2019-2020學年高中數學 第3章 指數函數和對數函數 5 對數函數 5.1 對數函數的概念 5.2 對數函數y＝log2x的圖像和性質學案 北師大版必修1

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1、5．1　對數函數的概念 5．2　對數函數y＝log2x的圖像和性質 學 習 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1.理解對數函數的概念以及對數函數與指數函數間的關系． 2．了解指數函數與對數函數互為反函數，并會求指數函數或對數函數的反函數．(難點、易混點) 3．會畫具體函數的圖像．(重點) 1.通過對數函數的概念及反函數概念的學習，培養(yǎng)數學抽象素養(yǎng)． 2．通過對數函數y＝log2x的圖像研究函數的性質，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng). 閱讀教材P89～P90“分析理解”以上部分，完成下列問題． 1．對數函數的定義 一般地，我們把函數y＝logax(a>0，a≠1)叫作對數函數，其中x是自變量

2、，函數的定義域是(0，＋∞)，值域是R，a叫作對數函數的底數． 2．兩類特殊的對數函數 常用對數函數：y＝lg x，其底數為10. 自然對數函數：y＝ln x，其底數為無理數e. 3．反函數 閱讀教材P90從“分析理解”～P91“練習”間的部分，完成下列問題． 指數函數y＝ax(a＞0，a≠1)是對數函數y＝logax(a＞0，a≠1)的反函數；同時，對數函數y＝logax(a＞0，a≠1)也是指數函數y＝ax(a＞0，a≠1)的反函數，即同底的指數函數與對數函數互為反函數． 4．函數y＝log2x的圖像和性質 閱讀教材P91～P93有關內容，完成下列問題． 圖像特征 函數

3、性質 過點(1,0) 當x＝1時，y＝0 在y軸的右側 定義域是(0，＋∞) 向上、向下無限延伸 值域是R 在直線x＝1右側，圖像位于x軸上方；在直線x＝1左側，圖像位于x軸下方 若x＞1，則y＞0；若0＜x＜1，則y＜0 函數圖像從左到右是上升的 在(0，＋∞)上是增函數 思考：(1)指數函數y＝2x與對數函數x＝log2y的圖像有什么關系？ (2)指數函數y＝2x的圖像與對數函數y＝log2x的圖像有什么關系？ [提示]　(1)重合． (2)關于直線y＝x對稱． 1．函數y＝logax的圖像如圖所示，則a的值可以是(　　) A.　　　　 B．2 C

4、．e D．10 A　[y＝logax的圖像是下降的，故a可以是.故選A.] 2．函數y＝log2(x－2)的定義域是________． (2，＋∞)　[由x－2>0，得x>2，所以其定義域是(2，＋∞)．] 3．函數y＝log2(x2＋1)的值域是________． [0，＋∞)　[由x2＋1≥1，得y≥0，所以，其值域是[0，＋∞)．] 4．對數函數f(x)的圖像經過點，則f(3)＝________. －1　[設f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， 因為對數函數f(x)的圖像經過點， 所以f＝loga＝2.所以a2＝. 所以a＝＝＝. 所以f(x)＝log

5、x.所以f(3)＝log3＝log＝－1.] 對數函數的概念 【例1】　下列函數中，哪些是對數函數？ (1)y＝loga(a>0，且a≠1)； (2)y＝log2x＋2； (3)y＝8log2(x＋1)； (4)y＝logx6(x>0，且x≠1)； (5)y＝log6x. [解]　(1)中真數不是自變量x，不是對數函數． (2)中對數式后加2，所以不是對數函數． (3)中真數為x＋1，不是x，系數不為1，故不是對數函數． (4)中底數是自變量x，而非常數，所以不是對數函數． (5)中底數是6，真數為x，系數為1，符合對數函數的定義，故是對數函數． 判斷

6、一個函數是對數函數的方法 1．若函數f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是對數函數，則實數a＝________. 1　[由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1. 又底數a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1.] 求函數的反函數 【例2】　求下列函數的反函數． (1)y＝10x；　　　(2)y＝x； (3)y＝logx; (4)y＝log2x. [解]　(1)由y＝10x，得x＝lg y，∴其反函數為y＝lg x； (2)由y＝x，得x＝logy，∴其反函數為y＝logx； (3)由y＝logx，得x＝y(tǒng)，∴其反函數為y＝x； (4)由y＝log

