2019-2020學年新教材高中數學 第8章 向量的數量積與三角恒等變換 8.1 向量的數量積 8.1.1向量數量積的概念學案 新人教B版第三冊

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1、8.1.1向量數量積的概念 學 習 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1.通過物理中“功”等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義．(難點) 2.體會平面向量的數量積與向量投影的關系．(重點) 3.會運用數量積表示兩個向量的夾角，會運用數量積判斷兩個平面向量的垂直．(重點，難點) 1.通過物理學中力對物體做功引出向量的數量積概念，培養(yǎng)學生數學抽象的素養(yǎng)． 2.利用向量的投影領會向量的數量積的幾何意義，提高學生幾何直觀的數學素養(yǎng). 1.兩個向量的夾角 給定兩個非零向量a，b，在平面內任選一點O，作＝a，＝b，則稱[0，π]內的∠AOB為向量a與向量b的夾角，記作〈a，b〉．

2、 (1)兩個向量夾角的取值范圍是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉． (2)當〈a，b〉＝時，稱向量a與向量b垂直，記作a⊥b. 2.向量數量積的定義 一般地，當a與b都是非零向量時，稱|a||b|cos〈a，b〉為向量a與b的數量積(也稱為內積)，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉． (1)當〈a，b〉∈時，a·b>0; 當〈a，b〉＝時，a·b＝0； 當〈a，b〉∈時，a· b<0. (2)兩個非零向量a，b的數量積的性質： 不等式 |a·b|≤ |a||b| 恒等式 a·a＝a2＝|a|2，即|a|＝ 向量垂直 的充要條件 a⊥b ?a·b＝0 3

3、.向量的投影與向量數量積的幾何意義 (1)給定平面上的一個非零向量b，設b所在的直線為l，則向量a在直線l上的投影稱為a在向量b上的投影． (2)一般地，如果a，b都是非零向量，則|a|cos 〈a，b〉為向量a在向量b上的投影的數量． (3)兩個非零向量a，b的數量積a·b，等于a在向量b上的投影的數量與b的模的乘積．這就是兩個向量數量積的幾何意義． 1.已知|a|＝3，向量a與b的夾角為，則a在b方向上的投影為(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． D　[向量a在b方向上的投影為|a|cos〈a，b〉＝3×cos ＝.故選D．] 2.在△ABC中，＝a，＝b，且b·

4、a＝0，則△ABC是(　　) A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．無法確定 C　[在△ABC中，因為b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC為直角三角形．] 3.如圖，在△ABC中，，的夾角與，的夾角的關系為________． 互補　[根據向量夾角定義可知向量，夾角為∠BAC，而向量，夾角為π－∠BAC，故二者互補．] 4．如圖所示，一個大小為5 N，與水平方向夾角37°的拉力F作用在小車上，小車沿水平方向向右運動．運動過程中，小車受到的阻力大小為3 N，方向水平向左．小車向右運動的距離為2 m的過程中，小車受到的各個力都沒有發(fā)生變化．求在此過程中：拉力F對小車做的功

5、(取cos37°≈0.8)為_____．小車克服阻力做的功為______． 8 J　6 J　[拉力F對小車做的功WF＝FScos θ＝5×2×0.8 J＝8 J， 小車克服阻力做的功為W克f＝－Wf＝3×2 J＝6 J．] 平面向量的夾角 【例1】(1)(2019·東營高一檢測)已知向量|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－3，則〈a，b〉＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． (2)已知△ABC中， AB＝4，BC＝2，·＝－4，則向量與的夾角為________， 向量與的夾角為________． [思路探究](1)由平面向量的夾角公式計算夾角的余弦值再

