2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第5節(jié) 垂直關(guān)系學(xué)案 北師大版

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1、 第5節(jié)　垂直關(guān)系 最新考綱　1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題. 知 識(shí) 梳 理 1.直線與平面垂直 (1)直線和平面垂直的定義 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直. (2)判定定理與性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 圖形表示 符號(hào)表示 判定定理 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直 ?l⊥α 性質(zhì)定理 如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行 ?a∥b

2、 2.直線和平面所成的角 (1)定義：一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫作這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角. (2)范圍：. 3.二面角 (1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角； (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角. (3)二面角的范圍：[0，π]. 4.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.

3、 (2)判定定理與性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 圖形表示 符號(hào)表示 判定定理 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直 ?α⊥β 性質(zhì)定理 如果兩個(gè)平面互相垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面 ?l⊥α [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1.兩個(gè)重要結(jié)論 (1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面. (2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法). 2.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，就垂直于這個(gè)平面”.

4、 3.線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化 診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(　　) (2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.(　　) (3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.(　　) (4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則α⊥β.(　　) 解析　(1)直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)⊥α或l與α斜交或lα或l∥α，故(1)錯(cuò)誤. (2)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交，故(2)錯(cuò)誤. (3)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平

5、面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故(3)錯(cuò)誤. (4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的所有直線，則α⊥β，故(4)錯(cuò)誤. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.(教材習(xí)題改編)下列命題中不正確的是(　　) A.如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面β B.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β C.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β D.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ 解析　根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，A不正確，直線l∥平面β或lβ或直線l與β

6、相交. 答案　A 3.(2018·湖南六校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是(　　) A.α⊥β且mα B.m⊥n且n∥β C.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β 解析　由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知C正確. 答案　C 4.(2017·全國(guó)Ⅲ卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則(　　) A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC 解析　如圖，由題設(shè)知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，從而A

7、1B1⊥BC1. 又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1. 答案　C 5.邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，則折疊后AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______. 解析　如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連接A′O，CO，則∠A′OC是二面角A′－BD－C的平面角， 即∠A′OC＝90°. 又A′O＝CO＝a， ∴A′C＝＝a，即折疊后AC的長(zhǎng)(A′C)為a. 答案　a 考點(diǎn)一　線面垂直的判定與性質(zhì) 【例1】 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°

8、，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn).證明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 證明　(1)在四棱錐P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD， ∴PA⊥CD， 又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC.又AE平面PAC， ∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD.又PD平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，

9、∴AB⊥平面PAD，又PD平面PAD， ∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. 規(guī)律方法　1.證明直線和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，lβ?l⊥α). 2.證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想. 【訓(xùn)練1】 如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD＝DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC＝AC，PD⊥

10、平面ABC，PD＝DB. 求證：PA⊥CD. 證明　因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥CB. 在Rt△ABC中，由AC＝BC得，∠ABC＝30°. 設(shè)AD＝1，由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝2. 由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3， 所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB. 因?yàn)镻D⊥平面ABC，CD平面ABC， 所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D得，CD⊥平面PAB， 又PA平面PAB，所以PA⊥CD. 考點(diǎn)二　面面垂直的判定與性質(zhì) 【例2】 如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABC

11、D，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 證明　(1)∵平面PAD⊥底面ABCD， 且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，PA平面PAD， ∴PA⊥底面ABCD. (2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)， ∴AB∥DE，且AB＝DE. ∴四邊形ABED為平行四邊形. ∴BE∥AD. 又∵BE平面PAD，AD平面PAD， ∴BE∥平面PAD. (3)∵AB⊥AD，而且ABED為平行四邊形. ∴BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知PA⊥底面ABCD，CD平面

12、ABCD， ∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD， ∴CD⊥平面PAD，又PD平面PAD， ∴CD⊥PD. ∵E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)， ∴PD∥EF. ∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E， ∴CD⊥平面BEF，又CD平面PCD， ∴平面BEF⊥平面PCD. 規(guī)律方法　1.證明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理. 2.已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直. 【訓(xùn)練2】 (2017·北京卷)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA

