2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第8章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 8.1 向量的數(shù)量積 8.1.3 向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算學(xué)案 新人教B版第三冊

《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第8章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 8.1 向量的數(shù)量積 8.1.3 向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算學(xué)案 新人教B版第三冊》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第8章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 8.1 向量的數(shù)量積 8.1.3 向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算學(xué)案 新人教B版第三冊（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、8.1.3　向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.通過平面向量基本定理領(lǐng)會向量的坐標(biāo)表示．(難點) 2.能利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式進行計算．(重點) 1.通過平面向量基本定理掌握下列的坐標(biāo)表示，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)． 2.利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式進行數(shù)量積運算，提升數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 1.向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式 設(shè)平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， (1)數(shù)量積公式：a·b＝x1x2＋y1y2. (2)向量垂直公式：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 思考1：平面向量的坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，分別給定與x軸、

2、y軸正方向相同的單位向量e1，e2，如果對于平面向量a，有a＝xe1＋ye2，則向量a的坐標(biāo)為______，記作______， [提示](x，y)　a＝(x，y)． 2.三個重要公式 (1)向量的模：a2＝x＋y?|a|＝. (2)兩點間的距離公式：設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ||＝. 思考2：(1)若點A(－3,0), B(3,0)，則||＝______. (2)若點A(－3,3), B(3，－5)，則||＝______. [提示](1)6(2)10 (3)向量的夾角公式： cos 〈a，b〉＝＝. 1.已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，則a·b

3、＝(　　) A．5　　 B．4　　　　 C．－2　　　　 D．－1 D　[a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.] 2.(2019·全國卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，則|a－b|＝(　　) A．　　　 B．2 C．5 D．50 A　[∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)， ∴|a－b|＝＝ .故選A．] 3.(2019·全國卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，則cos 〈a，b〉＝________. －　[∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4， |a|＝＝2 ，|b|＝＝

4、10. ∴cos 〈a，b〉＝＝＝－ .] 4．已知a＝(3，x)，|a|＝5，則x＝________. ±4　[|a|＝＝5，∴x2＝16.即x＝±4.] 利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式計算 【例1】(1)已知向量a＝(2,3)，b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，則a·(b＋c)＝________. (2)已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)． [思路探究](1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式進行計算． (2)利用平面向量的數(shù)量積公式、模的坐標(biāo)公式計算． (1)12　[∵b＝(－2,4)，c＝(－1,2)， ∴b＋

5、c＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)．又∵a＝(2,3)， ∴a·(b＋c)＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6＝－6＋18＝12.] (2)[解]　a·b＝1×2＋3×5＝17. 因為3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)， 所以3a－b＝(1,4)， 所以|3a－b|＝＝. 因為a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)， 所以2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， 所以(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8. 1.數(shù)量積坐標(biāo)運算的技巧 (1)進行數(shù)量積運算時，要正確使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能靈活運用以下幾個關(guān)系：

6、 |a|2＝a·a，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. (a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. (2)利用數(shù)量積的條件求平面向量的坐標(biāo)，一般來說應(yīng)當(dāng)先設(shè)出向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)題目中已知的條件找出向量坐標(biāo)滿足的等量關(guān)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算列出方程(組)進行求解． 2.求向量的模的兩種基本策略 (1)字母表示下的運算． 利用|a|2＝a2，將向量的模的運算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題． (2)坐標(biāo)表示下的運算． 若a＝(x，y)，則a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2， 于是有|a|＝. 1.已知O為坐標(biāo)原點，點A(1,0)，B(0,2)，若OC⊥AB于

