2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第3節(jié) 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)案 理 北師大版

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1、 第三節(jié)　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決． (對應(yīng)學(xué)生用書第97頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域 一般地，直線l：ax＋by＋c＝0把直角坐標(biāo)平面分成了三個部分： (1)直線l上的點(x，y)的坐標(biāo)滿足ax＋by＋c＝0； (2)直線l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(x，y)的坐標(biāo)滿足ax＋by＋c＞0； (3)直線l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(x，

2、y)的坐標(biāo)滿足ax＋by＋c＜0. 所以，只需在直線l的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)，任取一特殊點(x0，y0)，從ax0＋by0＋c值的正負(fù)，即可判斷不等式表示的平面區(qū)域． 2．線性規(guī)劃相關(guān)概念 名稱 意義 結(jié)束條件 由變量x，y組成的一次不等式組 線性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的等式組 目標(biāo)函數(shù) 欲求最大值或最小值的函數(shù) 線性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的一次解析式 可行解 在線性規(guī)劃問題中，滿足約束條件的解(x，y) 可行域 由所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，通常在可行域的頂點處取得 二元線性規(guī) 劃問題 如果兩

3、個變量滿足一組一次不等式，求這兩個變量的一次函數(shù)的最大值或最小值問題叫作二元線性規(guī)劃問題 3.重要結(jié)論 畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點定域： (1)直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線； (2)特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0,1)或(1,0)來驗證． [知識拓展]　1.利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域： 對于Ax＋By＋C＞0或Ax＋By＋C＜0，則有 (1)當(dāng)B(Ax＋By＋C)＞0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的上方； (2)當(dāng)B(Ax＋By＋C)＜0時，區(qū)域為直

4、線Ax＋By＋C＝0的下方． 2．最優(yōu)解和可行解的關(guān)系： 最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解．最優(yōu)解不一定唯一，有時唯一，有時有多個． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．(　　) (2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能不唯一．(　　) (3)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．(　　) (4)最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　

5、(4)√ 2．(教材改編)不等式組表示的平面區(qū)域是(　　) C　[x－3y＋6<0表示直線x－3y＋6＝0左上方的平面區(qū)域，x－y＋2≥0表示直線x－y＋2＝0及其右下方的平面區(qū)域，故選C.] 3．(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為(　　) A．0　　　　　 B．1 C．2 D．3 D　[根據(jù)題意作出可行域，如圖陰影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z. 作出直線y＝－x，并平移該直線， 當(dāng)直線y＝－x＋z過點A時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值． 由圖知A(3,0)， 故zmax＝3＋0＝3. 故選D.] 4．若點(m,1)在不等式2x＋3y

6、－5＞0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m的取值范圍是________． (1，＋∞)　[∵點(m,1)在不等式2x＋3y－5＞0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，∴2m＋3－5＞0，即m＞1.] 5．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是__________. 【導(dǎo)學(xué)號：79140199】 1　[不等式組表示的區(qū)域如圖中的陰影部分所示， 由x＝1，x＋y＝0得A(1，－1)， 由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)， 由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)， ∴|AB|＝2，∴S△ABC＝×2×1＝1.] (對應(yīng)學(xué)生用書第98頁) 二元一次不等式(組)表示的平面

7、區(qū)域 　(1)(2018·北京西城區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是(　　) A.　　　B.　　　C．2　　　D．2 (2)若滿足條件的整點(x，y)恰有9個，其中整點是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點，則整數(shù)a的值為(　　) A．－3 B．－2 C．－1 D．0 (1)B　(2)C　[(1)作出不等式組表示的平面區(qū)域是以點O(0,0)，B(－2,0)和A(1，)為頂點的三角形區(qū)域，如圖所示的陰影部分(含邊界)，由圖知該平面區(qū)域的面積為×2×＝，故選B. (2)不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，當(dāng)a＝0時，平面區(qū)域內(nèi)只有4個整點(1,1)，(

8、0,0)，(1,0)，(2,0)；當(dāng)a＝－1時，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5個整點，故選C. ] [規(guī)律方法]　確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法 (1)“直線定界，特殊點定域”，即先作直線，再取特殊點并代入不等式.若滿足不等式，則不等式表示的平面區(qū)域為直線與特殊點同側(cè)的那一側(cè)區(qū)域；否則就對應(yīng)與特殊點異側(cè)的平面區(qū)域.不等式組表示的平面區(qū)域即為各不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分. (2)當(dāng)不等式中不等號為≥或≤時，邊界為實線，不等號為＞或＜時，邊界應(yīng)畫為虛線，若直線不過原點，特殊點常取原點. [跟蹤訓(xùn)練]　若平面區(qū)域夾在兩

