2019版高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何初步 第6節(jié) 空間向量及其運算學案 北師大版

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1、第6節(jié)空間向量及其運算最新考綱1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示；2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示；3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.知 識 梳 理1.空間向量的有關概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個平面的向量2.空間向量中的有關定理(1)共線向量定理空間兩個向量a與b(b0)共線的充要條件是存在實數(shù)，使得ab.(2)共面向量

2、定理共面向量定理的向量表達式：pxayb，其中x，yR，a，b為不共線向量，推論的表達式為xy或?qū)臻g任意一點O，有xy或xyz，其中xyz1.(3)空間向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空間三個不共面的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實數(shù)1，2，3，使得a1e12e23e3.空間中不共面的三個向量e1，e2，e3叫作這個空間的一個基底.3.空間向量的數(shù)量積及運算律(1)數(shù)量積及相關概念兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作a，b，則AOB叫作向量a與b的夾角，記作a，b，其范圍是0，若a，b，則稱a與b互相垂直，記作ab.非零向量a，b的數(shù)量積ab|a|b|c

3、osa，b.(2)空間向量數(shù)量積的運算律：結(jié)合律：(a)b(ab)；交換律：abba；分配律：a(bc)abac.4.空間向量的坐標表示及其應用設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐標表示數(shù)量積aba1b1a2b2a3b3共線ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夾角a，b(a0，b0)cosa，b常用結(jié)論與微點提醒1.在平面中A，B，C三點共線的充要條件是：xy(其中xy1)，O為平面內(nèi)任意一點.2.在空間中P，A，B，C四點共面的充要條件是：xyz(其中xyz1)，O為空間任意一點.3.向量的數(shù)量積滿足交

4、換律、分配律，即abba，a(bc)abac成立，但不滿足結(jié)合律，即(ab)ca(bc)不一定成立.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面.()(2)對任意兩個空間向量a，b，若ab0，則ab.()(3)若a，b，c是空間的一個基底，則a，b，c中至多有一個零向量.()(4)若ab0，則a，b是鈍角.()解析對于(2)，因為0與任何向量數(shù)量積為0，所以(2)不正確；對于(3)，若a，b，c中有一個是0，則a，b，c共面，所以(3)不正確；對于(4)，若a，b，則ab0，故(4)不正確.答案(1)(2)(3)(4)2.若a，b，c為空間的一組基底，

5、則下列各項中，能構(gòu)成基底的一組向量是()A.a，ab，ab B.b，ab，abC.c，ab，ab D.ab，ab，a2b解析若c，ab，ab共面，則c(ab)m(ab)(m)a(m)b，則a，b，c為共面向量，此與a，b，c為空間向量的一組基底矛盾，故c，ab，ab可構(gòu)成空間向量的一組基底.答案C3.如圖所示，在四面體OABC中，a，b，c，D為BC的中點，E為AD的中點，則_(用a，b，c表示).解析aa()aa()abc.答案abc4.（2018宜春月考）已知a(2，3，1)，b(4，2，x)，且ab，則|b|_.解析ab2(4)321x0，x2，|b|2.答案25.已知a(cos ，1，

6、sin )，b(sin ，1，cos )，則向量ab與ab的夾角是_.解析ab(cos sin ，2，cos sin )，ab(cos sin ，0，sin cos )，(ab)(ab)(cos2sin2)(sin2cos2)0，(ab)(ab)，則ab與ab的夾角是.答案考點一空間向量的線性運算【例1】 如圖所示，在簡單幾何體ABCDA1B1C1D1中，各面為平行四邊形，設a，b，c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2).解(1)因為P是C1D1的中點，所以aacacb.(2)因為M是AA1的中點，所以aabc.又ca，所以abc.規(guī)律方

7、法1.選定空間不共面的三個向量作基向量，這是用向量解決立體幾何問題的基本要求.用已知基向量表示指定向量時，應結(jié)合已知和所求向量觀察圖形，將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則進行運算.2.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量，我們把這個法則稱為向量加法的多邊形法則.提醒空間向量的坐標運算類似于平面向量中的坐標運算.【訓練1】 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC的中點.(1)化簡：_.(2)用，表示，則_.解析(1)().(2)因為()，所以().答案(1)(2)考點二共線、共面向量定理的應用【例2】 已

8、知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，用向量方法求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)BD平面EFGH.證明(1)連接BG，則()，由共面向量定理知E，F(xiàn)，G，H四點共面.(2)因為()，因為E，H，B，D四點不共線，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.規(guī)律方法1.證明空間三點P，A，B共線的方法(1)(R)；(2)對空間任一點O，xy(xy1).2.證明空間四點P，M，A，B共面的方法(1)xy；(2)對空間任一點O，xyz(xyz1)；(3)(或或).【訓練2】 已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O