7、點C，則·(＋)＝________. 　[設(shè)點C的坐標(biāo)為(x，y)，由A(1,0)，B(0,2)，得＝(－1,2)，＝(x－1，y)， 因為OC⊥AB于點C，∴， 即，解得， ∴＝，＋＝(1,2)，所以·(＋)＝.] 2.已知向量a＝(，－1)和b＝(1，)，若a·c＝b·c，試求模為的向量c的坐標(biāo)． [解]　法一：設(shè)c＝(x，y)， 則a·c＝(，－1)·(x，y)＝x－y，b·c＝(1，)·(x，y)＝x＋y， 由a·c＝b·c及|c|＝， 得 解得或 所以c＝或c＝. 法二：由于a·b＝×1＋(－1)×＝0，且|a|＝|b|＝2，從而以a，b為鄰邊的平行四邊形是正

8、方形，且由于a·c＝b·c，所以c與a，b的夾角相等，從而c與正方形的對角線共線．此外，由于|c|＝，即其長度為正方形對角線長度(|b|＝2)的一半，故c＝(a＋b) ＝或c＝－(a＋b) ＝. 向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式與夾角問題 【例2】(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，若a與b垂直，則實數(shù)x的值是(　　) A．4　　 　B．－4　 　　C．1 　　　D．－1 (2)已知平面向量a＝(1,3)，b＝(2，λ)，設(shè)a與b的夾角為θ. ①若θ＝120 °，求λ的值． ②要使θ為銳角，求λ的取值范圍． [思路探究](1)根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系求解． (2)①由θ

9、＝120 °求cos θ＝，建立方程求λ的值． ②要使θ為銳角，則cos θ>0，且a與b不能共線，建立不等式求λ的取值范圍． (1)D　[因為a＝(1,2)，b＝(2，x)，a與b垂直，所以a·b＝0，即1×2＋2x＝0，解得x＝－1.故選D．] (2)[解]?、儆捎赼＝(1,3)，b＝(2，λ)，則 a·b＝2＋3λ，當(dāng)θ＝120 °時，cos 120 °＝＝－， 得＝－，平方整理得13λ2＋24λ－12＝0， 解得λ＝，由于a·b＝2＋3λ<0，所以λ<－，得λ＝. ②由θ為銳角，得cos θ>0，且cos θ≠1，∵a·b＝|a||b|·cos θ＞0， ∴a·b

10、>0，即1×2＋3λ>0，解得λ>－.若a∥b，則1×λ－2×3＝0，即λ＝6. 但若a∥b，則θ＝0或θ＝π，這與θ為銳角相矛盾，所以λ≠6.綜上所述，λ>－且λ≠6. 利用向量法求夾角的方法技巧 (1)若求向量a與b的夾角，利用公式cos 〈a，b〉＝＝，當(dāng)向量的夾角為特殊角時，再求出這個角． (2)非零向量a與b的夾角θ與向量的數(shù)量積的關(guān)系： (1)若θ為直角，則充要條件為向量a⊥b，則轉(zhuǎn)化為a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (2)若θ為銳角，則充要條件為a·b>0，且a與b的夾角不能為0(即a與b的方向不能相同)． (3)若θ為鈍角，則充要條件為a·b<0，且a與

11、b的夾角不能為π(即a與b的方向不能相反)． 3.已知a＝(sin α，cos α)，|b|＝2. (1)若向量b在a方向上的投影為－1，求a·b及a與b的夾角θ. (2)若a＋b與b垂直，求|2a－b|. [解](1)由向量數(shù)量積的幾何意義知，a·b等于|a|與b在a方向上的投影的乘積， ∴a·b＝1·(－1)＝－1. 設(shè)a與b的夾角θ，θ∈[0，π]， 則cos θ＝＝＝－，∴θ＝. (2)若a＋b與b垂直，∴(a＋b)·b＝a·b＋b2＝0，∴a·b＝－4， ∴|2a－b|＝＝ ＝＝2. 向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式的綜合問題 【例3】　在邊長為1的正方形

