2019版高考物理二輪復習 專題一 力與運動 第4講 萬有引力定律及其應用學案

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1、第4講萬有引力定律及其應用 主干知識體系 核心再現(xiàn)及學科素養(yǎng) 知識規(guī)律 (1)一條黃金代換：GM＝gR2. (2)兩條基本思路． ①天體附近：G＝mg. ②環(huán)繞衛(wèi)星：G＝m＝mrω2＝mr2. (3)兩類衛(wèi)星． ①近地衛(wèi)星：G＝mg＝m. ②同步衛(wèi)星：G＝m(R＋h)2(T＝24 h)． (4)雙星：＝m1ω2r1＝m2ω2r2 r1＋r2＝L 思想方法 (1)物理思想：估算的思想、物理模型的思想． (2)物理方法：放大法、假設法、近似法. 1．(2018·全國Ⅰ卷，20)(多選)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波．根據(jù)科學家們復原

2、的過程，在兩顆中子星合并前約100 s時，它們相距約400 km，繞二者連線上的某點每秒轉動12圈．將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星(　　) A．質量之積 B．質量之和 C．速率之和 D．各自的自轉角速度 BC　[兩顆中子星運動到某位置的示意圖如圖所示 每秒轉動12圈，角速度已知， 中子星運動時，由萬有引力提供向心力得 ＝m1ω2r1① ＝m2ω2r2② l＝r1＋r2③ 由①②③式得＝ω2l， 所以m1＋m2＝， 質量之和可以估算． 由線速度與角速度的關系v＝ωr得 v1＝ωr1④

3、 v2＝ωr2⑤ 由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．質量之積和各自自轉的角速度無法求解．] 2．(2018·全國Ⅱ卷，16)2018年2月，我國500 m口徑射電望遠鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉周期T＝5.19 ms.假設星體為質量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10－11N·m2/kg2.以周期T穩(wěn)定自轉的星體的密度最小值約為(　　) A．5×109kg/m2 B．5×1012kg/m3 C．5×1015kg/m3 D．5×1018kg/m3 C　[脈沖星自轉，邊緣物體m恰對球體無壓力時萬有引力提供向心力，則有

4、G＝mr， 又知M＝ρ·πr3 整理得密度 ρ＝＝kg/m3 ≈5.2×1015kg/m3.] 3．(2018·全國Ⅲ卷，15)為了探測引力波，“天琴計劃”預計發(fā)射地球衛(wèi)星P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍；另一地球衛(wèi)星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍．P與Q的周期之比約為(　　) A．2∶1 B．4∶1 C．8∶1 D．16∶1 C　[由G＝mr知，＝，則兩衛(wèi)星＝. 因為rP∶rQ＝4∶1，故TP∶TQ＝8∶1.] 4．(2018·天津卷，6)(多選)2018年2月2日，我國成功將電磁監(jiān)測試驗衛(wèi)星“張衡一號”發(fā)射升空，標志我國成為世界上少數(shù)擁有在軌運行高精度地球物理場探測衛(wèi)

5、星的國家之一．通過觀測可以得到衛(wèi)星繞地球運動的周期，并已知地球的半徑和地球表面處的重力加速度．若將衛(wèi)星繞地球的運動看作是勻速圓周運動，且不考慮地球自轉的影響，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以計算出衛(wèi)星的(　　) A．密度 B．向心力的大小 C．離地高度 D．線速度的大小 CD　[設人造地球衛(wèi)星的周期為T，地球質量和半徑分別為M、R，衛(wèi)星的軌道半徑為r，則在地球表面：G＝mg，GM＝gR2① 對衛(wèi)星：根據(jù)萬有引力提供向心力，有 G＝m2r② 聯(lián)立①②式可求軌道半徑r，而r＝R＋h，故可求得衛(wèi)星離地高度．由v＝rω＝r，從而可求得衛(wèi)星的線速度． 衛(wèi)星的質量未知，故衛(wèi)星的密度不能求出，萬有引力即向

6、心力Fn＝G也不能求出．故選項C、D正確．] 5．(2016·高考全國卷Ⅰ，17)利用三顆位置適當?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點之間保持無線電通訊．目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍．假設地球的自轉周期變小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn)上述目的，則地球自轉周期的最小值約為(　　) A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h B　[地球自轉周期變小，衛(wèi)星要與地球保持同步，則衛(wèi)星的公轉周期也應隨之變小，由開普勒第三定律＝k可知衛(wèi)星離地球的高度應變小，要實現(xiàn)三顆衛(wèi)星覆蓋全球的目的，則衛(wèi)星周期最小時，由數(shù)學幾何關系可作出他們間的位置關系如圖所示． 衛(wèi)星的軌道半

7、徑為r＝＝2R 由＝得＝. 解得T2≈4 h．] [考情分析] ■命題特點與趨勢 1．近幾年有關萬有引力定律及其應用的題目在高考中通常以選擇題的形式出現(xiàn)，極個別情況下會出現(xiàn)在計算題中，難度一般中等；在考查內容上一般考查對描述天體運動參量間的關系、天體質量(密度)的估算、萬有引力定律等基本概念和基本規(guī)律的理解與應用，有時還會涉及能量知識，同時還會考查運用控制變量法進行定性判斷或定量計算的能力． 2．從命題趨勢上看，分析人造衛(wèi)星的運行規(guī)律，仍是考試中的熱點，以近幾年中國及世界空間技術和宇宙探索為背景的題目備受青睞，會形成新情景的物理題． ■解題要領 1．正確理解萬有引力及萬有引力定

