2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 第2節(jié) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版選修4-5

《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 第2節(jié) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版選修4-5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 第2節(jié) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版選修4-5（11頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2節(jié) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例核心必知貝努利(Bernoulli)不等式如果x是實(shí)數(shù)，且x1，x0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1x)n1nx問題思考在貝努利不等式中，指數(shù)n可以取任意實(shí)數(shù)嗎？提示：可以但是貝努利不等式的體現(xiàn)形式有所變化事實(shí)上：當(dāng)把正整數(shù)n改成實(shí)數(shù)后，將有以下幾種情況出現(xiàn)：(1)當(dāng)是實(shí)數(shù)，并且滿足1或者1)(2)當(dāng)是實(shí)數(shù)，并且滿足011)已知Sn1(n1，nN)，求證：S2n1(n2，nN)精講詳析本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，解答本題需要注意n的取值范圍，因?yàn)閚1，nN，因此應(yīng)驗(yàn)證n02時(shí)不等式成立(1)當(dāng)n2時(shí)，S2211，即n2時(shí)命題成立(2)假設(shè)nk(k2，kN)時(shí)命題

2、成立，即S2k11.則當(dāng)nk1時(shí)，S2k111111.故當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立由(1)、(2)知，對nN，n2，S2n1都成立利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk到nk1的變形，為滿足題目的要求，往往要采用“放縮”等手段，例如在本題中采用了“”的變形1證明不等式：12(nN)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊2，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，命題成立，即12.當(dāng)nk1時(shí)，左邊12，現(xiàn)在只需證明2，即證：22k1，兩邊平方，整理：01，顯然成立2成立即1Qn.若x0，則PnQn.若x(1，0)，則P3Q3x30，所以P3Q3.P4Q44x3x4x3(4x)0，所以P4Q4.假設(shè)PkQk

3、(k3)，則Pk1(1x)Pk(1x)QkQkxQk1kxxkx21(k1)xx2x3Qk1x3Qk1，即當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立所以當(dāng)n3，且x(1，0)時(shí)，PnQn.(1)利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小，關(guān)鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個(gè)量的大小關(guān)系，猜測出證明的方向，再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立(2)本題除對n的不同取值會(huì)有Pn與Qn之間的大小變化，變量x也影響Pn與Qn的大小關(guān)系，這就要求我們在探索大小關(guān)系時(shí)，不能只顧“n”，而忽視其他變量(參數(shù))的作用2已知數(shù)列an，bn與函數(shù)f(x)，g(x)，xR，滿足條件：b1b，anf(bn)g(bn1)(nN)若函數(shù)yf(x)為R上的增函數(shù)，g(x)f1

4、(x)，b1，f(1)1，證明：對任意nN，an1an.證明：因?yàn)間(x)f1(x)，所以ang(bn1)f1(bn1)，即bn1f(an)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an1an(nN)(1)當(dāng)n1時(shí)，由f(x)為增函數(shù)，且f(1)1，得a1f(b1)f(1)1，b2f(a1)f(1)1，a2f(b2)f(1)a1，即a2a1，結(jié)論成立(2)假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即ak1ak.由f(x)為增函數(shù)，得f(ak1)f(ak)即bk2bk1，進(jìn)而得f(bk2)f(bk1)即ak2ak1.這就是說當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立根據(jù)(1)和(2)可知，對任意的nN，an1對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你

5、的結(jié)論精講詳析本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用以及探索型問題的求解方法解答本題需要根據(jù)n的取值，猜想出a的最大值，然后再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明當(dāng)n1時(shí)，即，a.(1)n1時(shí)，已證(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，則當(dāng)nk1時(shí)，有.，0，也成立由(1)、(2)可知，對一切nN，都有，a的最大值為25.利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是：先通過觀察、判斷，猜想出結(jié)論， 然后用數(shù)學(xué)歸納法證明這種分析問題和解決問題的思路是非常重要的，特別是在求解存在型或探索型問題時(shí)3對于一切正整數(shù)n，先猜出使tnn2成立的最小的正整數(shù)t，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，并再證明不等式：n(n1)lg(123n)解：猜想當(dāng)t3時(shí)，對

