人教版 高中數(shù)學(xué)【選修 21】 創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案：第二章2.1合情推理與演繹推理

2019人教版精品教學(xué)資料·高中選修數(shù)學(xué)第1課時(shí)合情推理核心必知1預(yù)習(xí)教材，問(wèn)題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P22P29的內(nèi)容，回答下列問(wèn)題(1)哥德巴赫提出猜想的推理過(guò)程是什么？提示：通過(guò)對(duì)一些偶數(shù)的驗(yàn)證，他發(fā)現(xiàn)它們總可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和，而且沒(méi)出現(xiàn)反例于是提出猜想“任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和”(2)觀察教材P24P25的幾個(gè)實(shí)例，這幾個(gè)推理是歸納推理嗎？它們有什么共同特點(diǎn)？提示：這幾個(gè)推理不是歸納推理它們的共同特點(diǎn)是兩類事物間的推理2歸納總結(jié)，核心必記(1)歸納推理歸納推理的定義由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理歸納推理的特征歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理(2)類比推理類比推理的定義由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，稱為類比推理類比推理的特征類比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理含義：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理合情推理的過(guò)程：?jiǎn)栴}思考(1)歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？提示：歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其結(jié)論不一定正確類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測(cè)正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性，不一定可靠(2)<，<，<，由此猜想：<(m為正實(shí)數(shù))上述推理是歸納推理還是類比推理？提示：歸納推理(3)由平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行，猜想：空間中平行于同一平面的兩個(gè)平面平行此推理是歸納推理還是類比推理？提示：類比推理課前反思(1)歸納推理的定義和特征各是什么？(2)類比推理的定義和特征各是什么？(3)歸納推理和類比推理有什么不同？角度一：數(shù)(式)中的歸納推理講一講1(1)觀察下列各式：1312，132332，13233362，13233343102，照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)(2)(鏈接教材P23例2)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式an(nN*)，記f(n)(1a1)(1a2)(1an)，通過(guò)計(jì)算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測(cè)出f(n)的表達(dá)式嘗試解答(1)左邊各項(xiàng)冪的底數(shù)右邊各項(xiàng)冪的底數(shù)11，1,23，1,2,36，1,2,3,410，由左、右兩邊各項(xiàng)冪的底數(shù)之間的關(guān)系：11，123，1236，123410，可得一般性結(jié)論：132333n3(123n)2，即132333n32.(2)an，a1，a2，a3.f(1)1a1，f(2)，f(3)××.推測(cè)f(n).答案(1)132333n32(1)根據(jù)給出的幾個(gè)具體等式歸納其一般結(jié)論時(shí)，要注意從等式的項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、分式的分子與分母各自的特點(diǎn)及變化規(guī)律入手進(jìn)行歸納，要注意等式中項(xiàng)數(shù)、次數(shù)等與等式序號(hào)n的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，然后用含有字母的等式表示一般性結(jié)論(2)數(shù)列中的歸納推理的方法：通過(guò)所給的條件求得數(shù)列中的前幾項(xiàng)；觀察數(shù)列的前幾項(xiàng)，尋求項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的規(guī)律，猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明練一練1觀察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)解析：觀察規(guī)律可知，第n個(gè)式子為12223242(1)n1n2(1)n1.答案：12223242(1)n1n2(1)n1角度二：圖形中的歸納推理講一講2(1)有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是()A26 B31 C32 D36(2)把1,3,6,10,15,21，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)閭€(gè)數(shù)等于這些數(shù)目的點(diǎn)可以分別排成一個(gè)正三角形(如圖)，試求第七個(gè)三角形數(shù)是_嘗試解答(1)法一：有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：圖案123個(gè)數(shù)61116由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是65×(61)31.法二：由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無(wú)紋正六邊形需6塊有紋正六邊形圍繞(第一個(gè)圖案)外，每增加一塊無(wú)紋正六邊形，只需增加5塊菱形紋正六邊形(每?jī)蓧K相鄰的無(wú)紋正六邊形之間有一塊“公共”的菱形紋正六邊形)，故第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)為：65×(61)31.故選B.(2)第七個(gè)三角形數(shù)為123456728.答案(1)B(2)28解決圖形中歸納推理的方法解決與圖形有關(guān)的歸納推理問(wèn)題常從以下兩個(gè)方面著手：(1)從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值變化與數(shù)量的關(guān)系(2)從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化后，與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣的變化練一練2我們把1,4,9,16,25，這些數(shù)稱做正方形數(shù)，這是因?yàn)閭€(gè)數(shù)等于這些數(shù)目的點(diǎn)可以分別排成一個(gè)正方形(如圖)則第n個(gè)正方形數(shù)是()An(n1) Bn(n1)Cn2 D(n1)2解析：選C觀察前5個(gè)正方形數(shù)，恰好是序號(hào)的平方，所以第n個(gè)正方形數(shù)應(yīng)為n2.