8、律，掌握天體質量和密度的估算方法，熟悉一些天體的運行常識． 2．結合牛頓第二定律、向心力公式和萬有引力定律分析計算衛(wèi)星運行及衛(wèi)星變軌問題． 高頻考點一　萬有引力定律及天體質量和密度的求解 [備考策略] 1．利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R. 由于G＝mg，故天體質量M＝，天體密度ρ＝＝＝. 2．通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑r. (1)由萬有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天體質量M＝； (2)若已知天體半徑R，則天體的平均密度ρ＝＝＝； (3)若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運動，可認為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝.可見，只

9、要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度． [題組突破] 1－1.理論上已經(jīng)證明：質量分布均勻的球殼對殼內物體的萬有引力為零．現(xiàn)假設地球是一半徑為R、質量分布均勻的實心球體，O為球心，以O為原點建立坐標軸Ox，如圖所示，一個質量一定的小物體(假設它能夠在地球內部移動)在x軸上各位置受到的引力大小用F表示，則選項所示的四個F隨x變化的關系圖中正確的是(　　) A　[選A.因為質量分布均勻的球殼對殼內物體的萬有引力為零，則在距離球心x處(x≤R)物體所受的引力為F＝＝＝Gπρmx∝x，故F－x圖線是過原點的直線；當x>R時，F(xiàn)＝＝＝∝，故選項A正確．] 1－2.

10、(2018·湖北省麻城一中高考沖刺模擬)宇宙中有兩顆相距很遠的行星A和B，它們的半徑分別為RA和RB.兩顆行星周圍衛(wèi)星的軌道半徑的三次方(r3)與運行周期的平方(T2)的關系如圖所示；T0為兩顆行星近地衛(wèi)星的周期，則(　　) A．行星A的質量小于行星B的質量 B．行星A的密度小于行星B的密度 C．行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度 D．若兩衛(wèi)星軌道半徑相等，行星A的衛(wèi)星向心加速度大于行星B的衛(wèi)星向心加速度 D　[A.根據(jù)萬有引力提供向心力，有：＝，解得T＝，對于環(huán)繞行星A表面運行的衛(wèi)星，有：T0＝，對于環(huán)繞行星B表面運行的衛(wèi)星，有T0＝，聯(lián)立解得＝，由圖知RA>RB，所

11、以MA>MB，故A錯誤；B.A行星質量為：MA＝ρA·πR，B行星的質量為：MB＝ρB·πR，代入解得＝，解得ρA＝ρB，故B錯誤；C、行星的近地衛(wèi)星的線速度 即第一宇宙速度，根據(jù)萬有引力提供向心力，有：＝，解得 v＝＝＝R∝R，因為RA>RB，所以vA>vB，故C錯誤；D、根據(jù)＝ma知，a＝，由于MA>MB，行星運動的軌道半徑相等，則行星A的衛(wèi)星的向心加速度大于行星B的衛(wèi)星的向心加速度，故D正確；故選D.] 1－3.(2018·山東省濰坊市昌樂縣二中高三下學期質檢)已知某星球的第一宇宙速度與地球相同，其表面的重力加速度為地球表面重力加速度的一半，則該星球的平均密度與地球平均密度的比值為

12、(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1∶16 B．16∶1 C．4∶1 D．1∶4 D　[根據(jù)mg＝m得，第一宇宙速度v＝，因為星球和地球的第一宇宙速度相同，表面的重力加速度為地球表面重力加速度的一半，則星球的半徑是地球半徑的2倍，根據(jù)G＝mg知，M＝，知星球的質量是地球質量的2倍，根據(jù)ρ＝＝知，星球的平均密度與地球平均密度的比值為1∶4，故D正確，A、B、C錯誤．故選D.] 高頻考點二　天體和衛(wèi)星的運行 [備考策略] 1．熟記衛(wèi)星的繞行速度v、角速度ω、周期T與軌道半徑r的關系 (1)由G＝m，得v＝，則r越大，v越?。? (2)由G＝mω2r，得ω＝，則r越

13、大，ω越?。? (3)由G＝mr，得T＝2π，則r越大，T越大． 2．第一宇宙速度是指發(fā)射人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造衛(wèi)星環(huán)繞地球運動的最大環(huán)繞速度．其求解方法是：G＝m. 3．同步衛(wèi)星的周期與地球的自轉周期相同，是24 h，同步衛(wèi)星只能定點于赤道上空，其離地高度是一定的，速度大小是確定的． [命題視角] 考向1　衛(wèi)星的a、v、ω、T與半徑r的關系 例1　(多選)衛(wèi)星A、B的運行方向相同，其中B為近地衛(wèi)星，某時刻，兩衛(wèi)星相距最近(O、B、A在同一直線上)，已知地球半徑為R，衛(wèi)星A離地心O的距離是衛(wèi)星B離地心的距離的4倍，地球表面重力加速度為g，則(　　) A．衛(wèi)星A、B

14、的運行周期的比值為＝ B．衛(wèi)星A、B的運行線速度大小的比值為＝ C．衛(wèi)星A、B的運行加速度的比值為＝ D．衛(wèi)星A、B至少經(jīng)過時間t＝，兩者再次相距最近 BD　[由地球對衛(wèi)星的引力提供向心力G＝mr知T＝2π∝，而rA＝4rB，所以衛(wèi)星A、B的運行周期的比值為＝，A項錯誤；同理，由G＝m得v＝∝，所以衛(wèi)星A、B的運行線速度大小的比值為＝，B項正確；由G＝ma得a＝∝，所以衛(wèi)星A、B的運行加速度的比值為＝，C項錯誤；由T＝2π及地球表面引力等于重力大小G＝ mg知T＝2π，由于B為近地衛(wèi)星，所以TB＝2π，當衛(wèi)星A、B再次相距最近時，衛(wèi)星B比衛(wèi)星A多運行了一周，即t＝2π，聯(lián)立可得t＝，