6、求角． (2)先由向量的數量積公式計算B，再由平面幾何性質計算∠ACB，∠BAC，最后求向量的夾角． (1)D(2)90°　150°　[ (1)因為向量|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－3，所以cos 〈a，b〉＝＝－， 又〈a，b〉∈[0, π]，所以〈a，b〉＝. (2)在△ABC中，因為AB＝4，BC＝2，·＝－4， 所以||||cos 〈，〉＝－4， 得4×2cos(π－B)＝－4，所以cos B＝，得B＝60°. 如圖，延長BC到D，使CD＝BC，則△ABD為等邊三角形，所以AC⊥BC，∠BAC＝30°，所以向量與的夾角為90°，與的夾角為150°.] 求平面向量

7、的夾角的方法技巧 (1)已知平面向量的長度和數量積，利用夾角余弦公式計算cos 〈a，b〉＝，若是特殊角，再求向量的夾角. (2)在△ABC中，注意三角形的內角與平面向量的夾角的區(qū)別和聯系，常常利用幾何圖形確定是“相等”還是“互補”的關系. 1.若兩個單位向量的數量積等于－1，則這兩個單位向量的夾角為(　　) A．0　 　　B． 　　　C．　　　 D．π D　[設兩個單位向量分別為e1，e2，則e1·e2＝cos 〈e1，e2〉＝－1，由于〈e1，e2〉∈[0, π]， 所以〈e1，e2〉＝π.] 2.已知a是單位向量，且3a·b＝|b|，則sin〈a，b〉＝______

8、__. 　[因為a是單位向量，且3a·b＝|b|，則3|a||b|cos 〈a，b〉＝|b|，得cos 〈a，b〉＝， 又sin2〈a，b〉＋cos 2〈a，b〉＝1，得sin2〈a，b〉＝.又0≤〈a，b〉≤π，得sin〈a，b〉＝.] 與向量數量積有關的概念 【例2】(1)以下四種說法中正確的是________．(填序號) ①如果a·b＝0，則a＝0或b＝0； ②如果向量a與b滿足a·b<0，則a與b所成的角為鈍角； ③△ABC中，如果·＝0，那么△ABC為直角三角形； ④如果向量a與b是兩個單位向量，則a2＝b2. (2)已知等腰△ABC的底邊BC長為4，則·＝_

9、_______. [思路探究]　根據數量積的定義、性質、運算律及投影的定義解答． (1)③④(2)8　[(1)由數量積的定義知a·b＝|a||b|·cos θ(θ為向量a，b的夾角)． ①若a·b＝0，則θ＝90°或a＝0或b＝0，故①錯； ②若a·b<0，則θ為鈍角或θ＝180°，故②錯； ③由·＝0知B＝90°，故△ABC為直角三角形，故③正確； ④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正確． (2)如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D． 因為AB＝AC， 所以BD＝BC＝2， 于是||cos∠ABC＝|| ＝||＝×4＝2， 所以·＝||||cos∠ABC＝

10、4×2＝8.] 1.在書寫數量積時，a與b之間用實心圓點“·”連接，而不能用“×”連接，更不能省略不寫． 2.求平面向量數量積的方法： (1)若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ. (2)若已知一向量的模及另一向量在該向量上的投影，可利用數量積的幾何意義求a·b. 3.給出下列判斷：①若a2＋b2＝0，則a＝b＝0；②已知a，b，c是三個非零向量，若a＋b＝0，則|a·c|＝|b·c|；③a，b共線?a·b＝|a||b|；④|a||b|0，則a與b的夾角為銳

11、角；⑧若a，b的夾角為θ，則|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影長．其中正確的是________．(填序號) ①②⑥　[由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，則a＝b＝0，故①正確； 若a＋b＝0，則a＝－b，又a，b，c是三個非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，故②正確； a，b共線?a·b＝±|a||b|，所以③不正確； 對于④應有|a||b|≥a·b，所以④不正確； 對于⑤，應該是a·a·a＝|a|2a，所以⑤不正確； ⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正確； 當a與b的夾角為0°時，也有a·b>0，因此⑦錯； |b|

