsin B=×2××=. 由b2=a2+c2-2accos B=4+3-4cos 30°=1,得b=1.] 利用正、余弦定理解三角形 【例1】 (2016·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C; (2)若c=,△ABC的面積為,求△ABC的周長(zhǎng). [解] (1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, 即2cos Csin(A+B)=sin C, 故2sin Ccos C=sin C
7、. 可得cos C=,所以C=. (2)由已知得absin C=. 又C=,所以ab=6. 由已知及余弦定理得a2+b2-2abcos C=7, 故a2+b2=13,從而(a+b)2=25,所以a+b=5(負(fù)值舍去). 所以△ABC的周長(zhǎng)為5+. [規(guī)律方法] 解三角形的常見題型及求解方法 (1)已知兩角A,B與一邊a,由A+B+C=π及==,可先求出角C及b,再求出c. (2)已知兩邊b,c及其夾角A,由a2=b2+c2-2bccos A,先求出a,再求出角B,C. (3)已知三邊a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C. (4)已知兩邊a,b及其中一邊的對(duì)角A,由正弦
8、定理=可求出另一邊b的對(duì)角B,由C=π-(A+B),可求出角C,再由=可求出c,而通過=求角B時(shí),可能有一解或兩解或無解的情況. (1)(2018·重慶二模)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,若(a-b)(sin A+sin B)=c(sin C+sin B),則角A等于( ) A. B. C. D. (2)如圖,在△ABC中,已知點(diǎn)D在邊AB上,AD=3DB,cos A=,cos∠ACB=,BC=13. ①求cos B的值; ②求CD的長(zhǎng). (1)D [由正弦定理可得(a-b)(a+b)=c(c+b),即b2+c2-a2=-bc,由余
9、弦定理可得cos A==-,又A∈(0,π),則A=,故選D.] (2)[解]?、僭凇鰽BC中,因?yàn)閏os A=,A∈(0,π), 所以sin A==. 同理可得sin∠ACB=. 所以cos B=cos[π-(A+∠ACB)]=-cos(A+∠ACB)=sin Asin∠ACB-cos Acos∠ACB=×-×=. ②在△ABC中,由正弦定理得,AB=sin∠ACB=×=20. 又AD=3DB,所以BD=AB=5,又在△BCD中,由余弦定理得CD= ==9. 判斷三角形的形狀 【例2】 (1)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若=,(b+c+a)(b+
10、c-a)=3bc,則△ABC的形狀為( ) A.直角三角形 B.等腰非等邊三角形 C.等邊三角形 D.鈍角三角形 (2)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos A,則△ABC的形狀為( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 (1)C (2)D [(1)∵=,∴=,∴b=c. 又(b+c+a)(b+c-a)=3bc, ∴b2+c2-a2=bc, ∴cos A===. ∵A∈(0,π),∴A=, ∴△ABC是等邊三角形. (2)因?yàn)閏-acos B=(2a-b)
11、cos A, C=π-(A+B), 所以由正弦定理得 sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin B cos A, 所以sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A, 所以cos A(sin B-sin A)=0, 所以cos A=0或sin B=sin A, 所以A=或B=A或B=π-A(舍去), 所以△ABC為等腰或直角三角形.] [規(guī)律方法] 判定三角形形狀的方法 (1)化邊:通過因式分解,配方等得邊的相對(duì)應(yīng)關(guān)系. (2)化角:通過三角恒等變換,得出內(nèi)角的關(guān)系,此時(shí)要注意應(yīng)用A+
12、B+C=π這個(gè)結(jié)論. (1)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若= =,則該三角形的形狀是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等邊三角形 D.鈍角三角形 (2)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別是a,b,c,若sin2=,則△ABC的形狀一定是________. (1)A (2)直角三角形 [(1)因?yàn)椋剑烧叶ɡ淼茫?,所以sin 2A=sin 2B.由=,可知a≠b,所以A≠B.又A,B∈(0, π),所以2A=180°-2B,即A+B=90°,所以C=90°,于是△ABC是直角三角形. (2)由題意,得=,即cos B=,又由余弦
13、定理,得=,整理得a2+b2=c2,所以△ABC為直角三角形.] 與三角形有關(guān)的最值(范圍)問題 【例3】 (2019·廣州調(diào)研)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足a=2,acos B=(2c-b)cos A. (1)求角A的大??; (2)求△ABC的周長(zhǎng)的最大值. [解] (1)法一:由已知,得acos B+bcos A=2ccos A. 由正弦定理,得sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos A, 即sin(A+B)=2sin Ccos A. 因?yàn)閟in(A+B)=sin(π-C)=sin C, 所以sin C=2sin Cc
14、os A. 因?yàn)閟in C≠0,所以cos A=. 因?yàn)?<A<π,所以A=. 法二:由已知及余弦定理,得a×=(2c-b)×,即b2+c2-a2=bc, 所以cos A==. 因?yàn)?<A<π,所以A=. (2)法一:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 得bc+4=b2+c2, 即(b+c)2=3bc+4. 因?yàn)閎c≤2,所以(b+c)2≤(b+c)2+4, 即b+c≤4(當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)等號(hào)成立), 所以a+b+c≤6. 故△ABC的周長(zhǎng)的最大值為6. 法二:因?yàn)椋剑?,且a=2,A=, 所以b=sin B,c=sin C. 所以a+b+c=2+(
15、sin B+sin C)=2+sin B+sin=2+4sin. 因?yàn)?<B<,所以當(dāng)B=時(shí),a+b+c取得最大值6. 故△ABC的周長(zhǎng)的最大值為6. [規(guī)律方法] 求有關(guān)三角形面積或周長(zhǎng)的最值(范圍)問題,一般轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù),利用三角函數(shù)的有界性求解,或利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,再應(yīng)用基本不等式求解. (1)(2018·鄭州一模)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2ccos B=2a+b,若△ABC的面積S=c,則ab的最小值為( ) A.28 B.36 C.48 D.56 (2)(2019·河北五校聯(lián)考)在△ABC中,AB=2,C=