15、D項正確．] 考向2　同步衛(wèi)星的理解 例2　(2018·高考物理全真模擬二)已知一質量為m的物體靜止在北極與赤道對地面的壓力差為ΔN，假設地球是質量均勻的球體，半徑為R，則地球的自轉周期為(設地球表面的重力加速度為g)(　　) A．地球的自轉周期為T＝2π B．地球的自轉周期為T＝π AC　[在北極FN1＝G，在赤道G－FN2＝mR，根據(jù)題意，有FN1－FN2＝ΔN，聯(lián)立計算得出：T＝2π，所以A正確的，B錯誤；萬有引力提供同步衛(wèi)星的向心力，則：G＝m′，聯(lián)立可得：r3＝，又地球表面的重力加速度為g，則：mg＝G，得：r＝ R，C正確，D錯誤；故選A、C.] [歸納反思] 解

16、答衛(wèi)星問題的三個關鍵點 1．若衛(wèi)星做圓周運動：根據(jù)G＝m＝mω2r＝mr＝ma分析，可得：v＝∝、ω＝∝、T＝∝、a＝∝，即“高軌低速周期長，低軌高速周期短”． 2．若衛(wèi)星做橢圓運動：根據(jù)開普勒行星運動定律分析求解．可根據(jù)開普勒第二定律分析衛(wèi)星的速率變化規(guī)律，根據(jù)開普勒第三定律分析計算衛(wèi)星的周期． 3．注意事項：注意同步衛(wèi)星與地球赤道上物體的區(qū)別與聯(lián)系，注意黃金代換公式GM＝gR2的靈活應用． [題組突破] 2－1.(2018·山東省青島市高三統(tǒng)一質檢)2018年1月19日，以周總理命名的“淮安號”恩來星在甘肅酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心，搭乘長征－11號火箭順利發(fā)射升空．“淮安號”恩來星在距離

17、地面高度為535 km的極地軌道上運行．已知地球同步衛(wèi)星軌道高度約36000 km，地球半徑約6400 km.下列說法正確的是(　　) A．“淮安號”恩來星的運行速度小于7.9 km/s B．“淮安號”恩來星的運行角速度小于地球自轉角速度 C．經(jīng)估算，“淮安號”恩來星的運行周期約為1.6 h D．經(jīng)估算，“淮安號”恩來星的加速度約為地球表面重力加速度的三分之二 AC　[A.據(jù)G＝m，解得：v＝，則“淮安號”恩來星的運行速度小于第一宇宙速度7.9 km/s.故A項正確．B：據(jù)G＝mrω2，解得：ω＝，則“淮安號”恩來星的運行角速度大于地球同步衛(wèi)星的角速度，即“淮安號”恩來星的運行角速度

18、大于地球自轉角速度．故B錯誤．C：據(jù)G＝mr2，解得：T＝2π，“淮安號”恩來星的運行周期與地球同步衛(wèi)星的周期關系為＝，解得“淮安號”恩來星的運行周期約為 1.6 h．故C項正確．D：據(jù)G＝ma和G＝mg，解得“淮安號”恩來星的加速度約為地球表面重力加速度的0.85倍．故D項錯誤．] 2－2.(2018·武漢市高三畢業(yè)班調研)如圖為人造地球衛(wèi)星的軌道示意圖，LEO是近地軌道，MEO是中地球軌道，GEO是地球同步軌道，GTO是地球同步轉移軌道．已知地球的半徑R＝6 400 km，該圖中MEO衛(wèi)星的周期約為(圖中數(shù)據(jù)為衛(wèi)星近地點、遠地點離地面的高度)(　　) A．3 h B．8 h C

19、．15 h D．20 h A　[根據(jù)題圖中MEO衛(wèi)星距離地面高度為4 200 km，可知軌道半徑約為R1＝10 600 km，同步軌道GEO衛(wèi)星距離地面高度為36 000 km，可知軌道半徑約為R2＝42 400 km，為MEO衛(wèi)星軌道半徑的4倍，即R2＝4R1.地球同步衛(wèi)星的周期為T2＝24 h，運用開普勒第三定律，＝，解得T1＝3 h，選項A正確．] 高頻考點三　衛(wèi)星的變軌 [備考策略] 1．熟記變軌現(xiàn)象 2．掌握衛(wèi)星變軌過程中的能量變化 衛(wèi)星在同一軌道上穩(wěn)定運行過程中機械能守恒；在變軌過程中，點火加速，做離心運動，軌道升高，機械能增加，點火減速，做近心運動，軌道降低，機械

20、能減少． 3．衛(wèi)星繞過不同軌道上的同一點(切點)時，其加速度大小關系可用F＝＝ma比較得出． [命題視角] 考向1　變軌過程中各參數(shù)的變化 例3　(2018·山東省濰坊市高三一模)如圖所示，“嫦娥三號”從M點進入環(huán)月圓軌道Ⅰ，運行4天后再從M點進入橢圓軌道Ⅱ，N為橢圓軌道Ⅱ的近月點(可視為緊貼月球表面)，則“嫦娥三號”(　　) A．在兩軌道上運行的周期相同 B．在兩軌道上運行的機械能相同 C．在N點的速度大于月球的第一宇宙速度 D．在N到M的過程機械能不斷增加 C　[A.根據(jù)開普勒第三定律＝k可得半長軸a越大，運動周期越大，顯然軌道Ⅰ的半長軸(半徑)大于軌道Ⅱ的半長軸，故

