2017-2018學年高中數學 第二章 數列 習題課 數列求和學案 新人教B版必修5

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1、 習題課　數列求和 [學習目標]　1.能由簡單的遞推公式求出數列的通項公式.2.掌握數列求和的幾種基本方法． [預習導引] 1．基本求和公式 (1)等差數列的前n項和公式：Sn＝＝na1＋d. (2)等比數列前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝＝. 2．數列{an}的an與Sn的關系 數列{an}的前n項和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，則an＝ 3．拆項成差求和經常用到下列拆項公式 (1)＝－. (2)＝(－)． (3)＝－. 要點一　分組分解求和 例1　求和：Sn＝(x＋)2＋(x2＋)2＋…＋(xn＋)2. 解　當x≠±1時，

2、Sn＝(x＋)2＋(x2＋)2＋…＋(xn＋)2 ＝(x2＋2＋)＋(x4＋2＋)＋…＋(x2n＋2＋) ＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋(＋＋…＋) ＝＋＋2n ＝＋2n； 當x＝±1時，Sn＝4n. 綜上知，Sn＝ 規(guī)律方法　某些數列，通過適當分組，可得出兩個或幾個等差數列或等比數列，進而利用等差數列或等比數列的求和公式分別求和，從而得出原數列的和． 跟蹤演練1　求數列{an}：1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n項和Sn(其中a≠0)． 解　當a＝1時，則an＝n，于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝. 當a≠1時，an＝＝(1－an)．

3、 ∴Sn＝[n－(a＋a2＋…＋an)]＝[n－]＝－. ∴Sn＝ 要點二　錯位相減法求和 例2　已知等差數列{an}的前3項和為6，前8項和為－4. (1)求數列{an}的通項公式； (2)設bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求數列{bn}的前n項和Sn. 解　(1)設{an}的公差為d，則由已知得即 解得a1＝3，d＝－1，故an＝3－(n－1)＝4－n. (2)由(1)知，bn＝n·qn－1， 于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1， 若q≠1，上式兩邊同乘以q. qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn， 兩

4、式相減得：(1－q)Sn＝1＋q1＋q2＋…＋qn－1－n·qn ＝－n·qn. ∴Sn＝－＝. 若q＝1，則Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝， ∴Sn＝ 規(guī)律方法　用錯位相減法求和時，應注意： (1)要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形； (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．若公比是個參數(字母)，則應先對參數加以討論，一般情況下分等于1和不等于1兩種情況分別求和． 跟蹤演練2　數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N＋)． (1)求數列{an}的通項an； (

5、2)求數列{nan}的前n項和Tn. 解　(1)∵an＋1＝2Sn，∴Sn＋1－Sn＝an＋1＝2Sn， ∴Sn＋1＝3Sn.又∵S1＝a1＝1， ∴數列{Sn}是首項為1，公比為3的等比數列．∴Sn＝3n－1(n∈N＋)． 當n≥2時，an＝2Sn－1＝2·3n－2，且a1＝1， ∴an＝ (2)Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan， 當n＝1時，T1＝1； 當n≥2時，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2， ① ∴3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1， ② ①－②得－2Tn＝2＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1 ＝2＋2·

6、－2n·3n－1＝－1＋(1－2n)·3n－1， ∴Tn＝＋(n－)3n－1(n≥2)， 又∵T1＝a1＝1也滿足上式， ∴Tn＝＋(n－)3n－1(n∈N＋)． 要點三　裂項相消求和 例3　求和：＋＋＋…＋，n≥2. 解　∵＝＝(－)， ∴原式＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)] ＝(1＋－－)＝－. 規(guī)律方法　如果數列的通項公式可轉化為f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂項求和法． 跟蹤演練3　求和：1＋＋＋…＋. 解　∵an＝＝＝2(－)， ∴Sn＝2(1－＋－＋…＋－)＝. 要點四　奇偶并項求和 例4　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2

7、n－1)． 解　當n為奇數時，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1) ＝2·＋(－2n＋1)＝－n. 當n為偶數時，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n. ∴Sn＝(－1)n·n(n∈N＋)． 跟蹤演練4　已知數列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n項和Sn. 解　n為偶數時，令n＝2k(k∈N＋)， Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)2k(6k－2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)] ＝3k＝

8、n； 當n為奇數時，令n＝2k＋1(k∈N＋)． Sn＝S2k＋1＝S2k＋a2k＋1＝3k－(6k＋1)＝. ∴Sn＝ 1．數列{an}的前n項和為Sn，若an＝，則S5等于(　　) A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D. 答案　B 解析　∵an＝＝－， ∴S5＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝. 2．數列1，2，3，4，…的前n項和為(　　) A.(n2＋n＋2)－ B.n(n＋1)＋1－ C.(n2－n＋2)－ D.n(n＋1)＋2(1－) 答案　A 解析　1＋2＋3＋…＋(n＋)＝(1＋2＋…＋n)＋(＋＋…＋)＝＋＝(n2＋n)＋1－＝(n

9、2＋n＋2)－. 3．數列{an}的通項公式an＝，若前n項的和為10，則項數為(　　) A．11 B．99 C．120 D．121 答案　C 解析　∵an＝＝－，∴Sn＝－1＝10，∴n＝120. 4．若數列{an}的前n項和為Sn＝an＋，則數列{an}的通項公式是an＝________. 答案　(－2)n－1 解析　當n＝1時，a1＝S1＝a1＋，解得a1＝1. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(an＋)－(an－1＋)＝an－an－1，整理可得an＝－an－1，即＝－2，故數列{an}是以1為首項，－2為公比的等比數列， 故an＝(－2)n－1. 求數列前n項和，一般有下列幾種方法． 1．錯位相減：適用于一個等差數列和一個等比數列對應項相乘構成的數列求和． 2．分組求和：把一個數列分成幾個可以直接求和的數列． 3．拆項相消：有時把一個數列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和． 4．奇偶并項：當數列通項中出現(xiàn)(－1)n或(－1)n＋1時，常常需要對n取值的奇偶性進行分類討論． 5．倒序相加：例如，等差數列前n項和公式的推導方法． 5