《2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第5節(jié) 垂直關(guān)系學(xué)案 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第5節(jié) 垂直關(guān)系學(xué)案 北師大版（17頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第5節(jié)垂直關(guān)系最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.知 識(shí) 梳 理1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直l性質(zhì)定理 如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行ab2.直線和平面所成的角(1)定義：一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫作這條直線和這個(gè)平面所成
2、的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0的角.(2)范圍：.3.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角；(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角.(3)二面角的范圍：0，.4.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直
3、，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面l常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.兩個(gè)重要結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法).2.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就垂直于這個(gè)平面”.3.線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化診 斷 自 測1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l.()(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.()(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)
4、平面.()(4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則.()解析(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)或l與斜交或l或l，故(1)錯(cuò)誤.(2)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交，故(2)錯(cuò)誤.(3)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故(3)錯(cuò)誤.(4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，則，故(4)錯(cuò)誤.答案(1)(2)(3)(4)2.(教材習(xí)題改編)下列命題中不正確的是()A.如果平面平面，且直線l平面，則直線l平面B.如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面C.如果平面不垂
5、直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面D.如果平面平面，平面平面，l，那么l解析根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，A不正確，直線l平面或l或直線l與相交.答案A3.(2018湖南六校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m的是()A.且m B.mn且nC.mn且n D.mn且解析由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知C正確.答案C4.(2017全國卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()A.A1EDC1 B.A1EBDC.A1EBC1 D.A1EAC解析如圖，由題設(shè)知，A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，從而A
6、1B1BC1.又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.答案C5.邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則折疊后AC的長為_.解析如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO，則AOC是二面角ABDC的平面角，即AOC90.又AOCOa，ACa，即折疊后AC的長(AC)為a.答案a考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)【例1】 如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點(diǎn).證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.證明(1)在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，CD
7、平面ABCD，PACD，又ACCD，且PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中點(diǎn)，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.又PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，又PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.規(guī)律方法1.證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；(3)面面平行的性質(zhì)(a，a)；(4)面面垂直的性質(zhì)(，a，la，ll).2.證明線面垂直的核心是證線線垂直
8、，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.【訓(xùn)練1】 如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且ADDB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BCAC，PD平面ABC，PDDB.求證：PACD.證明因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以ACCB.在RtABC中，由ACBC得，ABC30.設(shè)AD1，由3ADDB得，DB3，BC2.由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcos 303，所以CD2DB2BC2，即CDAB.因?yàn)镻D平面ABC，CD平面ABC，所以PDCD，由PDABD得，CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD.考點(diǎn)二面面垂直的判定
9、與性質(zhì)【例2】 如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.證明(1)平面PAD底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，PA平面PAD，PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E為CD的中點(diǎn)，ABDE，且ABDE.四邊形ABED為平行四邊形.BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，而且ABED為平行四邊形.BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，且PA
10、ADA，PA，AD平面PAD，CD平面PAD，又PD平面PAD，CDPD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，PDEF.CDEF，又BECD且EFBEE，CD平面BEF，又CD平面PCD，平面BEF平面PCD.規(guī)律方法1.證明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理.2.已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.【訓(xùn)練2】 (2017北京卷)如圖，在三棱錐PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).(1)求證：PABD；(2)求證：平面BDE平面PA
11、C；(3)當(dāng)PA平面BDE時(shí)，求三棱錐EBCD的體積.(1)證明PAAB，PABC，AB平面ABC，BC平面ABC，且ABBCB，PA平面ABC，又BD平面ABC，PABD.(2)證明ABBC，D是AC的中點(diǎn)，BDAC.由(1)知PA平面ABC，PA平面PAC，平面PAC平面ABC.平面PAC平面ABCAC，BD平面ABC，BDAC，BD平面PAC.BD平面BDE，平面BDE平面PAC，(3)解PA平面BDE，又平面BDE平面PACDE，PA平面PAC，PADE.由(1)知PA平面ABC，DE平面ABC.D是AC的中點(diǎn)，E為PC的中點(diǎn)，DEPA1.D是AC的中點(diǎn)，SBCDSABC221，VEB
12、CDSBCDDE11.考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問題(多維探究)命題角度1多面體中平行與垂直關(guān)系的證明【例31】 (2017山東卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E平面ABCD.(1)證明：A1O平面B1CD1；(2)設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM平面B1CD1.證明(1)取B1D1的中點(diǎn)O1，連接CO1，A1O1，由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1OC，A1O1OC，因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1OO1C，又O1C平面B1CD1，A1O平面B1C
13、D1，所以A1O平面B1CD1.(2)因?yàn)锳CBD，E，M分別為AD和OD的中點(diǎn)，所以EMBD，又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD，因?yàn)锽1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1，又A1E，EM平面A1EM，A1EEME，所以B1D1平面A1EM，又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM平面B1CD1.規(guī)律方法1.三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.2.垂直與平行的結(jié)合問題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.命題角度2平行垂直中探索性問題【例32】 如圖所示，平面ABCD平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BCCE，點(diǎn)F為C
14、E的中點(diǎn).(1)證明：AE平面BDF.(2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PMBE？若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由.(1)證明連接AC交BD于O，連接OF，如圖.四邊形ABCD是矩形，O為AC的中點(diǎn)，又F為EC的中點(diǎn)，OF為ACE的中位線，OFAE，又OF平面BDF，AE平面BDF，AE平面BDF.(2)解當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PMBE，證明如下：取BE中點(diǎn)H，連接DP，PH，CH.P為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，PHAB，又ABCD，PHCD，P，H，C，D四點(diǎn)共面.平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，CD平面ABCD，CDBC.
