《數列的綜合問題》word版

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1、北京市2014屆高三理科數學一輪復習試題選編14：數列的綜合問題 一、選擇題 ．（2013北京海淀二模數學理科試題及答案）若數列滿足:存在正整數,對于任意正整數都有成立,則稱數列為周期數列,周期為. 已知數列滿足, 則下列結論中錯誤的是 （　　） A．若,則可以取3個不同的值 B．若,則數列是周期為的數列 C．且,存在,是周期為的數列 D．且,數列是周期數列 ．（2013北京昌平二模數學理科試題及答案）設等比數列的公比為,其前項的積為,并且滿足條件,,.給出下列結論: ① ; ② ; ③ 的

2、值是中最大的; ④ 使成立的最大自然數等于198. 其中正確的結論是 （　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空題 2 4 （3題圖） ．（2013屆北京市延慶縣一模數學理）以下是面點師一個工作環(huán)節(jié)的數學模型：如圖，在數軸上截取與閉區(qū)間對應的線段，對折后（坐標4所對應的點與原點重合）再均勻地拉成4個單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（例如在第一次操作完成后，原來的坐標1、3變成2，原來的坐標2變成4，等等）.那么原閉區(qū)間上（除兩個端點外）的點，在第次操作完成后，恰好被拉到與4重合的點所對應的坐標為，則

3、 ； . （北京市豐臺區(qū)2013屆高三上學期期末考試 數學理試題 ）右表給出一個“三角形數陣”.已知每一列數成等差數列，從第三行起，每一行數成等比數列，而且每一行的公比都相等，記第行第列的數為（），則等于 ，. ． ．（北京市石景山區(qū)2013屆高三一模數學理試題）對于各數互不相等的整數數組()(是不小于3的正整數),若對任意的∈{},當時有,則稱是該數組的一個“逆序”.一個數組中所有“逆序”的個數稱為該數組的“逆序數”,如數組(2,3,1)的逆序數等于2.則數組(5,2,4,3,1)的逆序數等于________;若數組()的逆

4、序數為,則數組()的逆序數為___________. ．（2013朝陽二模數學理科）數列的前項組成集合,從集合中任取個數,其所有可能的個數的乘積的和為(若只取一個數,規(guī)定乘積為此數本身),記.例如當時,,,;當時,,,,.則當時,______;試寫出______. ．（2013屆西城區(qū)一模理科）記實數中的最大數為，最小數為.設△的三邊邊長分別為，且，定義△的傾斜度為． （?。┤簟鳛榈妊切危瑒t______； （ⅱ）設，則的取值范圍是______． ．（海淀區(qū)北師特學校13屆高三第四次月考理科）對任意，函數滿足，設，數列的前15項的和為，則 ． ．（北京

5、市東城區(qū)2013屆高三上學期期末考試數學理科試題）定義映射，其中，，已知對所有的有序正整數對滿足下述條件: ①；②若，；③， 則 ， ． ．（2013北京東城高三二模數學理科）在數列中,若對任意的,都有(為常數),則稱數列 為比等差數列,稱為比公差.現給出以下命題: ①等比數列一定是比等差數列,等差數列不一定是比等差數列; ②若數列滿足,則數列是比等差數列,且比公差; ③若數列滿足,,(),則該數列不是比等差數列; ④若是等差數列,是等比數列,則數列是比等差數列. 其中所有真命題的序號是 . ．（北京市朝陽區(qū)2013屆高三上學期期末考試數學

6、理試題 ）將整數填入如圖所示的行列的表格中，使每一行的數字從左到右都成遞增數列，則第三列各數之和的最小值為 ，最大值為 . ．（2013北京房山二模數學理科試題及答案）在數列中,如果對任意的,都有(為常數),則稱數列為比等差數列,稱為比公差.現給出以下命題: ①若數列滿足,則該數列不是比等差數列; ②若數列滿足,則數列是比等差數列,且比公差; ③等比數列一定是比等差數列,等差數列一定不是比等差數列; ④若是等差數列,是等比數列,則數列是比等差數列. 其中所有真命題的序號是____ . 三、解答題 ．（海淀區(qū)2013屆高三上學期期中練習數學（理）