12、ABCD中，M為BC的中點，點E在線段AB上運動． (1)求證：·為定值； (2)求·的最大值． [思路探究](1)利用向量的投影證明，也可以建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)計算數(shù)量積． (2)利用向量的投影轉(zhuǎn)化為平面幾何性質(zhì)求最大值，也可以建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式，建立函數(shù)求最大值． [解]　法一：(幾何法)(1)在邊長為1的正方形ABCD中， ·＝·＝||||cos ∠ BCE＝||2＝1(定值)． (2)如圖，作CN⊥EM，垂足為N，則 △EBM∽△CNM，得＝， 所以EM·MN＝CM·MB＝， 所以·＝||||cos ∠ CEN＝||(||cos

13、∠ CEN)＝||||＝||(||＋||)＝||2＋||||＝||2＋≤ ||2＋＝1＋＋＝， 所以當(dāng)點E在點A時，·取得最大值. 法二：(坐標(biāo)法)以點A為坐標(biāo)原點，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，C(1,1)，D(0,1)，設(shè)E(x,0)，x∈[0,1], (1)·＝(1－x,1)·(0,1)＝1(定值)． (2)由上述可知，C(1,1)，M， 設(shè)E(x,0)，x∈[0,1]， 則·＝(1－x,1)·＝(1－x)2＋， 當(dāng)x∈[0,1]時，(1－x)2＋單調(diào)遞減， 當(dāng)x＝0時，·取得最大值. 解決向量數(shù)量積的最值的方法技巧

14、(1)“圖形化”技巧：利用平面向量線性運算以及數(shù)量積運算的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的直觀特征進行判斷. (2)“代數(shù)化”技巧：若已知條件中具有等腰三角形或矩形，常常建立平面直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)解決最值或取值范圍. 4．(2017·全國卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則·(＋)的最小值是(　　) A．－2　 B．－ C．－　　 D．－1 B　[如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，設(shè)P

15、(x，y)，則＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)， 所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y) ＝2x2＋2－， 當(dāng)x＝0，y＝時，·(＋)取得最小值為－，選B．] 5．在矩形ABCD中， AB＝3，AD＝1，若M，N分別在邊BC，CD上運動(包括端點)，且滿足＝，則·的取值范圍是________． [1,9]　[分別以AB，AD為x，y軸建立直角坐標(biāo)系， 則A(0,0)，B(3,0)，C(3,1)，D(0,1)， 設(shè)M(3，b)，N(x,1)，因為＝， 所以b＝，則＝(x,1)，＝， 故·＝x＋1(0≤x≤3)， 所以1≤x＋1≤9，所以·

16、的取值范圍是[1,9]． ] 1.利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩向量夾角的步驟 (1)求向量的數(shù)量積．利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出這兩個向量的數(shù)量積． (2)求模．利用|a|＝ 計算兩向量的模． (3)求夾角余弦值．由公式cos θ＝求夾角余弦值． (4)求角．由向量夾角的范圍及cos θ求θ的值． 2.知識導(dǎo)圖 1.已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，則a·b＝(　　) A．1　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 A　[因為a＝(1,2)，b＝(－3,2)， 所以a·b＝1×(－3)＋2×2＝1.] 2.已知a＝(1,2)，b＝(6，－3)，則必

17、有(　　) A．a(chǎn)∥b　　　　 B．b＝3a　　　 C．a(chǎn)⊥b　　　　 D．b＝－3a C　[由a＝(1,2)，b＝(6，－3)，得1×6＋2×(－3)＝0?a⊥b.] 3.已知向量a＝(2,2)，b＝(0，－3)，則a與b的夾角為(　　) A．45°　　　　 B．60°　　　 C．120°　　　　 D．135° D　[因為向量a＝(2,2)，b＝(0，－3)，則a·b＝－6，|a|＝2，|b|＝3，則cos 〈a，b〉＝＝－，又0°≤〈a，b〉≤180°，所以a與b的夾角為135°.] 4．(2019·揚州高一檢測)已知向量 a＝(1，－1)，向量b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝________. 1　[由向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， 得2a＋b＝(1,0)，所以(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.] 9