13、⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn). (1)求證：PA⊥BD； (2)求證：平面BDE⊥平面PAC； (3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，求三棱錐E－BCD的體積. (1)證明　∵PA⊥AB，PA⊥BC， AB平面ABC，BC平面ABC，且AB∩BC＝B， ∴PA⊥平面ABC，又BD平面ABC，∴PA⊥BD. (2)證明　∵AB＝BC，D是AC的中點(diǎn)， ∴BD⊥AC. 由(1)知PA⊥平面ABC，∵PA平面PAC， ∴平面PAC⊥平面ABC. ∵平面PAC∩平面ABC＝AC，BD平面ABC，BD⊥AC， ∴BD⊥平面PAC

14、. ∵BD平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC， (3)解　∵PA∥平面BDE， 又平面BDE∩平面PAC＝DE，PA平面PAC， ∴PA∥DE. 由(1)知PA⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC. ∵D是AC的中點(diǎn)，∴E為PC的中點(diǎn)， ∴DE＝PA＝1. ∵D是AC的中點(diǎn)， ∴S△BCD＝S△ABC＝××2×2＝1， ∴VE－BCD＝×S△BCD×DE＝×1×1＝. 考點(diǎn)三　平行與垂直的綜合問(wèn)題(多維探究) 命題角度1　多面體中平行與垂直關(guān)系的證明 【例3－1】 (2017·山東卷)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱錐C1－B1CD1后得到的幾何體如圖所示

15、.四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E⊥平面ABCD. (1)證明：A1O∥平面B1CD1； (2)設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1. 證明　(1)取B1D1的中點(diǎn)O1，連接CO1，A1O1， 由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱， 所以A1O1∥OC，A1O1＝OC， 因此四邊形A1OCO1為平行四邊形， 所以A1O∥O1C， 又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1， 所以A1O∥平面B1CD1. (2)因?yàn)锳C⊥BD，E，M分別為AD和OD的中點(diǎn)， 所以EM⊥BD， 又A1E⊥平面ABCD，BD平

16、面ABCD， 所以A1E⊥BD， 因?yàn)锽1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1， 又A1E，EM平面A1EM，A1E∩EM＝E， 所以B1D1⊥平面A1EM， 又B1D1平面B1CD1， 所以平面A1EM⊥平面B1CD1. 規(guī)律方法　1.三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化. 2.垂直與平行的結(jié)合問(wèn)題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用. 命題角度2　平行垂直中探索性問(wèn)題 【例3－2】 如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn). (1)證明：AE∥平面BDF. (2)

17、點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PM⊥BE？若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. (1)證明　連接AC交BD于O，連接OF，如圖①. ∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC的中點(diǎn)， 又F為EC的中點(diǎn)， ∴OF為△ACE的中位線， ∴OF∥AE， 又OF平面BDF，AE平面BDF，∴AE∥平面BDF. (2)解　當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PM⊥BE， 證明如下：取BE中點(diǎn)H，連接DP，PH，CH. ∵P為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)， ∴PH∥AB， 又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四點(diǎn)共面. ∵平面ABCD⊥平面BCE，平面

18、ABCD∩平面BCE＝BC，CD平面ABCD，CD⊥BC. ∴CD⊥平面BCE， 又BE平面BCE，∴CD⊥BE， ∵BC＝CE，H為BE的中點(diǎn)，∴CH⊥BE， 又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC， 又PM平面DPHC， ∴BE⊥PM，即PM⊥BE. 規(guī)律方法　1.求條件探索性問(wèn)題的主要途徑：(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；(2)先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性. 2.涉及點(diǎn)的位置探索性問(wèn)題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問(wèn)題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn). 命題角度3　空間位置關(guān)系與

19、幾何體的度量計(jì)算 【例3－3】 (2017·天津卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2. (1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值； (2)求證：PD⊥平面PBC； (3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值. (1)解　如圖，由已知AD∥BC，故∠DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角. 因?yàn)锳D⊥平面PDC，PD平面PDC， 所以AD⊥PD. 在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝， 故cos∠DAP＝＝. 所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為. (2)證明　由(1)知AD⊥PD