21、沿軌道Ⅱ運動的周期小于沿軌道Ⅰ運動的周期，故A錯誤；B.由于飛船經(jīng)過點M時點火減速，使飛船由環(huán)月圓軌道Ⅰ從M點進入橢圓軌道Ⅱ，外力做負功，機械能減小，所以軌道Ⅰ上的機械能大于軌道Ⅱ上的機械能，故B錯誤；C.第一宇宙速度是發(fā)射衛(wèi)星的最小速度，是繞月球做圓周運動的最大速度也可以稱為近月N點的環(huán)繞速度，“嫦娥三號”在N點做橢圓軌道Ⅱ的離心運動，故速度應大于在N點上圓周運動的速度，即在N點的速度大于月球的第一宇宙速度，故C正確；D.沿橢圓軌道運動，動能和勢能交替轉化，不會有別的力做功改變其機械能，機械能守恒，故D錯誤；故選C.] 考向2　衛(wèi)星的追及相遇問題 例4　(2018·內蒙古包頭市高三模擬)

22、2016年10月17日7時30分神舟十一號飛船發(fā)射升空，成功入軌后，經(jīng)過5次遠距離導引控制之后，飛船到達天宮二號后下方52公里左右的位置(如圖所示)，兩個航天器建立空空通信，轉入到自主控制段.10月19日凌晨，神舟十一號飛船與天宮二號自動交會對接成功，開始在太空中的連體飛行．與前幾次交會對接任務不同，此次交會對接軌道和返回軌道高度比之前增加了50公里，距地面高度為393公里．下列說法正確的是(　　) A．神舟十一號飛船從圖示狀態(tài)下要與天宮二號對接，須向后噴氣 B．在圖示狀態(tài)時，天宮二號的向心加速度大于神舟十一號的向心加速度 C．在圖示狀態(tài)時，天宮二號做勻速圓周運動的周期小于神舟十一號

23、的周期 D．天宮二號和神舟十一號組合體繞地球做勻速圓周運動的速度大于7.9 km/s A　[根據(jù)天宮二號和神舟十一號繞地球做圓周運動所需要的向心力是由地球對它們的萬有引力提供的，則有G＝m2r＝m＝ma，即v＝，T＝，a＝G，由此可知：r越大，v越小，T越大，a越小，故B、C、D錯誤；神舟十一號飛船從圖示狀態(tài)下要與天宮二號對接，需加速做離心運動進入高軌道，才能實現(xiàn)對接，A正確；故選A.] [歸納反思] 1．衛(wèi)星變軌的兩種常見情況 2．航天器變軌問題的三點注意事項 (1)航天器變軌時半徑的變化，根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關系判斷；穩(wěn)定在新軌道上的運行速度變化由v＝判斷． (

24、2)航天器在不同軌道上運行時機械能不同，軌道半徑越大，機械能越大． (3)航天器經(jīng)過不同軌道相切的同一點時加速度相等，外軌道的速度大于內軌道的速度． [題組突破] 3－1.(2018·山東省實驗中學高三第一次模擬考試)中國探月工程嫦娥四號任務計劃于2018年執(zhí)行兩次發(fā)射：上半年發(fā)射嫦娥四號中繼星，下半年發(fā)射嫦娥四號探測器，她將實現(xiàn)人類首次月球背面軟著陸和巡視勘察，如圖所示，設月球半徑為R，假設“嫦娥四號”探測器在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ上做勻速圓周運動，運行周期為T，到達軌道的A點時點火變軌進入橢圓軌道Ⅱ，到達軌道的近月點B時，再次點火進入近月軌道Ⅲ繞月做勻速圓周運動，引力常量為

25、G，則下列說法正確的是(　　) A．月球的質量可表示為 B．在軌道Ⅲ上B點速率大于在軌道Ⅱ上B點的速率 C．“嫦娥四號”探測器沿橢圓軌道從A點向B點運動過程中，機械能保持不變 D．“嫦娥四號”探測器從遠月點A向近月點B運動的過程中，加速度變小 C　[在軌道Ⅰ上運動過程中，萬有引力充當向心力，故有G＝m(3R)，解得M＝，A錯誤；在軌道Ⅱ的B點需要減速做近心運動才能進入軌道Ⅲ做圓周運動，所以在軌道Ⅲ上B點速率小于在軌道Ⅱ上B點的速率，B錯誤；探測器沿橢圓軌道從A運動到B的過程中只受到地球引力作用，飛船的機械能保持不變，C正確；根據(jù)公式G＝ma可得a＝，所以軌道半徑越大，向心加速度越

26、小，故從遠月點到近月點運動過程中，軌道變小，加速度變大，D錯誤．] 3－2.我國原計劃在2017年底發(fā)射“嫦娥五號”探測器，實現(xiàn)月球軟著陸以及采樣返回，這意味著我國探月工程“繞、落、回”三步走的最后一步即將完成．“嫦娥五號”探測器在月球表面著陸的過程可以簡化如下，探測器從圓軌道1上A點減速后變軌到橢圓軌道2.之后又在軌道2上的B點變軌到近月圓軌道3.已知探測器在1軌道上周期為T1，O為月球球心，C為軌道3上的一點，AC與AO最大夾角為θ，則下列說法正確的是(　　) A．探測器要從軌道2變軌到軌道3需要在B點點火加速 B．探測器在軌道1的速度小于在軌道2經(jīng)過B點時的速度 C．探測器在