7、）已知數集具有性質P:對任意的,,使得成立. (Ⅰ)分別判斷數集與是否具有性質P,并說明理由; (Ⅱ)求證:; (Ⅲ)若,求數集中所有元素的和的最小值. ．（2013屆北京海濱一模理科）設為平面直角坐標系上的兩點，其中.令，，若,且，則稱點為點的“相關點”，記作：. 已知為平面上一個定點，平面上點列滿足：，且點的坐標為，其中. （Ⅰ）請問：點的“相關點”有幾個？判斷這些“相關點”是否在同一個圓上，若在同一個圓上，寫出圓的方程；若不在同一個圓上，說明理由； （Ⅱ）求證：若與重合，一定為偶數；（Ⅲ）若，且，記，求的最大值. ．（西城區(qū)2013屆

8、高三上學期期末考試數學理科）如圖，設是由個實數組成的行列的數表，其中表示位于第行第列的實數，且.記為所有這樣的數表構成的集合．對于，記為的第行各數之積，為的第列各數之積．令． （Ⅰ）請寫出一個，使得； （Ⅱ）是否存在，使得？說明理由； （Ⅲ）給定正整數，對于所有的，求的取值集合． ．（2011年高考（北京理）） 若數列滿足,則稱為數列.記 (Ⅰ)寫出一個滿足,且的數列; (Ⅱ)若,證明: 數列是遞增數列的充要條件是; (Ⅲ)對任意給定的整數,是否存在首項為0的數列,使得?如果存在,寫出一個滿足條件的數列;如果不存在,說明理由.

9、 ．（2013豐臺二模數學理科）已知等差數列的通項公式為,等比數列中,.記集合 ,,把集合中的元素按從小到大依次排列,構成數列. (Ⅰ)求數列的通項公式,并寫出數列的前4項; (Ⅱ)把集合中的元素從小到大依次排列構成數列,求數列的通項公式,并說明理由; (Ⅲ)求數列的前n項和 ．（北京市朝陽區(qū)2013屆高三第一次綜合練習理科數學）設是數的任意一個全排列,定義,其中. (Ⅰ)若,求的值; (Ⅱ)求的最大值; (Ⅲ)求使達到最大值的所有排列的個數. ．（順義13屆高三第一次統練理科）已

10、知數列的前項和為,且點在函數的圖像上. (I)求數列的通項公式; (II)設數列滿足:,求數列的前項和公式; (III)在第(II)問的條件下,若對于任意的不等式恒成立,求實數的取值范圍 ．（豐臺區(qū)2013屆高三上學期期末理 ）已知曲線，是曲線C上的點，且滿足，一列點在x軸上，且是坐標原點）是以為直角頂點的等腰直角三角形． （Ⅰ）求、的坐標； （Ⅱ）求數列的通項公式； （Ⅲ）令，是否存在正整數N，當n≥N時，都有，若存在，求出N的最小值并證明；若不存在，說明理由． ．（海淀區(qū)2013屆高三上學期期末理科）已知函數的定義

11、域為，若在上為增函數，則稱為“一階比增函數”；若在上為增函數，則稱為“二階比增函數”.我們把所有“一階比增函數”組成的集合記為，所有“二階比增函數”組成的集合記為. (Ⅰ)已知函數，若且，求實數的取值范圍； (Ⅱ)已知，且的部分函數值由下表給出， 求證：； (Ⅲ)定義集合請問：是否存在常數，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由. ．（石景山區(qū)2013屆高三上學期期末理）定義：如果數列的任意連續(xù)三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱為“三角形”數列．對于“三角形”數列，如果函數使得仍為一個“三角形”數列

12、，則稱是數列的“保三角形函數”． （Ⅰ）已知是首項為，公差為的等差數列，若是數列的“保三角形函數”，求的取值范圍； （Ⅱ）已知數列的首項為，是數列的前n項和，且滿足，證明是“三角形”數列； （Ⅲ）若是（Ⅱ）中數列的“保三角形函數”，問數列最多有多少項? (解題中可用以下數據 :) ．（朝陽區(qū)2013屆高三上學期期中考試（理））給定一個項的實數列,任意選取一個實數,變換將數列變換為數列,再將得到的數列繼續(xù)實施這樣的變換,這樣的變換可以連續(xù)進行多次,并且每次所選擇的實數可以不相同,第次變換記為,其中為第次變換時選擇的實數.如果通過次變換后,數列中的各項均為,則稱,