15、CD平面BCE，又BE平面BCE，CDBE，BCCE，H為BE的中點(diǎn)，CHBE，又CDCHC，BE平面DPHC，又PM平面DPHC，BEPM，即PMBE.規(guī)律方法1.求條件探索性問題的主要途徑：(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；(2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.2.涉及點(diǎn)的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn).命題角度3空間位置關(guān)系與幾何體的度量計(jì)算【例33】 (2017天津卷)如圖，在四棱錐PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，
16、PD2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值；(2)求證：PD平面PBC；(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.(1)解如圖，由已知ADBC，故DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角.因?yàn)锳D平面PDC，PD平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，由已知，得AP，故cosDAP.所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為.(2)證明由(1)知ADPD，又因?yàn)锽CAD，所以PDBC.又PDPB，BCPBB，所以PD平面PBC.(3)解過點(diǎn)D作DFAB，交BC于點(diǎn)F，連接PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.因PD平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影
17、，所以DFP為直線DF和平面PBC所成的角.由于ADBC，DFAB，故BFAD1.由已知，得CFBCBF2.又ADDC，故BCDC.在RtDCF中，可得DF2.在RtDPF中，可得sinDFP.所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.規(guī)律方法1.本題證明的關(guān)鍵是垂直與平行的轉(zhuǎn)化，如由ADBC，ADPD，得PDBC，進(jìn)而利用線面垂直的判定定理證明PD平面PBC.2.利用綜合法求空間線線角、線面角、二面角一定注意“作角、證明、計(jì)算”是完整統(tǒng)一過程，缺一不可.(1)線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角來度量.平
18、面角的作法常見的有：定義法；垂面法.注意利用等腰、等邊三角形的性質(zhì).【訓(xùn)練3】（2018延安調(diào)研）如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別在線段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB.(1)證明：PEFG.(2)求二面角PADC的正切值.(3)求直線PA與直線FG所成角的余弦值.(1)證明因?yàn)镻DPC且點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，所以PEDC.又平面PDC平面ABCD，且平面PDC平面ABCDCD，PE平面PDC，所以PE平面ABCD，又FG平面ABCD，所以PEFG.(2)解由(1)知PE平面ABCD，PEAD，又ADCD
19、，PECDE，AD平面PDC，ADPD，PDC為二面角PADC的平面角，在RtPDE中，PD4，DE3，PE，tanPDC.故二面角PADC的正切值為.(3)解如圖，連接AC，AF2FB，CG2GB，ACFG.直線PA與FG所成角即直線PA與AC所成角PAC.在RtPDA中，PA2AD2PD225，PA5.又PC4.AC2CD2AD236945，AC3.又cosPAC.所以直線PA與直線FG所成角的余弦值為.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直線l，若直線m，n滿足m，n，則()A.ml B.mn C.nl D.mn解析因?yàn)閘，所以l，又
20、n，所以nl.答案C2.(2018福州質(zhì)檢)若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面，則“l(fā)m”是“l(fā)”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析m，若l，則必有l(wèi)m，即llm.但lml，lm時(shí)，l可能在內(nèi).故“l(fā)m”是“l(fā)”的必要而不充分條件.答案B3.(2018衡水中學(xué)質(zhì)檢)如圖，在四面體ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影H必在()A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.ABC內(nèi)部解析因ABAC，BDAC，ABBDB，所以AC平面ABD.又AC平面ABC，所以平面ABC平面ABD.所以D在平面ABC內(nèi)的射
21、影必在交線AB上.答案A4.(2018廣州一模)設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A.若，m，n，則mnB.若m，mn，n，則C.若mn，m，n，則D.若，m，n，則mn解析若，m，n，則m與n相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；m，mn，n，又n，故B正確；若mn，m，n，則與的位置關(guān)系不確定，故C錯(cuò)誤；若，m，n，則mn或m，n異面，故D錯(cuò)誤.答案B5.如圖，在三棱錐DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中點(diǎn)，則下列正確的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BDCC.平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED.平面ABC平面ADC，且平面ADC
22、平面BDE解析因?yàn)锳BCB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BEAC，同理有DEAC，又BEDEE，于是AC平面BDE.因?yàn)锳C平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.答案C二、填空題6.如圖，已知PA平面ABC，BCAC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_.解析PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，則PAB，PAC為直角三角形.由BCAC，且ACPAA，BC平面PAC，從而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角形.答案47.如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足_時(shí)，平面