9、，若點M滿足().(1)判斷，三個向量是否共面；(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi).解(1)由已知3，()().即，共面.(2)由(1)知，共面且過同一點M.四點M，A，B，C共面，從而點M在平面ABC內(nèi).考點三空間向量數(shù)量積及應用(典例遷移)【例3】 (經(jīng)典母題)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點，計算：(1)；(2)；解設a，b，c.則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)ca，a，bc，(a)a2ac，(2)()()()()(ca).【遷移探究1】 本例的條件不變，求證：EGAB.證明由例3知()(bca)，所以(

10、abaca2)0.故，即EGAB.【遷移探究2】 本例的條件不變，求EG的長.解由例3知abc，|2a2b2c2abbcca，則|，即EG的長為.【遷移探究3】 本例的條件不變，求異面直線AG和CE所成角的余弦值.解由例3知bc，ba，cos，由于異面直線所成角的范圍是，所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為.規(guī)律方法1.利用數(shù)量積解決問題的兩條途徑：一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計算；二是利用坐標運算.2.空間向量的數(shù)量積可解決有關垂直、夾角、長度問題.(1)a0，b0，abab0；(2)|a|；(3)cosa，b.【訓練3】 如圖所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面為平行四

11、邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60.(1)求AC1的長；(2)求證：AC1BD；(3)求BD1與AC夾角的余弦值.(1)解記a，b，c，則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|1|，即AC1的長為.(2)證明abc，ba，(abc)(ba)ab|b|2bc|a|2abacbcac|b|c|cos 60|a|c|cos 600.，AC1BD.(3)解bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1.cos，.AC與BD1夾角的余弦值為.基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.已知a

12、(2，1，3)，b(1，2，1)，若a(ab)，則實數(shù)的值為()A.2 B. C. D.2解析由題意知a(ab)0，即a2ab0，所以1470，解得2.答案D2.在空間直角坐標系中，已知A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，則直線AB與CD的位置關系是()A.垂直 B.平行C.異面 D.相交但不垂直解析由題意得，(3，3，3)，(1，1，1)，所以3，所以與共線，又AB與CD沒有公共點，所以ABCD.答案B3.如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點.若a，b，1c，則下列向量中與相等的向量是()A.abc B.abcC.

13、abc D.abc解析11()c(ba)abc.答案A4.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則的值為()A.a2 B.a2C.a2 D.a2解析如圖，設a，b，c，則|a|b|c|a，且a，b，c三向量兩兩夾角為60.(ab)，c，(ab)c(acbc)(a2cos 60a2cos 60)a2.答案C5.如圖，在空間四邊形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，則OA與BC所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析因為，所以|cos，|cos，84cos 13586cos 1201624.所以cos，.即OA與BC

14、所成角的余弦值為.答案A二、填空題6.(2018鄭州調(diào)研)已知a(2，1，3)，b(1，2，3)，c(7，6，)，若a，b，c三向量共面，則等于_.解析由題意知cxayb，即(7，6，)x(2，1，3)y(1，2，3)，解得9.答案97.正四面體ABCD的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD中點，則EF的長為_.解析|2()22222()1222122(12cos 120021cos 120)2，|，EF的長為.答案8.(2018南昌調(diào)研)已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別是OA，BC的中點，點G在線段MN上，且2，現(xiàn)用基底，表示向量，有xyz，則x，y，z的值分別為_.解析

15、()，x，y，z.答案，三、解答題9.已知空間中三點A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，設a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值.解(1)c，(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，cmm(2，1，2)(2m，m，2m)，|c|3|m|3，m1.c(2，1，2)或(2，1，2).(2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，ab(1，1，0)(1，0，2)1，又|a|，|b|，cosa，b，故向量a與向量b的夾角的余弦值為.10.如圖，在棱長為a的正方體OABCO1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點，且AEBFx，其中0x

16、a，以O為原點建立空間直角坐標系Oxyz.(1)寫出點E，F(xiàn)的坐標；(2)求證：A1FC1E；(3)若A1，E，F(xiàn)，C1四點共面，求證：.(1)解E(a，x，0)，F(xiàn)(ax，a，0).(2)證明A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，axa(xa)a20，A1FC1E.(3)證明A1，E，F(xiàn)，C1四點共面，共面.選與為在平面A1C1E上的一組基向量，則存在唯一實數(shù)對(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.有下列命題：若pxayb，則p與a，b共面；

17、若p與a，b共面，則pxayb；若xy，則P，M，A，B共面；若P，M，A，B共面，則xy.其中真命題的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4解析正確；中若a，b共線，p與a不共線，則pxayb就不成立；正確；中若M，A，B共線，點P不在此直線上，則xy不正確.答案B12.已知V為矩形ABCD所在平面外一點，且VAVBVCVD，.則VA與平面PMN的位置關系是_.解析如圖，設a，b，c，則acb，由題意知bc，abc.因此，共面.又VA平面PMN，VA平面PMN.答案平行13.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，a，b，c，點M，N分別是A1D，B1D1的中點.(1)試用a，b，c表示；(2)求證：MN平面ABB1A1.(1)解ca，(ca).同理，(bc)，(bc)(ca)(ba)ab.(2)證明ab，即MNAB1，AB1平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，MN平面ABB1A1.14