13、 ,,為 “次歸零變換”. (Ⅰ)對數列:1,3,5,7,給出一個 “次歸零變換”,其中; (Ⅱ)證明:對任意項數列,都存在“次歸零變換”; (Ⅲ)對于數列,是否存在“次歸零變換”?請說明理由. ．（2013屆豐臺區(qū)一模理科）設滿足以下兩個條件的有窮數列為n（n=2,3,4,…,）階“期待數列”： ① ；② . （Ⅰ）分別寫出一個單調遞增的3階和4階“期待數列”； （Ⅱ）若某2k+1()階“期待數列”是等差數列，求該數列的通項公式； （Ⅲ）記n階“期待數列”的前k項和為， 試證：（1）； （2） ．（2013北京

14、昌平二模數學理科試題及答案）本小題滿分14分) 設數列對任意都有(其中、、是常數) . (I)當,,時,求; (II)當,,時,若,,求數列的通項公式; (III)若數列中任意(不同)兩項之和仍是該數列中的一項,則稱該數列是“封閉數列”.當,,時,設是數列的前項和,,試問:是否存在這樣的“封閉數列” ,使得對任意,都有,且.若存在,求數列的首項的所有取值;若不存在,說明理由. ．（昌平區(qū)2013屆高三上學期期末理）已知每項均是正整數的數列，其中等于的項有個，設， （Ⅰ）設數列，求； （Ⅱ）若中最大的項為50， 比較的大??； （Ⅲ）若，求函數的最小

15、值． ．（2013北京朝陽二模數學理科試題）已知實數()滿足,記. (Ⅰ)求及的值; (Ⅱ)當時,求的最小值; (Ⅲ)求的最小值. 注:表示中任意兩個數,()的乘積之和. ．（北京四中2013屆高三上學期期中測驗數學(理)）已知(,),(,)是函數的圖象上的任意兩點(可以重合),點在直線上,且. (1)求+的值及+的值 (2)已知,當時,+++,求; (3)在(2)的條件下,設=,為數列{}的前項和,若存在正整數、,使得不等式成立,求和的值. ．（2013北京海淀二模數學理科試題及答案）(本小題滿分13分

16、) 1 2 3 1 0 1 設是由個實數組成的行列的數表,如果某一行(或某一列)各數之和為負數,則改變該行(或該列)中所有數的符號,稱為一次“操作”. (Ⅰ) 數表如表1所示,若經過兩次“操作”,使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負實數,請寫出每次“操作”后所得的數表(寫出一種方法即可);表1 (Ⅱ) 數表如表2所示,若必須經過兩次“操作”,才可使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數,求整數的所有可能值; (Ⅲ)對由個實數組成的行列的任意一個數表,能否經過有限次 “操作”以后,使得到的數表每行的各數之 表2和與每列的各數之和均為非負

17、整數?請說明理由. ．（2013北京房山二模數學理科試題）設,對于項數為的有窮數列,令為中的最大值,稱數列為的“創(chuàng)新數列”.例如數列3,5,4,7的創(chuàng)新數列為3,5,5,7.考查自然數的所有排列,將每種排列都視為一個有窮數列. (Ⅰ)若,寫出創(chuàng)新數列為3,5,5,5,5的所有數列; (Ⅱ)是否存在數列的創(chuàng)新數列為等比數列?若存在,求出符合條件的創(chuàng)新數列;若不存在,請說明理由; (Ⅲ)是否存在數列,使它的創(chuàng)新數列為等差數列?若存在,求出所有符合條件的數列的個數;若不存在,請說明理由. ．（東城區(qū)2013屆高三

18、上學期期末考試數學理科）已知實數組成的數組滿足條件： ①； ②. (Ⅰ) 當時，求，的值； （Ⅱ）當時，求證：； （Ⅲ）設,且，求證：. ．（東城區(qū)普通校2013屆高三3月聯考數學（理）試題 ）設，，…是首項為1，公比為2的等比數列，對于滿足的整數，數列，，… 由 確定。記 (Ⅰ)當時，求的值； (Ⅱ)求的最小值及相應的的值 ．（2013西城二模）已知集合是正整數的一個排列,函數對于，定義: ,稱為的滿意指數.排列為排列的生成列;排列為排列的母列. (Ⅰ)當時,寫出排列的生成列及排列的母列; (Ⅱ)證明:若和為中兩個不同排列,則它