23、MBD平面PCD(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可).解析由定理可知，BDPC.當(dāng)DMPC(或BMPC)時(shí)，有PC平面MBD.又PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案DMPC(或BMPC等)8.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為_.解析連接A1C1，則AC1A1為AC1與平面A1B1C1D1所成的角.因?yàn)锳BBC2，所以A1C1AC2，又AA11，所以AC13，所以sinAC1A1.答案三、解答題9.(2016北京卷)如圖，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求證：DC平面PAC；(2
24、)求證：平面PAB平面PAC；(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA平面CEF？說明理由.(1)證明因?yàn)镻C平面ABCD，DC平面ABCD，所以PCDC.又因?yàn)锳CDC，且PCACC，所以DC平面PAC.(2)證明因?yàn)锳BCD，DCAC，所以ABAC.因?yàn)镻C平面ABCD，AB平面ABCD，所以PCAB.又因?yàn)镻CACC，所以AB平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在點(diǎn)F，使得PA平面CEF.理由如下：取PB的中點(diǎn)F，連接EF，CE，CF，又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以EFPA.又因?yàn)镻A平面CEF，且EF平面CEF，所以PA平面CEF.1
25、0.(2018九江調(diào)研)如圖，在長方形ABCD中，AB2，BC1，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE將三角形ADE向上折起，在折起的圖形中解答下列問題：(1)在線段AB上是否存在一點(diǎn)K，使BC平面DFK？若存在，請證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由；(2)若平面ADE平面ABCE，求證：平面BDE平面ADE.(1)解如圖，線段AB上存在一點(diǎn)K，且當(dāng)AKAB時(shí)，BC平面DFK.證明如下：設(shè)H為AB的中點(diǎn)，連接EH，則BCEH.AKAB，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，KFEH，KFBC，KF平面DFK，BC平面DFK，BC平面DFK.(2)證明在折起前的圖形中E為CD的中點(diǎn)，AB2，BC1，在折起后的圖
26、形中，AEBE，從而AE2BE24AB2，AEBE.平面ADE平面ABCE，平面ADE平面ABCEAE，BE平面ABCE，BE平面ADE，BE平面BDE，平面BDE平面ADE.能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.(2018唐山一模)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么在這個(gè)空間圖形中必有()A.AG平面EFH B.AH平面EFHC.HF平面AEF D.HG平面AEF解析根據(jù)折疊前、后AHHE，AHHF不變，又HEHFH，AH平面EFH，B正確.過A只有一條直線
27、與平面EFH垂直，A不正確.AGEF，EFGH，AGGHG，EF平面HAG，又EF平面AEF，平面HAG平面AEF，過H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，C不正確.由條件證不出HG平面AEF，D不正確.答案B12.如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，將ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成三棱錐ABCD，則在三棱錐ABCD中，下列命題正確的命題序號(hào)是_.平面ABD平面ABC；平面ADC平面BDC；平面ABC平面BDC；平面ADC平面ABC.解析因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以BDCD，又平面ABD平面B
28、CD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，所以CD平面ABD，又AB平面ABD，則CDAB，又ADAB，ADCDD，所以AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC.答案13.如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點(diǎn).(1)求PB和平面PAD所成的角的大?。?2)證明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值.(1)解在四棱錐PABCD中，因?yàn)镻A底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，從而AB平面PAD，故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA，從而APB為PB和平面PAD所成的
29、角.在RtPAB中，ABPA，故APB45.所以PB和平面PAD所成的角的大小為45.(2)證明在四棱錐PABCD中，因?yàn)镻A底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由條件CDAC，PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中點(diǎn)，AEPC.又PCCDC，綜上得AE平面PCD.(3)解過點(diǎn)E作EMPD，垂足為M，連接AM，如圖所示.由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，則可證得AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角.由已知，可得CAD30.設(shè)ACa，得PAa，ADa，PDa，AEa.在RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，則AMa.在RtAEM中，sinAME.所以二面角APDC的正弦值為.17
2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第5節(jié) 垂直關(guān)系學(xué)案 北師大版