20、， 又因?yàn)锽C∥AD，所以PD⊥BC. 又PD⊥PB，BC∩PB＝B， 所以PD⊥平面PBC. (3)解　過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于點(diǎn)F，連接PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角. 因PD⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角. 由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1. 由已知，得CF＝BC－BF＝2. 又AD⊥DC，故BC⊥DC. 在Rt△DCF中，可得DF＝＝2. 在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝. 所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為. 規(guī)律方法　1.本題證明的關(guān)鍵是垂

21、直與平行的轉(zhuǎn)化，如由AD∥BC，AD⊥PD，得PD⊥BC，進(jìn)而利用線面垂直的判定定理證明PD⊥平面PBC. 2.利用綜合法求空間線線角、線面角、二面角一定注意“作角、證明、計(jì)算”是完整統(tǒng)一過(guò)程，缺一不可. (1)線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解. (2)二面角的大小用它的平面角來(lái)度量.平面角的作法常見(jiàn)的有：①定義法；②垂面法.注意利用等腰、等邊三角形的性質(zhì). 【訓(xùn)練3】（2018·延安調(diào)研）如圖，三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別在線段AB

22、，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB. (1)證明：PE⊥FG. (2)求二面角P－AD－C的正切值. (3)求直線PA與直線FG所成角的余弦值. (1)證明　因?yàn)镻D＝PC且點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)， 所以PE⊥DC. 又平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE平面PDC，所以PE⊥平面ABCD， 又FG平面ABCD，所以PE⊥FG. (2)解　由(1)知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD， 又AD⊥CD，PE∩CD＝E， ∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PD， ∴∠PDC為二面角P－AD－C的平面角， 在Rt△PDE中，PD＝4，DE＝3， ∴PE

23、＝＝，∴tan∠PDC＝＝. 故二面角P－AD－C的正切值為. (3)解　如圖，連接AC，∵AF＝2FB，CG＝2GB，∴AC∥FG. ∴直線PA與FG所成角即直線PA與AC所成角∠PAC. 在Rt△PDA中，PA2＝AD2＋PD2＝25，∴PA＝5. 又PC＝4. AC2＝CD2＋AD2＝36＋9＝45，∴AC＝3. 又cos∠PAC＝＝＝. 所以直線PA與直線FG所成角的余弦值為. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(　　) A.m∥l B.m∥n

24、 C.n⊥l D.m⊥n 解析　因?yàn)棣痢搔拢絣，所以lβ，又n⊥β，所以n⊥l. 答案　C 2.(2018·福州質(zhì)檢)若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面α，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析　∵m⊥α，若l∥α，則必有l(wèi)⊥m，即l∥α?l⊥m. 但l⊥m?l∥α，∵l⊥m時(shí)，l可能在α內(nèi). 故“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的必要而不充分條件. 答案　B 3.(2018·衡水中學(xué)質(zhì)檢)如圖，在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影H

25、必在(　　) A.直線AB上 B.直線BC上 C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部 解析　因AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD. 又AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD. 所以D在平面ABC內(nèi)的射影必在交線AB上. 答案　A 4.(2018·廣州一模)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是(　　) A.若α⊥β，mα，nβ，則m⊥n B.若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β C.若m⊥n，mα，nβ，則α⊥β D.若α∥β，mα，nβ，則m∥n 解析　若α⊥β，mα，nβ，則m與n相交、平行或

26、異面，故A錯(cuò)誤； ∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α， 又∵n∥β，∴α⊥β，故B正確； 若m⊥n，mα，nβ，則α與β的位置關(guān)系不確定，故C錯(cuò)誤； 若α∥β，mα，nβ，則m∥n或m，n異面， 故D錯(cuò)誤. 答案　B 5.如圖，在三棱錐D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列正確的是(　　) A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 解析　因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，又BE∩DE＝E，于是

27、AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE. 又AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE. 答案　C 二、填空題 6.如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 解析　∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形. 由BC⊥AC，且AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAC，從而B(niǎo)C⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形. 答案　4 7.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)

28、，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可). 解析　由定理可知，BD⊥PC. ∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，有PC⊥平面MBD. 又PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 答案　DM⊥PC(或BM⊥PC等) 8.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為_(kāi)_______. 解析　連接A1C1，則∠AC1A1為AC1與平面A1B1C1D1所成的角. 因?yàn)锳B＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2， 又AA1＝1，所以AC1＝3， 所以sin∠AC1A