19、們的生成列也不同; (Ⅲ)對于中的排列,定義變換:將排列從左至右第一個滿意指數為負數的項調至首項,其它各項順序不變,得到一個新的排列.證明:一定可以經過有限次變換將排列變換為各項滿意指數均為非負數的排列. ．（2013北京東城高三二模數學理科）已知數列,,,,. (Ⅰ)求,; (Ⅱ)是否存在正整數,使得對任意的,有; (Ⅲ)設,問是否為有理數,說明理由. ．（2013北京高考數學（理））已知是由非負整數組成的無窮數列,該數列前項的最大值記為,第項之后各項,,的最小值記為， (1)若為是一個周期為的數列（即對任意），寫出的值； (2) 設是非負整

20、數，證明：（）的充分必要條件為是公差為的等差數列； (3) 證明：若，（），則的項只能是或者，且有無窮多項為 ．（石景山區(qū)2013屆高三一模數學理）給定有限單調遞增數列 ()且(),定義集合.若對任意點存在點使得(為坐標原點),則稱數列具有性質. (I)判斷數列:和數列:是否具有性質,簡述理由. (II)若數列具有性質,求證: ①數列中一定存在兩項使得； ②若且,則. (Ⅲ)若數列只有2013項且具有性質,,求的所有項和. ．（2013屆北京西城區(qū)一模理科）已知集合． 對于，，定義； ；與之間的距離為． （Ⅰ）當時，設，．

21、若，求； （Ⅱ）（?。┳C明：若，且，使，則； （ⅱ）設，且．是否一定，使？說明理由； （Ⅲ）記．若，，且，求的最大值． ．（海淀區(qū)2013屆高三5月查缺補漏數學（理））數列的各項都是正數,前項和為,且對任意, 都有. (Ⅰ)求證:; (Ⅱ)求數列的通項公式. ．（通州區(qū)13屆高三上學期期末理科）現有一組互不相同且從小到大排列的數據，其中． 記，，作函數，使其圖象為逐點依次連接點的折線． （Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）設直線的斜率為，判斷的大小關系； （Ⅲ）證明：當時，． ．（朝陽區(qū)2013屆高三上學期期末

22、考試數學理試題 ）將正整數（）任意排成行列的數表.對于某一個數表，計算各行和各列中的任意兩個數（）的比值，稱這些比值中的最小值為這個數表的“特征值”. （Ⅰ）當時，試寫出排成的各個數表中所有可能的不同“特征值”； （Ⅱ）若表示某個行列數表中第行第列的數（，）， 且滿足請分別寫出時數表的“特征值”，并由此歸納此類數表的“特征值”（不必證明）； （Ⅲ）對于由正整數排成的行列的任意數表，記其“特征值”為，求證：. ．（2013屆北京大興區(qū)一模理科）已知數列的各項均為正整數，且， 設集合。 性質1 若對于，存在唯一一組（）使成立，則稱數列為完備數列，當k取

23、最大值時稱數列為k階完備數列。 性質2 若記，且對于任意，，都有成立，則稱數列為完整數列，當k取最大值時稱數列為k階完整數列。 性質3 若數列同時具有性質1及性質2，則稱此數列為完美數列，當取最大值時稱為階完美數列； （Ⅰ）若數列的通項公式為，求集合，并指出分別為幾階完備數列，幾階完整數列，幾階完美數列； （Ⅱ）若數列的通項公式為，求證：數列為階完備數列，并求出集合中所有元素的和。 （Ⅲ）若數列為階完美數列，求數列的通項公式。 ．（2010年高考（北京理））已知集合對于,,定義與的差為 與之間的距離為 (Ⅰ)證明:,且; (Ⅱ)證明:三個數中至少有一個是偶數; (Ⅲ) 設,中有(≥2)個元素,記中所有兩元素間距離的平均值為(), 證明:()≤.