27、軌道2上經(jīng)過A點時速度最小，加速度最大 D．探測器在軌道3上運行的周期為 T1 BD　[探測器要從軌道2變軌到軌道3需要在B點減速，A錯誤；探測器在軌道1的速度小于在軌道3的速度，探測器在軌道2經(jīng)過B點的速度大于在軌道3的速度，故探測器在軌道1的速度小于在軌道2經(jīng)過B點時的速度，B正確；探測器在軌道2上經(jīng)過A點時速度最小，A點是軌道2上距離月球最遠的點，故由萬有引力產生的加速度最小，C錯誤；由開普勒第三定律＝，其中＝sin θ，解得T3＝T1，D正確．] 高頻考點四　雙星和多星問題 [備考策略] 牢記雙星系統(tǒng)模型以下特點 1．各自需要的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即＝m1ωr

28、1，＝m2ωr2. 2．兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2. 3．兩顆星的半徑與它們之間的距離關系為：r1＋r2＝L. [題組突破] 4－1.(2018·湖北省荊州中學高三全真模擬考試(一))2018年12月7日是我國發(fā)射“悟空”探測衛(wèi)星三周年的日子，該衛(wèi)星的發(fā)射為人類對暗物質的研究做出了重大貢獻．假設兩顆質量相等的星球繞其球心連線中心轉動，理論計算的周期與實際觀測的周期有出入，且＝(n>1)，科學家推測，在以兩星球球心連線為直徑的球體空間中均勻分布著暗物質，設兩星球球心連線長度為L，質量均為m，據(jù)此推測，暗物質的質量為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

29、　 A．(n－1)m B．nm C.m D.m D　[雙星均繞它們的連線的中點做圓周運動，理論上，由相互間的萬有引力提供向心力得：G＝m·解得：T理論＝πL.根據(jù)觀測結果，星體的運動周期且＝(n>1)，這種差異是由雙星內均勻分布的暗物質引起的，均勻分布在球體內的暗物質對雙星系統(tǒng)的作用與一質量等于球內暗物質的總質量m′，位于中點O處的質點的作用相同．則有：G＋＝m·解得：T觀測＝πL聯(lián)立解得：m′＝m.故選D.] 4－2.2017年10月16日，南京紫金山天文臺對外發(fā)布一項重大發(fā)現(xiàn)，我國南極巡天望遠鏡追蹤探測到首例引力波事件光學信號．關于引力波，早在1916年愛因斯坦基于廣義相對論預

30、言了其存在.1974年拉塞爾豪爾斯和約瑟夫泰勒發(fā)現(xiàn)赫爾斯—泰勒脈沖雙星，這雙星系統(tǒng)在互相公轉時，由于不斷發(fā)射引力波而失去能量，因此逐漸相互靠近，這現(xiàn)象為引力波的存在提供了首個間接證據(jù)．科學家們猜測該雙星系統(tǒng)中體積較小的星球能“吸食”另一顆體積較大的星球表面的物質，達到質量轉移的目的，則關于赫爾斯—泰勒脈沖雙星周期T隨雙星之間的距離L變化的關系圖象正確的是(　　) B　[雙星做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，＝m12R1＝m22R2，由幾何關系得：R1＋R2＝L，解得：＝·，已知此雙星系統(tǒng)中體積較小的星球能“吸食”另一顆體積較大的星體表面的物質，達到質量轉移的目的，每個星

31、球的質量變化，但質量之和不變，所以∝，故B正確，ACD錯誤．] 4－3.(2018·湖南省常德市高三模擬考試)(多選)2016年2月1日15時29分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射了第五顆新一代北斗導航衛(wèi)星．該衛(wèi)星繞地球作圓周運動，質量為m，軌道半徑約為地球半徑R的4倍．重力加是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星做圓周運動，如圖甲所示；另一種是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，如圖乙所示．設兩種系統(tǒng)中三個星體的質量均為m，且兩種系統(tǒng)中各星間的距離已在圖甲、圖乙中標出，引力常量為G，則(　　) A．直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運動的線速度大小為 B．

32、直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運動的周期為4π C．三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運動的角速度為2 D．三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運動的加速度大小為 BD　[在直線三星系統(tǒng)中，星體做圓周運動的向心力由其他兩星對它的萬有引力的合力提供，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，有G＋G＝m，解得v＝，A項錯誤；由周期T＝知，直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運動的周期為T＝4π，B項正確；同理，對三角形三星系統(tǒng)中做圓周運動的星體，有2Gcos 30°＝mω2·，解得ω＝，C項錯誤；由2Gcos 30°＝ma，得a＝，D項正確．] 課時跟蹤訓練(四) 一、選擇題(1～8題為單項選擇題，9～14題為多項選擇題)

33、1．(2018·威海市高考模擬考試)2017年9月29日，世界首條量子保密通訊干線“京滬干線”與“墨子號”科學實驗衛(wèi)星進行天地鏈路，我國科學家成功實現(xiàn)了洲際量子保密通訊．設“墨子號”衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，在時間t內通過的弧長為L，該弧長對應的圓心角為θ，已知引力常量為G.下列說法正確的是(　　) A．“墨子號”的運行周期為t B．“墨子號”的離地高度為 C．“墨子號”的運行速度大于7.9 km/s D．利用題中信息可計算出地球的質量為 D　[“墨子號”的運行周期為T＝＝＝，選項A錯誤；“墨子號”的離地高度為h＝r－R＝－R，選項B錯誤；任何衛(wèi)星的速度均小于第一宇宙速度，選項C錯誤

