2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題5.2 三角形的重心、垂心、外心和內(nèi)心高效演練學(xué)案

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1、 第2講 三角形的重心、垂心、外心和內(nèi)心 三角形是最重要的基本平面圖形，它包含了豐富的知識，也蘊(yùn)含了深刻的思想，很多較復(fù)雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題。三角形與高中三角函數(shù)、向量、解三角形及立體幾何等部分都有密切的聯(lián)系，因而扎實(shí)掌握三角形的相關(guān)知識是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。 初中階段大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形邊上中線、高線、垂直平分線及內(nèi)角平分線的一些性質(zhì)。如三角形角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等；三角形邊的垂直平分線上的點(diǎn)到這條邊兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，諸如此類。 在高中學(xué)習(xí)中，還會涉及到三角形三條中線交點(diǎn)（重心）、三條高線交點(diǎn)（垂心）、三條邊的垂直平分線交點(diǎn)（外心）及三條內(nèi)角平分線

2、交點(diǎn)（內(nèi)心）的問題，因而有必要進(jìn)一步了解它們的性質(zhì)。 【知識梳理】 三角形的四心 (1)角平分線：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，它到三角形各邊的距離相等． (2)高線：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的垂心． (3)中線：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的重心． (4)垂直平分線：三角形的三條垂直平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的外心，外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等． 【高效演練】 1．如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，則∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝ 　 度． 2．設(shè)為的重心，且，，，則的面積為 　

3、 ． 【解析】由，，，有， 知兩中線，垂直． 于是． 【答案】18 3．已知、分別為銳角的垂心和外心，，垂足為，則________． 【解析】可延長交的外接圓于，證明四邊形為平行四邊形即可． 【答案】2∶1 4. 如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，在OB上任取一點(diǎn)P，連結(jié)AP，過D作AP垂線 交OA于Q點(diǎn)． 求證：OP＝OQ． 【解析】 在△APD中，由AO⊥PD，DQ⊥AP可知，點(diǎn)Q是△APD的垂心，連結(jié)PQ，必有PQ⊥AD． ∵AB⊥AD，∴PQ∥BA， ∴ 又∵OA＝OB，∴OP＝OQ． 5. 如圖3，在△ABC中，AB＝AC，過

4、BC的中點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，G是DE的中點(diǎn)， 求證：AG⊥BE． 6.求證：三角形的三條高交于一點(diǎn). 已知 中，AD與BE交于H點(diǎn). 求證 . 證明 以CH為直徑作圓， 在以CH為直徑的圓上， . 同理，E、D在以AB為直徑的圓上，可得. ， 又與有公共角，，即. 7.（1）設(shè)G是△ABC的重心，證明：△GBC，△GAC，△GAB的面積相等． （2）利用（1）的結(jié)論，證明：三角形頂點(diǎn)到重心的距離，等于重心到對邊中點(diǎn)的距離的2倍． 【分析】（1）設(shè)三條中線為AD，BE，CF，三中線交于G點(diǎn)，G是重心，由同底等高得到S△GBC=2S△

5、GCD，S△GAC=2S△GCD，由此能證明△GBC，△GAC，△GAB的面積相等． （2）設(shè)三條中線為AD，BE，CF，三中線交于G點(diǎn)，G是重心，由S△GBC=S△GAC，S△GBC=2S△GCD，得到S△GAC=2S△GCD，由此能證明三角形頂點(diǎn)到重心的距離，等于重心到對邊中點(diǎn)的距離的2倍． （2）證明：設(shè)三條中線為AD，BE，CF，三中線交于G點(diǎn)，G是重心， ∵△GBC，△GAC，△GAB的面積相等， ∴S△GBC=S△GAC， ∵BD=CD，∴S△GBC=2S△GCD， ∴S△GAC=2S△GCD， ∵△AGC和△DGC在分別以AG和DG為底時(shí)，高都是點(diǎn)C到邊AD的距

6、離， ∴AG=2GD，同理可證CG=2GF，BG=2GE， ∴三角形頂點(diǎn)到重心的距離，等于重心到對邊中點(diǎn)的距離的2倍． 【點(diǎn)評】本題考查三角形面積相等的證明，考查三角形重心定理的證明，解題時(shí)要注意三角形面積公式的合理運(yùn)用 8.已知三角形的三邊a，b，c，三角形的重心到外接圓的距離為d，外接圓半徑為R，求證：a2+b2+c2+9d2=9R2． 【分析】以△ABC的外心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，可令A(yù)、B、C的坐標(biāo)依次是：（Rcosα，Rsinα）、（Rcosβ，Rsinβ）、（Rcosγ，Rsinγ）．令A(yù)B中點(diǎn)為D、△ABC的重心為G（m，n），求出m，n，進(jìn)而可證明a2+b2+c2+9d2

7、=9R2． 于是： a2=（Rcosβ﹣Rcosγ）2+（Rsinβ﹣Rsinγ）2=R2（2﹣2cosβcosγ﹣2sinβsinγ） b2=（Rcosα﹣Rcosγ）2+（Rsinα﹣Rsinγ）2=R2（2﹣2cosαcosγ﹣2sinαsinγ）， c2=（Rcosα﹣Rcosβ）2+（Rsinα﹣Rsinβ）2=R2（2﹣2cosαcosβ﹣2sinαsinβ）． 9d2=9[（m﹣0）2+（n﹣0）2]=9{[R（cosα+cosβ+cosγ）﹣0]2+[R（sinα+sinβ+sinγ）﹣0]2} =R2[（cosα+cosβ+cosγ）2+（sinα+sinβ+

8、sinγ）2] =R2（3+2cosαcosβ+2cosβcosγ+2cosαcosγ+2sinαsinβ+2sinβsinγ+2sinαsinγ）． ∴a2+b2+c2+9d2=9R2． 9.一條直線截三角形，把周長與面積分為對應(yīng)的兩部分：與，與． 求證：直線過三角形內(nèi)心的充要條件是． 【解析】證明： 必要性：如圖1，設(shè)是的內(nèi)心，過的直線交于，交于． 記，， ，，， 內(nèi)切圓半徑為，則， ． 由，有． 充分性：設(shè)直線把的周長與面積分為對應(yīng)的兩部分成等比， 且與交于，與交，與的平分線交于． 記，，，，， 到，的距離為，到的距離為． 由得 注意到，從而有，即， 故為的內(nèi)心，即直線過內(nèi)心． 6