2020版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第12節(jié) 定積分與微積分基本定理教學案 理（含解析）北師大版

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1、第十二節(jié)　定積分與微積分基本定理 [考綱傳真]　1.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.2.了解微積分基本定理的含義． 1．定積分的概念與幾何意義 (1)定積分的定義 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點將區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點δi(i＝1,2，…，n)，作和式s′＝f(δ1)Δx1＋f(δ2)Δx2＋…＋f(δi)Δxi＋…＋f(δn)Δxn.當每個小區(qū)間的長度Δx趨于0時，s′的值趨于一個常數(shù)A.我們稱常數(shù)A叫作函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dx＝A. 在f(x)dx中，

2、a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式． (2)定積分的幾何意義 圖形 陰影部分面積 S＝f(x)dx S＝－f(x)dx S＝f(x)dx－f(x)dx S＝f(x)dx－g(x)dx ＝[f(x)－g(x)]dx 2．定積分的性質(zhì) (1)1dx＝b－a； (2)kf(x)dx＝kf(x)dx(k為常數(shù))； (3)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx； (4)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a

3、本定理 如果連續(xù)函數(shù)f(x)是函數(shù)F(x)的導函數(shù)，即f(x)＝F′(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，這個結論叫作微積分基本定理，又叫作牛頓-萊布尼茨公式．通常稱F(x)是f(x)的一個原函數(shù)． 為了方便，常把F(b)－F(a)記作F(x)|， 即f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)． 　函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[－a，a]上連續(xù)，則有 (1)若f(x)為偶函數(shù)，則－af(x)dx＝2f(x)dx. (2)若f(x)為奇函數(shù)，則－af(x)dx＝0. [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)設函數(shù)y＝f(

4、x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)dx＝f(t)dt. (　　) (2)定積分一定是曲邊梯形的面積． (　　) (3)若f(x)dx＜0，那么由y＝f(x)的圖像，直線x＝a，直線x＝b以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2.exdx的值等于(　　) A．e　　　　　　　 B．1－e C．e－1 D．(e－1) C　[exdx＝ex＝e－1.] 3．(教材改編)已知質(zhì)點的速率v＝10t，則從t＝0到t＝t0質(zhì)點所經(jīng)過的路程是(　　) A．10t　　　　B．5t　　　　C.t　　　　 D．t B　[S＝∫t00

5、vdt＝∫t0010tdt＝5t2|t00＝5t.] 4．(教材改編)曲線y＝x2與直線y＝x所圍成的封閉圖形的面積為________． 　[如圖，陰影部分的面積即為所求． 由得A(1,1)． 故所求面積為S＝(x－x2)dx ＝＝.] 5.dx＝________. 　[dx表示曲線y＝與直線x＝－1，x＝1及x軸圍成的曲邊梯形的面積，故dx＝.] 定積分的計算 1．(2019·玉溪模擬)計算dx的值為(　　) A.　　　　　　　 B．＋ln 2 C.＋ln 2 D．3＋ln 2 B　[dx＝＝2＋ln 2－＝＋ln 2.故選 B．] 2．(2018·

6、吉林三模)|x－1|dx＝(　　) A．1 B．2 C．3 D． D　[|x－1|dx＝(1－x)dx＝＝1－＝.] 3．設f(x)＝則f(x)dx等于(　　) A. B． C. D．不存在 C　[如圖， f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx ＝x3＋ ＝＋＝.] 4.(sin x－cos x)dx＝________. 2　[(sin x－cos x)dx＝(-cos x-sin x)|＝1+1＝2.] [規(guī)律方法]　1.運用微積分基本定理求定積分時要注意以下幾點 (1)對被積函數(shù)要先化簡，再求積分． (2)求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，

