2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1.1 函數(shù)的平均變化率 3.1.2 瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教B版選修1-1

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1、3.1.1　函數(shù)的平均變化率 3.1.2　瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù) 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，理解平均變化率和瞬時(shí)速度．(易混點(diǎn)) 2.會求函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x)．(重點(diǎn)) 3.會利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)．(難點(diǎn)) 1.由實(shí)際背景變化率到導(dǎo)數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 2.通過利用定義求函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 1．函數(shù)的平均變化率 函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率 (1)定義式：＝. (2)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的增量與自變量的增量之比． (3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)

2、間[x1，x2]上變化的快慢． (4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數(shù)y＝f(x)的圖象上兩點(diǎn)，則平均變化率＝表示割線P1P2的斜率． 思考1：觀察函數(shù)y＝f(x)的圖象，平均變化率＝表示什么？ [提示]　表示曲線y＝f(x)上兩點(diǎn)(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的斜率． 2．瞬時(shí)變化率 (1)物體運(yùn)動的瞬時(shí)速度 設(shè)物體運(yùn)動的路程與時(shí)間的關(guān)系是s＝f(t)，當(dāng)t0到t0＋Δt時(shí)，當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，函數(shù)f(t)在t0到t0＋Δt之間的平均變化率為趨近于常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度． (2)函數(shù)的瞬時(shí)變化率 設(shè)函數(shù)y＝

3、f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量在x＝x0附近改變Δx時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)地改變Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果當(dāng)Δx趨近于0時(shí)，平均變化率趨近于一個(gè)常數(shù)l，則常數(shù)l稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的瞬時(shí)變化率． 3．函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù) (1)函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率稱為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|，即f′(x0)＝ . (2)導(dǎo)函數(shù)定義 如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)x導(dǎo)數(shù)都存在，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導(dǎo)，這樣，對開區(qū)間(a，b)內(nèi)每個(gè)值x，都對應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f(x)，于是在區(qū)

4、間(a，b)內(nèi)f′(x)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)．記為f′(x)(或y′x、y′)． (3)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點(diǎn)x＝x0處的函數(shù)值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0. 思考2：f′(x0)與f′(x)表示的意義一樣嗎？ [提示]　f′(x0)表示f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)確定的值．f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)．f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值． 1．已知函數(shù)f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時(shí)，Δy的值為(　　) A．0.40　　 B．0.41

5、 C．0.43 D．0.44 B　[由Δy＝f(Δx＋2)－f(2)＝(0.1＋2)2－4＝0.41，知選B.] 2．已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖象上一點(diǎn)(1，－2)及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx，－2＋Δy)，則等于 (　　) A．4　　　　 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 C　[＝＝＝4＋2Δx.] 3．質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s(t)＝at＋1運(yùn)動，若t＝2時(shí)刻的瞬時(shí)速度為，則a的值為________． 　[ ＝a＝] 函數(shù)的平均變化率 【例1】　(1)已知函數(shù)f(x)＝2x2＋3x－5. ①求：當(dāng)x1＝4，x2＝5時(shí)，函數(shù)增量Δy和平均變化率； ②求：當(dāng)

6、x1＝4，x2＝4.1時(shí)，函數(shù)增量Δy和平均變化率. (2)求函數(shù)y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均變化率，取Δx都為，哪一點(diǎn)附近的平均變化率最大？ [解]　(1)因?yàn)閒(x)＝2x2＋3x－5， 所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx. ＝＝2Δx＋4x1＋3. ①當(dāng)x1＝4，x2＝5時(shí)，Δx＝1， Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，＝21. ②當(dāng)x1＝4，x2＝4.1時(shí)，Δx＝0.1， Δy＝2(

7、Δx)2＋(4x1＋3)Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ＝2Δx＋4x1＋3＝19.2. (2)在x＝1附近的平均變化率為 k1＝＝ ＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均變化率為 k2＝＝ ＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均變化率為 k3＝＝ ＝6＋Δx. 當(dāng)Δx＝時(shí)，k1＝2＋＝， k2＝4＋＝，k3＝6＋＝. 由于k1

8、(x)＝x2＋2x－5的圖象上的一點(diǎn)A(－1，－6)及鄰近一點(diǎn)B(－1＋Δx，－6＋Δy)，則＝________. (2)如圖所示是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變化率為________；函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為________． (1)Δx　(2)　　[(1)＝ ＝ ＝Δx. (2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變化率為 ＝＝. 由函數(shù)f(x)的圖象知， f(x)＝ 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為 ＝＝.] 導(dǎo)數(shù)的定義及求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 【例2】　(1)若 ＝k，則 等于(　　