9、條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. B　[根據(jù)約束條件作出可行域如圖中陰影部分，當(dāng)斜率為1的直線分別過A點和B點時滿足條件，聯(lián)立方程組 求得A(1,2)，聯(lián)立方程組求得B(2,1)，可求得分別過A，B點且斜率為1的兩條直線方程為x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由兩平行線間的距離公式得距離為＝，故選B.] 線性規(guī)劃中的最值問題 ◎角度1　求線性目標(biāo)函數(shù)的最值 　(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值是(　　) A．－15 B．－9 C．1 D．9 A　[不等式組

10、表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示． 將目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y化為y＝－2x＋z，作出直線y＝－2x并平移，當(dāng)直線y＝－2x＋z經(jīng)過點A(－6，－3)時，z取最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15. 故選A.] ◎角度2　求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值 　(2018·濟南一模)若變量x，y滿足約束條件則的最大值為(　　) A．1 B．3 C. D．5 C　[在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域是以(1,1)，，(2,2)為頂點的三角形區(qū)域(包含邊界)(圖略)，表示平面區(qū)域內(nèi)的點與原點的連線的斜率，由題意得點與原點的連線斜率最大，即的最大值為＝，故選C.] ◎角度3　

11、線性規(guī)劃中的參數(shù)問題 　(2017·河南安陽一模)已知z＝2x＋y，其中實數(shù)x，y滿足且z的最大值是最小值的4倍，則a的值是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：79140200】 A. B． C．4 D． B　[作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 由z＝2x＋y得y＝－2x＋z， 平移直線y＝－2x， 由圖可知當(dāng)直線y＝－2x＋z經(jīng)過點A時，直線的縱截距最大， 此時z最大， 由解得 即A(1,1)，zmax＝2×1＋1＝3， 當(dāng)直線y＝－2x＋z經(jīng)過點B時，直線的縱截距最小， 此時z最小， 由解得 即B(a，a)，zmin＝2×a＋a＝3a， ∵z的最大值是最小值的4倍

12、， ∴3＝4×3a，即a＝，故選B.] [規(guī)律方法]　1.求目標(biāo)函數(shù)最值的解題步驟 (1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點的那一條直線； (2)平移——將直線平行移動，以確定最優(yōu)解的對應(yīng)點的位置；最優(yōu)解一般在封閉圖形的邊界或頂點處取得. (3)求值——解方程組求出對應(yīng)點坐標(biāo)(即最優(yōu)解)，代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值. 2.常見的三類目標(biāo)函數(shù) (1)截距型：形如z＝ax＋by. 求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值. (2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)

13、2. (3)斜率型：形如z＝. 易錯警示：注意轉(zhuǎn)化的等價性及幾何意義. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝x－y的取值范圍是(　　) A．[－3,0] B．[－3,2] C．[0,2] D．[0,3] (2)若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是(　　) A．4 B．9 C．10 D．12 (3)(2017·石家莊質(zhì)檢(一))若x，y滿足，且z＝3x－y的最大值為2，則實數(shù)m的值為(　　) A. B． C．1 D．2 (1)B　(2)C　(3)D　[(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示． 由題意可知，當(dāng)直線y＝x－

14、z過點A(2,0)時，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；當(dāng)直線y＝x－z過點B(0,3)時，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3. 所以z＝x－y的取值范圍是[－3,2]． 故選B. (2)作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．x2＋y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方，由得A(3，－1)，由圖易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故選C. (3)若z＝3x－y的最大值為2，則此時目標(biāo)函數(shù)為y＝3x－2，直線y＝3x－2與3x－2y＋2＝0和x＋y＝1分別交于A(2,4)，B，mx－y＝0經(jīng)過其中一點，所以m＝2或m＝，當(dāng)m＝時，經(jīng)檢驗不符

15、合題意，故m＝2，選D.] 線性規(guī)劃的實際應(yīng)用 　(2016·全國卷Ⅰ)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元． 216 000　[設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A x件，產(chǎn)品B y件，則 目標(biāo)函數(shù)z＝2 100x＋900y. 作出可

16、行域為圖中的陰影部分(包括邊界)內(nèi)的整數(shù)點，圖中陰影四邊形的頂點坐標(biāo)分別為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)． 當(dāng)直線z＝2 100x＋900y經(jīng)過點(60,100)時，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．] [規(guī)律方法]　解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟 (1)設(shè)變量.(2)列約束條件.(3)建目標(biāo)函數(shù).(4)畫可行域.(5)求最優(yōu)解.(6)作答. [跟蹤訓(xùn)練]　某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為(　　) 甲 乙 原料限額 A(噸) 3 2 12 B(噸) 1 2 8 A.12萬元 B．16萬元 C．17萬元 D．18萬元 D　[設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x噸、y噸，每天所獲利潤為z萬元，則有z＝3x＋4y，作出可行域如圖陰影部分所示，由圖形可知，當(dāng)直線z＝3x＋4y經(jīng)過點A(2,3)時，z取最大值，最大值為3×2＋4×3＝18.] 9