7、2x，得x＝2y，∴其反函數為y＝2x. 反函數的求法 (1)由y＝ax(或y＝logax)，解得x＝logay(或x＝ay)； (2)將x＝logay(或x＝ay)中的x與y互換位置，得y＝logax(或y＝ax)； (3)由y＝ax(或y＝logax)的值域，寫出y＝logax(或y＝ax)的定義域. 2．(1)已知函數y＝g(x)的圖像與函數y＝log3x的圖像關于直線y＝x對稱，則g(2)的值為(　　) A．9　　　　　　　 B． C. D．log32 (2)若函數y＝f(x)是函數y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數，其圖像經過點(，a)，則f(x

8、)＝(　　) A．log2x B．logx C．2－x D．x2 (1)A　(2)B　[(1)y＝g(x)與y＝log3x互為反函數， 故g(x)＝3x， 故g(2)＝32＝9. (2)由題意知(a，)在y＝ax上，可得aa＝＝a，即a＝. 因為y＝x的反函數為y＝logx， 所以f(x)＝logx.] 函數y＝log2x的圖像與性質 [探究問題] 1．求函數y＝log2|x|的定義域，并畫出它的圖像． 提示：函數的定義域為{x|x≠0，x∈R}． 函數解析式可化為 y＝其圖像如圖所示． (其特征是關于y軸對稱)． 2．畫出函數y＝|log2x|

9、的圖像，并寫出它的單調區(qū)間． 提示：y＝|log2x|＝其圖像如圖所示， 增區(qū)間為[1，＋∞)，減區(qū)間為(0,1)． 【例3】　根據函數f(x)＝log2x的圖像和性質求解以下問題： (1)若f(x－1)>f(1)，求x的取值范圍； (2)求y＝log2(2x－1)在 x∈上的最值． [思路探究]　可依據y＝log2x的圖像，借助函數的單調性解不等式，求最值． [解]　作出函數y＝log2x的圖像如圖． (1)由圖像知y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數． 因為f(x－1)>f(1)， 所以x－1>1， 解得x>2，所以x的取值范圍是(2，＋∞)． (2)∵≤

10、x≤，∴≤2x－1≤4， ∴l(xiāng)og2≤log2(2x－1)≤log24， 所以－1≤log2(2x－1)≤2， 故函數y＝log2(2x－1)在x∈上的最小值為－1，最大值為2. 1．(變結論)將例題中的條件不變，試比較log2與log2的大?。? [解]　函數f(x)＝log2x在(0，＋∞)上為增函數， 又∵>，∴l(xiāng)og2>log2. 2．(變結論)將例題中的條件不變，解不等式log2(2－x)>0. [解]　log2(2－x)>0，即log2(2－x)>log21， ∵函數y＝log2x為增函數， ∴2－x>1，∴x<1. ∴x的取值范圍是(－∞，1)． 函

11、數f(x)＝log2x是最基本的對數函數，它在(0，＋∞)上是單調遞增的，利用單調性可以解不等式，求函數值域，比較對數值的大小. 1．解與對數有關的問題，首先要保證在定義域范圍內解題，即真數大于零，底數大于零且不等于1，函數定義域的結果一定要寫成集合或區(qū)間的形式． 2．指數函數y＝ax(a>0且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數，它們定義域與值域相反，圖像關于直線y＝x對稱． 3．應注意數形結合思想在解題中的應用． 1．思考辨析 (1)函數y＝2log2x是對數函數．(　　) (2)函數y＝3x的反函數是y＝x.(　　) (3) 對數函數y＝

12、log2x在(0，＋∞)上是增函數．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．函數f(x)＝lg(2－3x)的定義域是________． 　[由2－3x>0，得x<，所以，f(x)的定義域是.] 3．函數y＝logx的反函數是________． y＝x　[由y＝logx，得x＝y(tǒng)，所以，其反函數為y＝x.] 4．求函數y＝log2(3＋2x－x2)的定義域和值域． [解]　由3＋2x－x2>0，得x2－2x－3<0，∴－1