34、；根據(jù)G＝mω2r，其中ω＝，r＝，解得M＝，選項D正確；故選D.] 2．若太陽系內每個行星貼近其表面運行的衛(wèi)星的周期用T表示，該行星的平均密度是ρ，到太陽的距離是R，已知引力常量G.則下列說法正確的是(　　) A．可以求出該行星的質量 B．可以求出太陽的質量 C．ρT2是定值 D.是定值 C　[因為不知道行星的半徑，所以無法求出行星的質量，故A錯誤．T不是行星的公轉周期，所以不能求出太陽的質量，故BD錯誤．對于衛(wèi)星，由萬有引力充當向心力得G＝mr，其中M＝ρV＝πρr3，整理可得ρT2＝是一個定值，故C正確．] 3．(2018·石家莊高三考前模擬)如圖所示，地球繞太陽做勻速

35、圓周運動，地球處在運動軌道b位置時，地球和太陽連線所在的直線上的a與e位置、c與d位置均關于太陽對稱．當一無動力的探測器處在a或c位置時，它僅在太陽和地球引力的共同作用下，與地球一起以相同的角速度繞太陽做圓周運動，下列說法正確的是(　　) A．該探測器在a位置受到的太陽、地球引力的合力等于在c位置受到的太陽、地球引力的合力 B．該探測器在a位置受到的太陽、地球引力的合力大于在c位置受到的太陽、地球引力的合力 C．若地球和該探測器分別在b、d位置，它們也能以相同的角速度繞太陽運動 D．若地球和該探測器分別在b、e位置，它們也能以相同的角速度繞太陽運動 B　[根據(jù)題述，探測器處在a位

36、置和c位置時，它僅在太陽和地球引力的共同作用下，與地球一起以相同的角速度ω繞太陽做圓周運動，設該探測器的質量為m，在a位置受到的太陽和地球引力的合力為Fa，在c位置受到的太陽和地球引力的合力為Fc，根據(jù)牛頓第二定律，可知Fa＝mω2ra，F(xiàn)c＝mω2rc，由于ra>rc，所以Fa>Fc，選項A錯誤，B正確；若地球和探測器分別在b、d位置，探測器在d位置所受到的太陽和地球引力的合力與在c位置時不同，所以不能以相同的角速度繞太陽做圓周運動，選項C錯誤；若地球和探測器分別在b、e位置，探測器在e位置所受到的太陽和地球引力的合力與在a位置時不同，所以不能以相同的角速度繞太陽做圓周運動，選項D錯誤．]

37、 4．2017年6月15日，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征四號乙運載火箭成功發(fā)射首顆X射線調制望遠鏡衛(wèi)星“慧眼”．“慧眼”的成功發(fā)射將顯著提升我國大型科學衛(wèi)星研制水平，填補我國X射線探測衛(wèi)星的空白，實現(xiàn)我國在空間高能天體物理領域由地面觀測向天地聯(lián)合觀測的超越．“慧眼”研究的對象主要是黑洞、中子星和射線暴等致密天體和爆發(fā)現(xiàn)象．在利用“慧眼”觀測美麗的銀河系時，若發(fā)現(xiàn)某雙黑洞間的距離為L，只在彼此之間的萬有引力作用下做勻速圓周運動，其運動周期為T，引力常量為G，則雙黑洞總質量為(　　) A. B. C. D. A　[雙黑洞靠相互間的萬有引力提供向心力，有：G＝m1r1　G＝m2r2，解得：

38、m2＝，m1＝，則雙黑洞總質量為：m總＝m2＋m1＝，故選：A.] 5．(2018·福建廈門市畢業(yè)班調研)位于貴州的“中國天眼”是目前世界上口徑最大的單天線射電望遠鏡(FAST)．通過FAST測得水星與太陽的視角為θ(水星、太陽分別與觀察者的連線所夾的角)，如圖所示．若最大視角的正弦值為k，地球和水星繞太陽的運動視為勻速圓周運動，則水星的公轉周期為(　　) A.年 B.年 C.年 D.年 C　[由題意可知，當觀察者和水星的連線與水星的軌道相切時，水星與太陽的視角最大，由三角函數(shù)可得sin θ＝＝k，又由萬有引力提供向心力有G＝m水r水，＝m地r地，聯(lián)立以上可解得T水＝年，C正確．

39、] 6．(2018·安徽省合肥一中高三二模)天文學家通過觀測雙星軌道參數(shù)的變化來間接驗證引力波的存在，證實了GW150914是兩個黑洞并合的事件．該事件中甲、乙兩個黑洞的質量分別為太陽質量的36倍和29倍，假設這兩個黑洞，繞它們連線上的某點做圓周運動，且這兩個黑洞的間距緩慢減?。粼摵诙聪到y(tǒng)在運動過程中各自質量不變且不受其他星系的影響，則關于這兩個黑洞的運動，下列說法正確的是(　　) A．甲、乙兩個黑洞運行的線速度v大小之比為36∶29 B．甲、乙兩個黑洞運行的角速度ω大小之比為36∶29 C．隨著甲、乙兩個黑洞的間距緩慢減小，它們運行的周期T也在減小 D．甲、乙兩個黑洞做圓周運動的

40、向心加速度大小始終相等 C　[對兩個黑洞，它們的角速度ω相等，由萬有引力G＝m甲ω2r甲＝m乙ω2r乙和v＝rω可以判斷出線速度＝，AB錯誤．又r1＋r2＝L，結合萬有引力公式可以得出G＝ω2，兩個黑洞的間距緩慢減小，則角速度ω在增加，由T＝知T減小，而它們的向心加速度a＝，質量不等，相對應的向心加速度大小不相等，C正確，D錯誤．] 7．(2018·重慶市江津區(qū)高三下5月預測模擬)北斗導航已經(jīng)用于多種手機，如圖所示，導航系統(tǒng)的一顆衛(wèi)星原來在較低的橢圓軌道Ⅱ上飛行，到達A點時轉移到圓軌道Ⅰ上．若圓軌道Ⅰ離地球表面的高度 h1，橢圓軌道Ⅱ近地點離地球表面的高度為h2.地球表面的重力加速度為g，

