2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步章末復(fù)習(xí)提升學(xué)案 新人教B版必修2

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1、 第一章 立體幾何初步 1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行. 棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形. 棱臺(tái)是棱錐被平行于底面的平面所截而成的. 這三種幾何體都是多面體. (2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球是由平面圖形矩形、直角三角形、直角梯形、半圓面旋轉(zhuǎn)而成的，它們都稱為旋轉(zhuǎn)體.在研究它們的結(jié)構(gòu)特征以及解決應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，常需作它們的軸截面或截面. (3)由柱、錐、臺(tái)、球組成的簡(jiǎn)單組合體，研究它們的結(jié)構(gòu)特征實(shí)質(zhì)是將它們分解成多個(gè)基本幾何體. 2.空間幾何體的三視圖與直觀圖 (

2、1)三視圖是觀察者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫出的圖形； 它包括主視圖、左視圖、俯視圖三種.畫圖時(shí)要遵循“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的原則. 注意三種視圖的擺放順序，在三視圖中，分界線和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫出，不可見(jiàn)輪廓線用虛線畫出.熟記常見(jiàn)幾何體的三視圖.畫組合體的三視圖時(shí)可先拆，后畫，再檢驗(yàn). (2)斜二測(cè)畫法為： 主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫法.它的主要步驟：①畫軸；②畫平行于x、y、z軸的線段分別為平行于x′、y′、z′軸的線段；③截線段：平行于x、z軸的線段的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半. 三視圖和直觀圖都是空間幾何體的不同表示形式，兩

3、者之間可以互相轉(zhuǎn)化，這也是高考考查的重點(diǎn)；根據(jù)三視圖的畫法規(guī)則理解三視圖中數(shù)據(jù)表示的含義，從而可以確定幾何體的形狀和基本量. 3.幾何體的表面積和體積的有關(guān)計(jì)算 (1) 面　積 體　積 圓柱 S側(cè)＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圓錐 S側(cè)＝πrl V＝Sh＝πr2h＝πr2 圓臺(tái) S側(cè)＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h ＝π(r＋r＋r1r2)h 直棱柱 S側(cè)＝Ch V＝Sh 正棱錐 S側(cè)＝Ch′ V＝Sh 正棱臺(tái) S側(cè)＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 (2)在處理有關(guān)體積問(wèn)題時(shí)可以

4、利用等體積變換法. 當(dāng)所給三棱錐的體積套用公式時(shí)某一量(面積或高)不易求出時(shí)，利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面，可以轉(zhuǎn)換為底面面積和高都易求的方式來(lái)計(jì)算. (3)補(bǔ)臺(tái)成錐是常見(jiàn)的解決臺(tái)體側(cè)面積與體積的方法.由臺(tái)體的定義知，在某種情況下，我們可以將臺(tái)體補(bǔ)全成錐體來(lái)研究其體積. (4)割補(bǔ)法：在求一些不規(guī)則的幾何體的體積以及求兩個(gè)幾何體的體積之比時(shí)，經(jīng)常要用到割補(bǔ)法，割補(bǔ)法是割法與補(bǔ)法的總稱.補(bǔ)法是把不熟悉的(或復(fù)雜的)幾何體延伸或補(bǔ)加成熟悉的(或簡(jiǎn)單的)幾何體，把不完整的圖形補(bǔ)成完整的圖形，如長(zhǎng)方體、正方體等.割法是把復(fù)雜的幾何體切割成簡(jiǎn)單的幾何體或體積易求的幾何體.割與補(bǔ)是對(duì)立統(tǒng)一

5、的，是一個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)方面. 4.球與其他幾何體形成的組合體問(wèn)題 球與其他幾何體組成的組合體通常在試題中以相切或相接的形式出現(xiàn)，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系)，從而將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題. 5.線線關(guān)系 空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有相交、平行、異面三種.兩直線垂直有“相交垂直”與“異面垂直”兩種情況. (1)證明線線平行的方法 ①線線平行的定義； ②基本性質(zhì)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行； ③線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；

6、 ④線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b； ⑤面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. (2)證明線線垂直的方法 ①線線垂直的定義：兩條直線所成的角是直角，在研究異面直線所成的角時(shí)，要通過(guò)平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線； ②線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b?α?a⊥b； ③線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α?a⊥b. 6.線面關(guān)系 直線與平面之間的位置關(guān)系有且只有線在面內(nèi)、相交、平行三種 . (1)證明直線與平面平行的方法 ①線面平行的定義； ②判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α； ③平面與平面平行的性質(zhì)：α∥β，a?α?a∥β. (2)證明直線與平

