2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修2-2

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1、 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù) 題型一　分類討論思想的應(yīng)用 例1　實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，復(fù)數(shù)(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)滿足下列條件？ (1)是實(shí)數(shù)；(2)是虛數(shù)；(3)是純虛數(shù)． 解　(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)當(dāng)k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1時(shí)，該復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)． (2)當(dāng)k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1時(shí)，該復(fù)數(shù)為虛數(shù)． (3)當(dāng)即k＝4時(shí)，該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)． 反思與感悟　當(dāng)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部含有字母時(shí)，利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念進(jìn)行分類討論．分別確定什么情況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)．

2、當(dāng)x＋yi沒有說明x，y∈R時(shí)，也要分情況討論． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)若復(fù)數(shù)(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是純虛數(shù)，則(　　) A．a(chǎn)＝－1 B．a(chǎn)≠－1且a≠2 C．a(chǎn)≠－1 D．a(chǎn)≠2 答案　C 解析　若一個(gè)復(fù)數(shù)不是純虛數(shù)，則該復(fù)數(shù)是一個(gè)虛數(shù)或是一個(gè)實(shí)數(shù)．當(dāng)a2－a－2≠0時(shí)，已知的復(fù)數(shù)一定不是純虛數(shù)，解得a≠－1且a≠2；當(dāng)a2－a－2＝0且|a－1|－1＝0時(shí)，已知的復(fù)數(shù)也不是一個(gè)純虛數(shù)，解得a＝2.綜上所述，當(dāng)a≠－1時(shí)，已知的復(fù)數(shù)不是一個(gè)純虛數(shù)． (2)實(shí)數(shù)x取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i是：①實(shí)數(shù)；②虛數(shù)；③純虛

3、數(shù)；④零． 解?、佼?dāng)x2－2x－15＝0，即x＝－3或x＝5時(shí)，復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)； ②當(dāng)x2－2x－15≠0，即x≠－3且x≠5時(shí)，復(fù)數(shù)z為虛數(shù)； ③當(dāng)x2＋x－6＝0且x2－2x－15≠0，即x＝2時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)； ④當(dāng)x2＋x－6＝0且x2－2x－15＝0，即x＝－3時(shí)，復(fù)數(shù)z為零． 題型二　數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 例2　已知等腰梯形OABC的頂點(diǎn)A、B在復(fù)平面上對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求頂點(diǎn)C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z. 解　設(shè)z＝x＋yi，x，y∈R，如圖． ∵OA∥BC，|OC|＝|BA|， ∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|， 即 解得或

4、. ∵|OA|≠|(zhì)BC|， ∴x2＝－3，y2＝4(舍去)， 故z＝－5. 反思與感悟　數(shù)形結(jié)合既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法．本章中，復(fù)數(shù)本身的幾何意義、復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)加減法的幾何意義都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)．它們得以相互轉(zhuǎn)化．涉及的主要問題有復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的位置、復(fù)數(shù)運(yùn)算及模的最值問題等． 跟蹤訓(xùn)練2　已知復(fù)數(shù)z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值． 解　(1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2. (2)如圖所示，由|z|＝1可知，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半徑為1，圓心為O(

5、0,0)的圓，而z1對應(yīng)著坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是點(diǎn)Z1(2，－2)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值．由圖知|z－z1|max＝|z1|＋r(r為圓半徑)＝2＋1. 題型三　轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 例3　已知z是復(fù)數(shù)，z＋2i，均為實(shí)數(shù)，且(z＋ai)2的對應(yīng)點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)， 則z＋2i＝x＋(y＋2)i為實(shí)數(shù)，∴y＝－2. 又＝＝(x－2i)(2＋i) ＝(2x＋2)＋(x－4)i為實(shí)數(shù)， ∴x＝4.∴z＝4－2i， 又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)

6、i在第一象限． ∴，解得2

7、乘法，除法類比根式的分子分母有理化，只要注意i2＝－1. 在運(yùn)算的過程中常用來降冪的公式有 (1)i的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈Z)； (2)(1±i)2＝±2i； (3)設(shè)ω＝－±i，則ω3＝1，ω2＝，1＋ω＋ω2＝0，＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω(n∈N＋)等； (4)(±i)3＝－1； (5)作復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，有如下技巧： ＝＝＝i，利用此結(jié)論可使一些特殊的計(jì)算過程簡化． 例4　計(jì)算： (1)(1－i)(－＋i)(1＋i)； (2)＋()2 006. 解　(1)方法一　(1－i)(－＋i)(1＋i) ＝(－＋

8、i＋i－i2)(1＋i) ＝(＋i)(1＋i) ＝＋i＋i＋i2 ＝－1＋i. 方法二　原式＝(1－i)(1＋i)(－＋i) ＝(1－i2)(－＋i)＝2(－＋i)＝－1＋i. (2)＋()2 006＝＋ ＝－＝i－＝i－i＝0. 反思與感悟　復(fù)數(shù)的運(yùn)算可以看作多項(xiàng)式的化簡，加減看作多項(xiàng)式加減，合并同類項(xiàng)，乘法和除法可看作多項(xiàng)式的乘法． 跟蹤訓(xùn)練4　計(jì)算：＋－. 解?。? ＝＋－ ＝＋－ ＝2－(i＋3)－i＝－1－2i. [呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律] 高考對本章考查的重點(diǎn) 1．對復(fù)數(shù)的概念的考查是考查復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)，要求準(zhǔn)確理解虛數(shù)單位、復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、實(shí)部、虛部、復(fù)數(shù)的模等概念． 2．對復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的考查可能性較大，要加以重視，其中復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算類似；對于復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，將分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．最后整理成a＋bi(a，b∈R)的結(jié)構(gòu)形式． 3．對復(fù)數(shù)幾何意義的考查．在高考中一般會(huì)結(jié)合復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算考查復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)加減法的幾何意義． 5