41、地球半徑為R，則下列說法不正確的是(　　) A．衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的機械能大于在軌道Ⅱ上的機械能 B．衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的運行速率v＝ C．若衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ上運行的周期是T1，則衛(wèi)星在軌道Ⅱ的時間T2＝T1 D．若“天宮一號”沿軌道Ⅱ運行經(jīng)過A點的速度為vA，則“天宮一號”運行到B點的速度vB＝vA D　[衛(wèi)星從軌道Ⅱ進入軌道Ⅰ要在A點加速，則衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的機械能大于在軌道Ⅱ上的機械能選項A正確；衛(wèi)星在軌道Ⅰ上：G＝m，又GM＝gR2，解得v＝，選項B正確；根據(jù)開普勒第三定律可得：＝，解得T2＝T1，選項C正確；根據(jù)開普勒第三定律得：vA(h1＋R)＝vB(h2＋R)，解得vB＝vA，

42、選項D錯誤；此題選項不正確的選項，故選D.] 8．(2018·山東省湖北重點學校協(xié)作體沖刺模擬)“嫦娥之父”歐陽自遠透露：我國計劃于2020年登陸火星．假如某志愿者登上火星后將一小球從高為h的地方由靜止釋放，不計空氣阻力，測得經(jīng)過時間t小球落在火星表面，已知火星的半徑為R，引力常量為G，不考慮火星自轉，則下列說法正確的是(　　) A．火星的第一宇宙速度為 B．火星的質量為 C．火星的平均密度為 D．環(huán)繞火星表面運行的衛(wèi)星的周期為t C　[由自由落體運動規(guī)律，h＝gt2，解得火星表面的重力加速度大小為g＝，火星的第一宇宙速度v1＝＝，A錯誤；在火星表面有G＝mg，解得火星的質量為M＝

43、，B錯誤；火星的平均密度ρ＝＝＝，C正確；設環(huán)繞火星表面運行的衛(wèi)星的周期為T，則T＝＝πt，D錯誤．] 9．(2018·河北衡水中學信息卷)近期天文學界有很多新發(fā)現(xiàn)，若某一新發(fā)現(xiàn)的星體質量為m、半徑為R、自轉周期為T，引力常量為G.下列說法正確的是(　　) A．如果該星體的自轉周期T<2π，會解體 B．如果該星體的自轉周期T>2π，會解體 C．該星體表面的引力加速度為 D．如果有衛(wèi)星靠近該星體表面飛行，其速度大小為 AD　[如果在該星體表面有一物質，質量為m′，當它受到的萬有引力大于跟隨星體自轉所需要的同心力時呈穩(wěn)定狀態(tài)，即G>m′R，化簡得T>2π，即T>2π時，星體不會解體，而

44、該星體的自轉周期T<2π時，會解體，A正確；B錯誤；在該星體表面，有G＝m′g，所以g＝，C錯誤；如果有衛(wèi)星靠近該星體表面飛行，有G＝m″，解得v＝，D正確．] 10．(2018·廣東南寧市高三調研)如圖為某著陸器經(jīng)過多次變軌后登陸火星的軌跡圖，著陸器先在軌道Ⅰ上運動，然后改在圓軌道Ⅱ上運動，最后在橢圓周軌道Ⅲ上運動，P點是軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交點，軌道上的P、S、Q三點與火星中心在同一直線上，P、Q兩點分別是橢圓軌道的遠火星點和近火星點．且PQ＝2QS＝2L，著陸器在軌道Ⅰ上經(jīng)過P點的速度為v1，在軌道Ⅱ上經(jīng)過P點的速度為v2，在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點的速度為v3，下列說法正確的是(　　) A

45、．著陸器在P點由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ需要點火加速 B．著陸器在軌道Ⅱ上由P點運動到S點的時間與著陸器在軌道Ⅲ上由P點運動到Q點的時間之比是 C．著陸器在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點的加速度可表示為 D．著陸器在軌道Ⅱ上S點與在軌道Ⅲ上P點的加速度大小相等 CD　[著陸器在P點由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ時，是向低軌道運動，所以應該減速才可以，故A錯誤；由開普勒第三定律知道，著陸器在軌道Ⅱ上由P點運動到S點的時間和著陸器在軌道Ⅲ上由P點運動到Q點的時間都是各自周期的一半，根據(jù)開普勒第三定律＝k可得＝＝，著陸器在軌道Ⅱ上由P點運動到S點的時間是著陸器在軌道Ⅲ上由P點運動到Q點的時間之比是，故B錯誤；著陸器在軌道Ⅱ上

46、經(jīng)過P點的加速度，就是向心加速度，所以a＝＝，著陸器在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點的加速度與著陸器在軌道Ⅱ上經(jīng)過P點的加速度相同，故C正確；由于著陸器在軌道Ⅱ上S點與在軌道Ⅲ上P點到火星的球心之間的距離是相等的，所以加速度大小相等，故D正確．] 11．(2018·山東省濟南市高三一模)2017年11月5日，又有兩顆北斗導航系統(tǒng)組網(wǎng)衛(wèi)星通過“一箭雙星”發(fā)射升空，并成功進入預定軌道，兩顆衛(wèi)星繞地球運動均看作勻速圓周運動．如果兩顆衛(wèi)星的質量均為M，其中的1號衛(wèi)星軌道距離地面高度為h,2號衛(wèi)星軌道距離地面高度為h′，且h′>h，把地球看做質量分布均勻的球體，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度大小為g，引力常