7、面垂直的方法 ①線面垂直的定義； ②判定定理1：?l⊥α； ③判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α； ④面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，a⊥α?a⊥β； ⑤面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 7.面面關(guān)系 兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有平行、相交兩種. (1)證明面面平行的方法 ①面面平行的定義； ②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a?α，b?α，a∩b＝A?α∥β； ③線面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即a⊥α，a⊥β?α∥β； ④基本性質(zhì)4的推廣：平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即α∥γ，β∥γ?α∥β. (2)證明面面

8、垂直的方法 ①面面垂直的定義. ②面面垂直的判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β. 8.證明空間線面平行或垂直需注意的三點(diǎn) (1)由已知想性質(zhì)，由求證想判定. (2)適當(dāng)添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一. (3)用定理時(shí)要先明確條件，再由定理得出相應(yīng)結(jié)論. 9.“升降維”思想 用降維的方法把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面或直線問(wèn)題，可以使問(wèn)題得到解決.用升維的方法把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以從已知探索未知，是“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的重要方法. 平面圖形的翻折問(wèn)題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉(zhuǎn)化運(yùn)用的過(guò)程. 題型一　三視圖與直觀圖 三視圖和直觀圖是空間幾何

9、體的不同表現(xiàn)形式，空間幾何體的三視圖可以使我們很好地把握空間幾何體的性質(zhì).由空間幾何體可以畫出它的三視圖，同樣，由三視圖可以想象出空間幾何體的形狀，兩者之間可以相互轉(zhuǎn)化. 例1　將正方體如圖(1)所示截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖(2)所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為(　　) 答案　B 解析　還原正方體后，將D1，D，A三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線.D1A的射影為C1B，且為實(shí)線，B1C被遮擋應(yīng)為虛線. 跟蹤演練1　若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是(　　) 答案　B 解析　所給選項(xiàng)中，A、C選項(xiàng)的主視圖、俯視圖不符合，D選項(xiàng)的左視圖不符合，只有B選項(xiàng)符

10、合. 題型二　幾何體的表面積與體積 幾何體的表面積和體積的計(jì)算是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到的問(wèn)題，如制作物體的下料問(wèn)題、材料最省問(wèn)題、相同材料容積最大問(wèn)題，都涉及表面積和體積的計(jì)算.特別是特殊的柱、錐、臺(tái)，在計(jì)算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖形的作用，對(duì)于圓柱、圓錐、圓臺(tái)，要重視旋轉(zhuǎn)軸所在軸截面、底面圓的作用.割補(bǔ)法、構(gòu)造法是常用的技巧. 例2　如圖所示，已知三棱柱ABCA′B′C′，側(cè)面B′BCC′的面積是S，點(diǎn)A′到側(cè)面B′BCC′的距離是a，求三棱柱ABCA′B′C′的體積. 解　連接A′B，A′C，如圖所示，這樣就把三棱柱分割成了兩個(gè)棱錐. 設(shè)所求體積為V，

11、顯然三棱錐A′ABC的體積是V. 而四棱錐A′BCC′B′的體積為Sa， 故有V＋Sa＝V，即V＝Sa. 跟蹤演練2　某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A.16＋8π B.8＋8π C.16＋16π D.8＋16π 答案　A 解析　將三視圖還原為原來(lái)的幾何體，再利用體積公式求解. 原幾何體為組合體：上面是長(zhǎng)方體，下面是圓柱的一半(如圖所示)，其體積為V＝4×2×2＋π×22×4＝16＋8π. 題型三　空間中的平行關(guān)系 在本章中，空間中的平行關(guān)系主要是指空間中線與線、線與面及面與面的平行，其中三種關(guān)系相互滲透.在解決線面、面面平行問(wèn)題時(shí)

12、，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而利用性質(zhì)定理時(shí)，其順序相反，且“高維”的性質(zhì)定理就是“低維”的判定定理.特別注意，轉(zhuǎn)化的方法總是由具體題目的條件決定，不能過(guò)于呆板僵化，要遵循規(guī)律而不局限于規(guī)律.如下圖所示是平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的示意圖. 例3　如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在線段PB上是否存在一點(diǎn)F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解　當(dāng)點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)時(shí)，平面AFC∥平面PMD，證明如下：如圖連接AC和BD交于點(diǎn)O，連接FO，那么