16、,則AC+BC的最大值為( ) A. B.2 C.3 D.4 (1)C (2)D [(1)在△ABC中,2ccos B=2a+b,由正弦定理,得2sin Ccos B=2sin A+sin B.又A=π-(B+C),所以sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C),所以2sin Ccos B=2sin(B+C)+sin B=2sin Bcos C+2cos Bsin C+sin B,得2sin Bcos C+sin B=0,因?yàn)閟in B≠0,所以cos C=-,又0<C<π,所以C=.由S=c=absin C=ab×,得c=.由余弦定理得,c2=a2+b2-2ab
17、cos C=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)),所以2≥3ab,得ab≥48,所以ab的最小值為48,故選C. (2)∵C=,A+B+C=π,∴A+B=.由正弦定理,得====4,∴BC=4sin A,AC=4sin B,∴AC+BC=4sin B+4sin A=4sin+4sin A=2cos A+6sin A=4sin(A+φ),∴當(dāng)A+φ=+2kπ(k∈Z)時(shí),AC+BC取得最大值,為4.故選 D.] 解三角形的實(shí)際應(yīng)用 【例4】 (1)江岸邊有一炮臺(tái)高30 m,江中有兩條船,船與炮臺(tái)底部在同一水平面上,由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和60°,而且
18、兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角,則兩條船相距________m. (2)某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn),發(fā)出呼救信號(hào),我海軍艦艇在A處獲悉后,立即測(cè)出該漁船在方位角為45°,距離A為10海里的C處,并測(cè)得漁船正沿方位角為105°的方向,以10海里/時(shí)的速度向小島B靠攏,我海軍艦艇立即以10海里/時(shí)的速度前去營救,則艦艇的航向?yàn)楸逼珫|________. (1)10 (2)75° [(1)如圖,過炮臺(tái)頂部A作水平面的垂線,垂足為B,設(shè)A處觀測(cè)小船C的俯角為45°,設(shè)A處觀測(cè)小船D的俯角為60°,連接BC,B D. Rt△ABC,∠ACB=45°,可得 BC=AB=30 m, Rt△ABD中,∠A
19、DB=60°,可得 BD==10 m, 在△BCD中,BC=30 m,BD=10 m,∠CBD=30°, 由余弦定理可得: CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos 30°=300, ∴CD=10 m. (2)如圖所示,設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí), 則AB=10t,CB=10t, 在△ABC中,根據(jù)余弦定理,則有AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 120°, 可得(10t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos 120°. 整理得2t2-t-1=0,解得t=1或t=-(舍去), ∴艦艇需1小時(shí)靠近漁船,此時(shí)AB=10,BC=10. 在△ABC中,由正弦定理
20、得=, ∴sin∠CAB===. ∴∠CAB=30°. 所以艦艇航向?yàn)楸逼珫|75°.] [規(guī)律方法] 利用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題的一般思路: (1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解; (2)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,再逐步求解其他三角形,有時(shí)需設(shè)出未知量,根據(jù)條件列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解. 如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600 m后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂
21、在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=______m. 100 [由題意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°. 又AB=600 m, 故由正弦定理得=, 解得BC=300 m. 在Rt△BCD中,CD=BC·tan 30°=300× =100(m).] 1.(2018·全國卷Ⅱ)在△ABC中,cos =,BC=1,AC=5,則AB=( ) A.4 B. C. D.2 A [因?yàn)閏os =,所以cos C=2cos2 -1=2×2-1=-.于是,在△ABC中,由余弦定理得AB
22、2=AC2+BC2-2AC×BC×cos C=52+12-2×5×1×-=32,所以AB=4.故選A.] 2.(2018·全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為,則C=( ) A. B. C. D. C [因?yàn)镾△ABC=absin C,所以=absin C.由余弦定理a2+b2-c2=2abcos C,得2abcos C=2absin C,即cos C=sin C,所以在△ABC中,C=.故選C.] 3.(2016·全國卷Ⅲ)在△ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則cos A=( ) A. B. C.- D.- C
23、 [法一:設(shè)△ABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c, 則由題意得S△ABC=a·a=acsin B,∴c=a. 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+a2-2×a×a×=a2,∴b=a. ∴cos A===-.故選C. 法二:同法一得c=a. 由正弦定理得sin C=sin A, 又B=, ∴sin C=sin=sin A,即cos A+sin A=sin A, ∴tan A=-3,∴A為鈍角. 又∵1+tan2A=,∴cos2A=, ∴cos A=-.故選C.] 4.(2016·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cos A
24、=,cos C=,a=1,則b=________. [因?yàn)锳,C為△ABC的內(nèi)角,且cos A=,cos C=, 所以sin A=,sin C=, 所以sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=. 又a=1,所以由正弦定理得b===×=.] 5.(2017·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為. (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周長(zhǎng). [解] (1)由題設(shè)得acsin B=,即csin B=. 由正弦定理得sin Csin B=. 故sin Bsin C=. (2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-, 即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=. 由題意得bcsin A=,a=3,所以bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9, 即(b+c)2-3bc=9.由bc=8,得b+c=. 故△ABC的周長(zhǎng)為3+. - 12 -
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