47、量為G，下列說法正確的是(　　) A．1號衛(wèi)星繞地球運動的線速度R B．1號衛(wèi)星繞地球運動的周期T＝2π(R＋h) C．1號衛(wèi)星和2號衛(wèi)星做勻速圓周運動的向心力大小之比為 D．穩(wěn)定在軌運行時1號衛(wèi)星的機械能小于2號衛(wèi)星的機械能 AD　[A項：根據(jù)公式G＝M和m0g＝G，解得v＝R，故A正確；B項：根據(jù)公式G＝M(R＋h)和m0g＝G，解得：T＝，故B錯誤；C項：F1＝G，F(xiàn)2＝G，所以＝，故C錯誤；D項：由于h

48、測試)嫦娥工程分為三期，簡稱“繞、落、回”三步走．我國發(fā)射的“嫦娥三號”衛(wèi)星是嫦娥工程第二階段的登月探測器，該衛(wèi)星先在距月球表面高度為h的軌道上繞月球做周期為T的勻速圓周運動，再經(jīng)變軌后成功落月．已知月球的半徑為R，引力常量為G，忽略月球自轉及地球對衛(wèi)星的影響．則以下說法正確的是(　　) A．物體在月球表面自由下落的加速度大小為 B．“嫦娥三號”繞月球做勻速圓周運動時的線速度大小為 C．月球的平均密度為 D．在月球上發(fā)射月球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度為 AC　[在月球表面，重力等于萬有引力，則得：G＝mg；對于“嫦娥三號”衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運動過程，由萬有引力提供向心力得：G＝m(R＋h)

49、，聯(lián)立解得：g＝，故A正確；“嫦娥三號”衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運動，軌道半徑為r＝R＋h，則它繞月球做勻速圓周運動的速度大小為v＝＝，故B錯誤；根據(jù)G＝m(R＋h)，解得月球的質量為M＝，月球的平均密度為ρ＝＝，故C正確；設在月球上發(fā)射衛(wèi)星的最小發(fā)射速度為v，則有： G＝mg＝m，解得v＝＝，故D錯誤；故選AC.] 13．(2018·衡水中學同步卷)我國發(fā)射天宮二號空間實驗室后又發(fā)射了神舟十一號飛船，它們于2016年10月19日凌晨進行了自動交會對接．為實現(xiàn)飛船與空間實驗室的對接，在地面測控中心的指揮下天宮二號從高空圓軌道下降至低空圓軌道與神舟十一號對接．已知天宮二號從捕獲神舟十一號到實現(xiàn)對

50、接用時為t，在這段時間內組合體繞地心轉過的角度為θ.取地表重力加速度為g，地球半徑為R，則下列說法中正確的是(　　) A．神舟十一號應在比天宮二號半徑更小的軌道上加速后逐漸靠近，兩者速度接近時才能實現(xiàn)對接 B．對接成功后，欲使天宮二號恢復到原軌運行，至少還需兩次點火加速 C．組合體在對接軌道上繞地運行的周期為 D．組合體在對接軌道上繞地運行時距離地表的高度是－R ABD　[飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速，做離心運動可使飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現(xiàn)對接，A正確；二者在低軌對接成功后，欲使天宮二號恢復到原軌運行，還需點火加速一次脫離對接軌道而轉移到橢圓軌道，達到

51、橢圓軌道與圓軌道的交點處，還要再點火加速一次才能進入圓形軌道，B正確；組合體在對接軌道上繞地運行時ω＝，因此T＝＝，C錯誤；組合體在對接軌道上繞地運行時引力提供向心力G＝m(R＋H)ω2，又G＝g，整理可得H＝－R，D正確．] 14．(2018·天星教育考前預測)如圖所示，已知地球的一顆同步衛(wèi)星信號最多覆蓋地球赤道上的經(jīng)度范圍為2α.另一顆其他衛(wèi)星信號最多覆蓋的赤道經(jīng)度范圍為2β(圖中未畫出)，若α>β，兩顆衛(wèi)星圍繞地球轉動的方向相同，不考慮兩衛(wèi)星間的影響．若某時刻另一顆衛(wèi)星位于地球和同步衛(wèi)星連線中間的某位置．下列說法正確的是(　　) A．另一顆衛(wèi)星的周期為24小時 B．同步衛(wèi)星和另一顆衛(wèi)星的線速度之比為 C．至少經(jīng)過小時，另一顆衛(wèi)星再次到達地球和同步衛(wèi)星連線中間某位置 D．經(jīng)過相同時間，同步衛(wèi)星與另一顆衛(wèi)星半徑掃過的面積之比為 AD　[設地球的半徑為R，則同步衛(wèi)星做圓周運動的半徑為r1＝，另一顆衛(wèi)星做圓周運動的半徑為r2＝.同步衛(wèi)星繞地球做圓周運動的周期T1＝24小時，根據(jù)＝可得T2＝24小時，選項A正確；根據(jù)G＝m可知＝，選項B錯誤；根據(jù)t＝2π可得t＝小時，選項C錯誤；天體半徑掃過的面積為s＝·πr2，而θ＝t，聯(lián)立可得s＝，故經(jīng)過相同時間，同步衛(wèi)星與另一顆衛(wèi)星半徑掃過的面積之比為＝，選項D正確．] 25