9、) A．2k　 B．k C．k D．以上都不是 (2)求函數(shù)y＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)． [思路探究]　(1)嚴(yán)格按照導(dǎo)數(shù)定義推導(dǎo)求解． (2) (1)A　[∵ ＝k， ∴ ＝ ， ＝2 ＝2k.] (2)法一：(定義法)Δy＝－1， ∴＝＝， ∴當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，＝趨近于， 即y＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)是. ∴y′|x＝1＝. 法二：(求導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法) Δy＝－＝， ＝， ∴當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，＝趨近于， ∴當(dāng)x＝1時(shí)導(dǎo)函數(shù)值為，即y′|x＝1＝. (1)用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟： ①求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋

10、Δx)－f(x0)； ②求平均變化率＝；,③取極限，得導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝. (2)求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，還可以先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再計(jì)算此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值. 提醒：可以簡記為：一差、二比、三極限. 2．已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0. [解]　∵f′(x0)＝ ＝ (6x0＋3Δx)＝6x0， 又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1. 求物體運(yùn)動的瞬時(shí)速度 [探究問題] 1．平均變化率與瞬時(shí)變化率有什么聯(lián)系？ [提示]?、賲^(qū)別：平均變化率刻畫函數(shù)值在區(qū)間x1到x2這一段上變化的快慢，瞬時(shí)變化率刻畫函數(shù)值在x0點(diǎn)處變化的快慢． ②聯(lián)系：當(dāng)

11、Δx趨于0時(shí)，平均變化率趨于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)即為函數(shù)在x0處的瞬時(shí)變化率，它是一個(gè)固定值． 2．Δx趨近于0的含義是什么？ [提示]　Δx趨于0的距離要多近有多近，即|Δx－0|可以小于給定的任意小的正數(shù)，且始終Δx≠0. 3．導(dǎo)數(shù)與瞬時(shí)變化率有什么關(guān)系？ 提示：導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在x0及其附近函數(shù)的改變量Δy與自變量的改變量Δx之比的極限，它是一個(gè)局部性的概念，若 存在，則函數(shù)y＝f(x)在x0處有導(dǎo)數(shù)，否則不存在導(dǎo)數(shù)． 【例3】　某物體的運(yùn)動路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1 s時(shí)的瞬時(shí)速度． [思路探究]　→→ [解]　

12、∵＝ ＝ ＝3＋Δt， ∴ ＝ (3＋Δt)＝3. ∴物體在t＝1 s處的瞬時(shí)變化率為3， 即物體在t＝1 s時(shí)的瞬時(shí)速度為3 m/s. 1．(變結(jié)論)若本例條件不變，試求物體的初速度． [解]　∵＝ ＝ ＝1＋Δt， ∴ ＝ (1＋Δt)＝1. ∴物體在t＝0處的瞬時(shí)變化率為1， 即物體的初速度為1 m/s. 2．(變結(jié)論)若本例的條件不變，試問物體在哪一時(shí)刻瞬時(shí)速度為9 m/s. [解]　設(shè)物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9 m/s， ∵＝＝2t0＋1＋Δt， ∴ ＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1. 則2t0＋1＝9，∴t0＝4. 則物體在4 s時(shí)的瞬

13、時(shí)速度為9 m/s. (1)不能將物體的瞬時(shí)速度轉(zhuǎn)化為函數(shù)的瞬時(shí)變化率是導(dǎo)致無從下手解答本題的常見問題. (2)求運(yùn)動物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟 ①求時(shí)間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). ②求平均速度＝. ③求瞬時(shí)速度，當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于的常數(shù)v即為瞬時(shí)速度，即v＝s′(t0). 1．思考辨析 (1)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與Δx的正、負(fù)無關(guān)． (　　) (2)瞬時(shí)變化率是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化快慢的物理量． (　　) (3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，Δx，Δy都不可能為零． (　　) [提示]　(1)√　(2)×　(3)

14、× 2．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程是s＝4－2t2，則在時(shí)間段[1,1＋Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為(　　) A．2Δt＋4　　　　 B．－2Δt－4 C．4 D．－2Δt2－4Δt B　[＝＝＝－2Δt－4.] 3．如果某物體做運(yùn)動方程為s＝2(1－t2)的直線運(yùn)動(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，那么它在1.2 s末的瞬時(shí)速度為(　　) A．－0.88 m/s B．0.88 m/s C．－4.8 m/s D．4.8 m/s C　[在1.2 s時(shí)的瞬時(shí)速度即為s在t＝1.2處的導(dǎo)數(shù)，由于s′(t0)＝ ＝－4t0， 所以s′(1.2)＝－4×1.2＝－4.8(m/s)．] 4．當(dāng)h無限趨近于0時(shí)， ＝________. 6　[ ＝ ＝ (6＋h)＝6.] 5．求函數(shù)y＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)． [解]　Δy＝－1＝＝， ＝－， 所以函數(shù)在x＝1處的導(dǎo)數(shù) ＝－1. - 9 -