29、1＝＝. 答案　 三、解答題 9.(2016·北京卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求證：DC⊥平面PAC； (2)求證：平面PAB⊥平面PAC； (3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF？說(shuō)明理由. (1)證明　因?yàn)镻C⊥平面ABCD，DC平面ABCD， 所以PC⊥DC. 又因?yàn)锳C⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC. (2)證明　因?yàn)锳B∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC. 因?yàn)镻C⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PC⊥AB. 又因?yàn)镻C∩AC＝C，所以AB⊥平面

30、PAC. 又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC. (3)解　棱PB上存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF. 理由如下：取PB的中點(diǎn)F，連接EF，CE，CF，又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又因?yàn)镻A平面CEF，且EF平面CEF， 所以PA∥平面CEF. 10.(2018·九江調(diào)研)如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE將三角形ADE向上折起，在折起的圖形中解答下列問(wèn)題： (1)在線段AB上是否存在一點(diǎn)K，使BC∥平面DFK？若存在，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)若平面ADE⊥平面ABCE，求證：平

31、面BDE⊥平面ADE. (1)解　如圖，線段AB上存在一點(diǎn)K，且當(dāng)AK＝AB時(shí)，BC∥平面DFK. 證明如下： 設(shè)H為AB的中點(diǎn)，連接EH，則BC∥EH. ∵AK＝AB，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)， ∴KF∥EH，∴KF∥BC， ∵KF平面DFK，BC平面DFK， ∴BC∥平面DFK. (2)證明　∵在折起前的圖形中E為CD的中點(diǎn)，AB＝2，BC＝1， ∴在折起后的圖形中，AE＝BE＝， 從而AE2＋BE2＝4＝AB2，∴AE⊥BE. ∵平面ADE⊥平面ABCE， 平面ADE∩平面ABCE＝AE，BE平面ABCE， ∴BE⊥平面ADE， ∵BE平面BDE， ∴平面BD

32、E⊥平面ADE. 能力提升題組 (建議用時(shí)：20分鐘) 11.(2018·唐山一模)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么在這個(gè)空間圖形中必有(　　) A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH C.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF 解析　根據(jù)折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF不變，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，B正確. ∵過(guò)A只有一條直線與平面EFH垂直，∴A不正確. ∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面H

33、AG，又EF平面AEF， ∴平面HAG⊥平面AEF，過(guò)H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)， ∴C不正確. 由條件證不出HG⊥平面AEF，∴D不正確. 答案　B 12.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的命題序號(hào)是________. ①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC； ③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC. 解析　因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，AD∥BC，AD＝AB， ∠BCD＝45°

34、，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD， 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD平面BCD， 所以CD⊥平面ABD，又AB平面ABD，則CD⊥AB， 又AD⊥AB，AD∩CD＝D， 所以AB⊥平面ADC，又AB平面ABC， 所以平面ABC⊥平面ADC. 答案　④ 13.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn). (1)求PB和平面PAD所成的角的大??； (2)證明：AE⊥平面PCD； (3)求二面角A－PD－C的正弦值. (1)解　在四棱錐P－ABCD中， 因?yàn)?/p>

35、PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD， 故PA⊥AB. 又AB⊥AD，PA∩AD＝A，從而AB⊥平面PAD， 故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA， 從而∠APB為PB和平面PAD所成的角. 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°. 所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°. (2)證明　在四棱錐P－ABCD中， 因?yàn)镻A⊥底面ABCD，CD平面ABCD， 故CD⊥PA. 由條件CD⊥AC，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. 又AE平面PAC，∴AE⊥CD. 由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC. 又PC∩CD＝C，綜上得AE⊥平面PCD. (3)解　過(guò)點(diǎn)E作EM⊥PD，垂足為M，連接AM，如圖所示. 由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM， 則可證得AM⊥PD. 因此∠AME是二面角A－PD－C的平面角. 由已知，可得∠CAD＝30°. 設(shè)AC＝a，得PA＝a， AD＝a，PD＝a，AE＝a. 在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD， 則AM＝＝＝a. 在Rt△AEM中，sin∠AME＝＝. 所以二面角A－PD－C的正弦值為. 17