6、一切正整數(shù)n使3nn2成立下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明當(dāng)n1時(shí)，313112，命題成立假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，3kk2成立，則有3kk21.對nk1，3k133k3k23kk22(k21)3k21.(3k21)(k1)22k22k2k(k1)0，3k1(k1)2，對nk1，命題成立由上知，當(dāng)t3時(shí)，對一切nN，命題都成立再用數(shù)學(xué)歸納法證明：n(n1)lg(123n)當(dāng)n1時(shí)，1(11)0lg 1，命題成立假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，k(k1)lg(123k)成立當(dāng)nk1時(shí)，(k1)(k2)k(k1)2(k1)lg(123k)lg 3k1lg(123k)lg(k1)2lg123k(k1)命題成立由上

7、可知，對一切正整數(shù)n，命題成立本課時(shí)考點(diǎn)常與數(shù)列問題相結(jié)合以解答題的形式考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用全國卷將數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法與直線方程相結(jié)合考查，是高考命題的一個(gè)新亮點(diǎn)考題印證(大綱全國卷)函數(shù)f(x)x22x3.定義數(shù)列xn如下：x12，xn1是過兩點(diǎn)P(4，5)、Qn(xn，f(xn)的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(1)證明：2xnxn13；(2)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式命題立意本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題，考查學(xué)生推理論證的能力解(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：2xnxn13.當(dāng)n1時(shí)，x12，直線PQ1的方程為y5(x4)，令y0，解得x2，所以2x1x23.假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，結(jié)論成立，即2xkxk13.

8、直線PQk1的方程為y5(x4)，令y0，解得xk2.由歸納假設(shè)知xk2443；xk2xk10，即xk1xk2.所以2xk1xk23，即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由、知對任意的正整數(shù)n，2xnxn13.(2)由(1)及題意得xn1.設(shè)bnxn3，則1，5，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為5的等比數(shù)列因此5n1，即bn，所以數(shù)列xn的通項(xiàng)公式為xn3.一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式12(n2，nN)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A12B12C12 D1(n2，nN)”時(shí)的過程中，由nk到nk1時(shí)，不等式的左邊()A增加了一項(xiàng)B增加了兩項(xiàng)，C增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)D增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)解析：選C當(dāng)nk時(shí)，左邊

9、.當(dāng)nk1時(shí)，左邊.故由nk到nk1時(shí)，不等式的左邊增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)二、填空題5證明11)，當(dāng)n2時(shí)，要證明的式子為_解析：當(dāng)n2時(shí)，要證明的式子為213.答案：2136用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nN，12222325n1是31的倍數(shù)時(shí)，當(dāng)n1時(shí)原式為_，從k到k1時(shí)需增添的項(xiàng)是_解析：當(dāng)n1時(shí)，原式為12222325112222324.從k到k1時(shí)需增添的項(xiàng)是25k25k125k225k325k4.答案：1222232425k25k125k225k325k47利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，n的最小取值n0應(yīng)為_解析：n01時(shí)不成立，n02時(shí)，an1，則a0的取值范圍是_解析：取n1，2，則a1

10、a013a00，a2a16a00，0a0.答案：三、解答題9用數(shù)學(xué)歸納法證明：12(n2，nN)證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，12，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即12，當(dāng)nk1時(shí)，12n2成立，所以歸納猜想2n2n2成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，左邊2124；右邊1，左邊右邊，所以原不等式成立；當(dāng)n2時(shí)，左邊2226，右邊224，所以左邊右邊；當(dāng)n3時(shí)，左邊23210，右邊329，所以左邊右邊假設(shè)nk時(shí)(k3且kN)時(shí)，不等式成立，即2k2k2.那么nk1時(shí)2k1222k22(2k2)22k22.又因?yàn)?k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，即2k12(k1)2成立根據(jù)和可知，2n2n2對于任何nN都成立11已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)a12，公比q3，Sn是它的前n項(xiàng)和求證：.證明：由已知，得Sn3n1，等價(jià)于，即3n2n1.(*)法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明上面不等式成立當(dāng)n1時(shí)，左邊3，右邊3，所以(*)成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，(*)成立，即3k2k1，那么當(dāng)nk1時(shí)，3k133k3(2k1)6k32k32(k1)1，所以當(dāng)nk1時(shí)，(*)成立綜合，得3n2n1成立所以.法二：當(dāng)n1時(shí)，左邊3，右邊3，所以(*)成立當(dāng)n2時(shí)，3n(12)nCC2C22C2n12n12n，所以(*)成立所以. 11