12、cos θ表示向量b在向量a方向上的正投影的數量，而非投影長，故⑧錯．綜上可知①②⑥正確．] 平面向量數量積的幾何意義 【例3】(1)(2019·永州高一檢測)已知向量b的模為1，且b在a方向上的投影的數量為，則a與b的夾角為(　　) A．30°　 B．60°　 C．120°　 D．150° (2)已知平面向量|a|＝2，|b|＝6且a·b＝－4，則a在b上投影的數量為________，b在a上投影的數量為________． [思路探究](1)向量b在a方向上的投影的數量為|b|cos 〈a，b〉，再求向量的夾角． (2)先由平面向量數量積的公式計算cos 〈a，b〉，再

13、計算投影的數量． (1)A(2)－?。?　[(1)因為向量b的模為1.且b在a方向上的投影的數量為，則|b|cos 〈a，b〉＝， 得cos 〈a，b〉＝，因為〈a，b〉∈[0, π]，所以〈a，b〉＝＝30°. (2)因為平面向量|a|＝2，|b|＝6且a·b＝－4， 所以|a||b|cos 〈a，b〉＝－4，得cos 〈a，b〉＝－. 所以a在b上投影的數量為|a|cos 〈a，b〉＝－，b在a上投影的數量為|b|cos 〈a，b〉＝－2.] 關于平面向量數量積的幾何意義的兩點注意事項 (1)向量a在b所在直線上的投影是一個向量，向量a在b所在直線上的投影的數量是一個實數

14、. (2)向量a在向量b上的投影的數量是|a|cos 〈a，b〉，向量b在向量a上的投影的數量是|b|cos〈a，b〉，二者不能混為一談. 4．(2019·青島高一檢測)如圖，圓心為C的圓的半徑為r，弦AB的長度為2，則 ·的值為(　　) A．r　　 B．2r　　 C．1　　 D．2 D　[如圖，作AB的中點H，連接CH，則向量在方向上的投影的數量為AH＝||cos ∠CAB， 所以·＝||||cos ∠CAB＝||||＝2.] 5．已知向量a在向量b上的投影的數量是2，|b|＝3，則a·b＝________. 6　[因為向量a在向量b上的投影的數量是2，|

15、b|＝3，則a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝(|a|cos 〈a，b〉)|b|＝2×3＝6.] 1.對正投影的三點詮釋 (1)a·b等于|a|與b在a方向上的正投影的乘積，也等于|b|與a在b方向上的正投影的乘積．其中a在b方向上的正投影與b在a方向上的正投影是不同的． (2)b在a方向上的正投影為|b|cos θ(θ是a與b的夾角)，也可以寫成 . (3)正投影是一個數量，不是向量，其值可為正，可為負，也可為零． 2.知識導圖 ——向量數量積—— ∣ 1.已知平面向量|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝，則a·b＝(　　) A．2　　 B．3　　　　

16、 C．6　　　　 D．0 B　[因為|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝，則a·b＝|a||b|cos ＝2×3×＝3.] 2.已知平面向量|a|＝1，|b|＝2，則a2＋b2＝(　　) A．2　　 B．3　　　 C．5　　　 D．－5 C　[因為|a|＝1，|b|＝2， 所以a2＋b2＝|a|2＋|b|2＝5.] 3.已知向量|a|＝6，|b|＝2，向量a，b的夾角為120°，則向量a在b上的投影的數量為(　　) A．1　　　 B．3　　　 C．－1　　 D．－3 D　[根據向量數量積的幾何意義，向量a在b上的投影的數量為|a|cos 120°＝6×＝－3.] 4．已知等腰直角三角形ABC中，D是斜邊AB的中點，則CD和AC的夾角為________，和的夾角為________． 45°　135°　[等腰直角三角形ABC中，D是斜邊AB的中點，則CD⊥AB, CD和AC的夾角為45°，和的夾角為135°.] 8