13、PF＝PB. ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點(diǎn). ∴OF∥PD.又OF?平面PMD，PD?平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA綊PB，∴PF綊MA.∴四邊形AFPM是平行四邊形.∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD.∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD. 跟蹤演練3　如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點(diǎn). (1)求證：BC⊥平面PAC； (2)設(shè)Q為PA的中點(diǎn)，G為△AOC的重心，求證：QG∥平面PBC. 證明　(1)由AB是圓O的直徑，得AC⊥BC，由PA

14、⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC. (2)如圖，連接OG并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)M， 連接QM，QO，由G為△AOC的重心，得M為AC中點(diǎn). 由Q為PA中點(diǎn)，得QM∥PC， 又O為AB中點(diǎn)，得OM∥BC. 因?yàn)镼M∩MO＝M，QM?平面QMO，MO?平面QMO，BC∩PC＝C，BC?平面PBC，PC?平面PBC， 所以平面QMO∥平面PBC. 因?yàn)镼G?平面QMO，所以QG∥平面PBC. 題型四　空間中的垂直關(guān)系 空間垂直關(guān)系的判定方法： (1)判定線線垂直的方法： ①計(jì)算所成的角為90°

15、(異面直線所成的角)； ②線面垂直的性質(zhì)(若a⊥α，b?α，則a⊥b). (2)判定線面垂直的方法： ①線面垂直定義(一般不易驗(yàn)證任意性)； ②線面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)； ③平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(a∥b，b⊥α?a⊥α)； ④面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)； ⑤面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)； ⑥面面垂直的性質(zhì)(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ). (3)面面垂直的判定方法： ①根據(jù)定義； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β). 例4　如圖，在△ABC中，AC＝BC＝

16、AB，四邊形ABED是邊長(zhǎng)為a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn). (1)求證：GF∥平面ABC. (2)求證：平面EBC⊥平面ACD. (3)求幾何體A－DEBC的體積V. (1)證明　如圖，取BE的中點(diǎn)H，連接HF，GH. 因?yàn)镚，F(xiàn)分別是EC和BD的中點(diǎn)，所以HG∥BC，HF∥DE. 又因?yàn)樗倪呅蜛DEB為正方形， 所以DE∥AB，從而HF∥AB. 所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC. 又因?yàn)镚H∩HF＝H， 所以平面HGF∥平面ABC. 所以GF∥平面ABC. (2)證明　因?yàn)樗倪呅蜛DEB為正方形，所以EB⊥AB.

17、 又因?yàn)槠矫鍭BED⊥平面ABC， 所以BE⊥平面ABC.所以BE⊥AC. 又因?yàn)镃A2＋CB2＝AB2， 所以AC⊥BC. 又因?yàn)锽E∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. 又因?yàn)锳C?平面ACD， 從而平面EBC⊥平面ACD. (3)解　取AB的中點(diǎn)N，連接CN，因?yàn)锳C＝BC， 所以CN⊥AB，且CN＝AB＝a. 又平面ABED⊥平面ABC， 所以CN⊥平面ABED. 因?yàn)镃－ABED是四棱錐， 所以VC－ABED＝SABED·CN＝a2·a＝a3. 即幾何體A－DEBC的體積V＝a3. 跟蹤演練4　如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD

18、＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)，G分別為AC，DC，AD的中點(diǎn). (1)求證：EF⊥平面BCG； (2)求三棱錐D－BCG的體積. 附：錐體的體積公式V＝Sh，其中S為底面面積，h為高. 解　(1)由已知得△ABC≌∠DBC，因此AC＝DC. 又G為AD中點(diǎn)，所以CG⊥AD； 同理BG⊥AD；因此AD⊥平面BCG. 又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG. (2)在平面ABC內(nèi)，作AO⊥CB，交CB延長(zhǎng)線于O. 由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC. 又G為AD中點(diǎn)，因此G到平面BDC的距離h是AO長(zhǎng)度的一半. 在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝，所以 VD－BCG＝VG－BCD＝×S△DBC×h＝××BD×BC×sin 120 °×＝. 1.研究空間幾何體，需在平面上畫出幾何體的直觀圖或三視圖，由幾何體的直觀圖可畫它的三視圖，由三視圖可得到其直觀圖，同時(shí)可以通過(guò)作截面把空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題來(lái)解決. 另外，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式，我們都是通過(guò)展開圖、化空間為平面的方法得到的，求球的切接問(wèn)題通常也是由截面把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決. 2.轉(zhuǎn)化思想是證明線面平行與垂直的主要思路，其關(guān)系為 11