7、依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，分段積分再求和． (3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要先去掉絕對值符號，再求積分． (4)注意用“F′(x)＝f(x)”檢驗積分的對錯． 2．根據(jù)定積分的幾何意義，可利用面積求定積分． 定積分的幾何意義 【例1】　(1)(2019·皖南八校聯(lián)考)用min{a，b}表示a，b兩個數(shù)中的最小值，設f(x)＝min，則由函數(shù)f(x)的圖像，x軸與直線x＝和直線x＝2所圍成的封閉圖形的面積為________． (2)(2019·黃山模擬)已知曲線y＝x2與直線y＝kx(k＞0)所圍成的曲邊圖形的面積為，則k＝________. (1)＋ln 2　(2)

8、2[(1)由題意，圍成的封閉圖形如圖中陰影部分， 由題意，S＝dx＋dx＝x1＋ln x ＝＋ln 2＝＋ln 2，故答案為＋ln 2. (2)由得或 則曲線y＝x2與直線y＝kx(k＞0)所圍成的曲邊梯形的面積為(kx－x2)dx＝|＝－k3＝， 即k3＝8，所以k＝2.] [規(guī)律方法]　利用定積分求平面圖形面積的步驟 (1)根據(jù)題意畫出圖形. (2)借助圖形確定被積函數(shù)，求交點坐標，確定積分的上、下限. (3)把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和. (4)計算定積分，寫出答案. 易錯警示：利用定積分求曲邊圖形面積時，一定要找準積分上限、下限及被積函數(shù).當圖形的邊界不

9、同時，要分不同情況討論. (1)曲線y＝－x＋2，y＝與x軸所圍成的面積為________． (2)如圖所示，由拋物線y＝－x2＋4x－3及其在點A(0，－3)和點B(3,0)處的切線所圍成圖形的面積為________． (1)　(2)　[(1)如圖所示，由y＝及y＝－x＋2可得交點橫坐標為x＝1.由定積分的幾何意義可知，由y＝，y＝－x＋2及x軸所圍成的封閉圖形的面積為 dx＋(－x＋2)dx＝ x|＋|＝. (2)由y＝－x2＋4x－3，得y′＝－2x＋4， ∴y′|x＝0＝4，y′|x＝3＝－2， ∴拋物線在A點處的切線方程為y＝4x－3， 在B點處的切線方程為y＝－

10、2x＋6， 聯(lián)立方程解得 ∴兩切線交點的橫坐標為， 定積分在物理中的應用 【例2】　(1)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)＝7－3t＋(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止．在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位：m)是(　　) A．1＋25ln 5　　　　　　 B．8＋25ln C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2 (2)(2019·渭南模擬)一物體在變力F(x)＝5－x2(力單位：N，位移單位：m)作用下，沿與F(x)成30°方向作直線運動，則由x＝1運動到x＝2時，F(xiàn)(x)做的功為(　　) A. J B． J

11、C. J D．2 J (1)C　(2)C　[(1)由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽車從剎車到停止一共行駛了4 s，此期間行駛的距離為v(t)dt＝dt＝ |＝4＋25ln 5. (2)變力F在位移方向上的分力為Fcos 30°，故F(x)做的功為W＝(5－x2)cos 30°dx＝(5－x2)dx＝5x－x3＝.] [規(guī)律方法]　定積分在物理中的兩個應用 (1)求物體變速直線運動的路程，如果變速直線運動物體的速度為v＝v(t)，那么從時刻t＝a到t＝b所經(jīng)過的路程s＝v(t)dt. (2)變力做功，一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同方向從x＝a運動到

12、x＝b時，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx. 物體A以速度v＝3t2＋1(t的單位：s，v的單位：m/s)在一直線上運動，在此直線上與物體A出發(fā)的同時，物體B在物體A的正前方5 m處以v＝10t(t的單位：s，v的單位：m/s)的速度與A同向運動，當兩物體相遇時，相遇地與物體A的出發(fā)地的距離是________m. 130　[設A追上B時，所用的時間為t0，則SA＝SB＋5，即∫t00(3t2＋1)dt＝∫t00(10t)dt＋5， ∴(t3＋t)t00＝5t＋5 ∴t＋t0＝5(t＋1) 即t0＝5， ∴SA＝5t＋5＝5×52＋5＝130(m)．] - 7 -