講一講3三角形與四面體有下列共同的性質(zhì)：(1)三角形是平面內(nèi)由線段所圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形；四面體是空間中由平面三角形所圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形(2)三角形可以看做平面上一條線段外一點(diǎn)與這條直線段上的各點(diǎn)連線所形成的圖形；四面體可以看做三角形外一點(diǎn)與這個(gè)三角形上各點(diǎn)連線所形成的圖形通過(guò)類比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)填寫下表：三角形四面體三角形兩邊之和大于第三邊三角形的中位線等于第三邊的一半并且平行于第三邊三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心三角形的面積S(abc)r(r為三角形內(nèi)切圓的半徑)嘗試解答三角形和四面體分別是平面圖形和空間圖形，三角形的邊對(duì)應(yīng)四面體的面，即平面的線類比空間的面；三角形的中位線對(duì)應(yīng)四面體的中截面，三角形的內(nèi)角對(duì)應(yīng)四面體的二面角，三角形的內(nèi)切圓對(duì)應(yīng)四面體的內(nèi)切球具體見(jiàn)下表：三角形四面體三角形兩邊之和大于第三邊四面體任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積三角形的中位線等于第三邊的一半并且平行于第三邊四面體的中截面的面積等于第四個(gè)面面積的，且平行于第四個(gè)面三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是四面體的內(nèi)切球的球心三角形的面積為S(abc)r(r為三角形內(nèi)切圓的半徑)四面體的體積為V(S1S2S3S4)r(S1、S2、S3、S4為四面體四個(gè)面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑)(1)類比推理的一般步驟：找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似性(或一致性)；用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì)，從而得出一個(gè)明確的命題(猜想)(2)運(yùn)用類比推理的關(guān)鍵是確定類比對(duì)象，常見(jiàn)的類比對(duì)象有：平面幾何與立體幾何：能進(jìn)行類比的基本元素有：實(shí)數(shù)相等關(guān)系與不等關(guān)系；方程與不等式的性質(zhì)實(shí)數(shù)滿足的運(yùn)算律與向量滿足的運(yùn)算律等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及性質(zhì)圓錐曲線的定義及性質(zhì)練一練3如圖所示，在ABC中，射影定理可表示為ab·cos Cc·cos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，類比上述定理，寫出對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想解：如圖所示，在四面體P­ABC中，S1，S2，S3，S分別為PAB，PBC，PAC，ABC的面積，分別為側(cè)面PAB，側(cè)面PBC，側(cè)面PAC與底面ABC所成二面角的大小，猜想：在四面體P­ABC中，SS1cos S2cos S3cos .課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是歸納推理和類比推理的應(yīng)用難點(diǎn)是對(duì)歸納推理、類比推理結(jié)論的真假判定2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)數(shù)(式)中的歸納推理，見(jiàn)講1；(2)圖形中的歸納推理，見(jiàn)講2；(3)類比推理的應(yīng)用，見(jiàn)講3.課下能力提升(三)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1數(shù)(式)中的歸納推理1已知數(shù)列1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，則數(shù)列的第k項(xiàng)是()Aakak1a2k Bak1aka2k1Cak1aka2k Dak1aka2k2解析：選D利用歸納推理可知，第k項(xiàng)中第一個(gè)數(shù)為ak1，且第k項(xiàng)中有k項(xiàng)，且次數(shù)連續(xù)，故第k項(xiàng)為ak1aka2k2.2如圖所示，n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列如下：根據(jù)規(guī)律，從2 014到2 016的箭頭方向依次為()A B C D解析：選B觀察總結(jié)規(guī)律為：以4個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，箭頭方向重復(fù)出現(xiàn)因此，2 014到2 016的箭頭方向和2到4的箭頭方向是一致的故選B.3根據(jù)給出的等式猜測(cè)123 456×97等于()1×921112×93111123×941 1111 234×9511 11112 345×96111 111A1 111 110 B1 111 111C1 111 112 D1 111 113解析：選B由題中給出的等式猜測(cè)，應(yīng)是各位數(shù)都是1的七位數(shù)，即1 111 111.4設(shè)函數(shù)f(x)(x0)，觀察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)nN*且n2時(shí)，fn(x)f(fn1(x)_.解析：根據(jù)題意知，分子都是x，分母中的常數(shù)項(xiàng)依次是2,4,8,16，可知fn(x)的分母中常數(shù)項(xiàng)為2n，分母中x的系數(shù)為2n1，故fn(x).答案：題組2圖形中的歸納推理5如圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來(lái)，那么第36顆珠子應(yīng)是什么顏色()A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大解析：選A由圖，知三白二黑周期性排列，365×71，故第36顆珠子的顏色為白色6如圖所示，著色的三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列an的前4項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為()Aan3n1 Ban3nCan3n2n Dan3n12n3解析：選Aa11，a23，a39，a427，猜想an3n1.7如圖所示，在圓內(nèi)畫一條線段，將圓分成兩部分；畫兩條線段，彼此最多分割成4條線段，將圓最多分割成4部分；畫三條線段，彼此最多分割成9條線段，將圓最多分割成7部分；畫四條線段，彼此最多分割成16條線段，將圓最多分割成11部分猜想：在圓內(nèi)畫n(n2)條線段，彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？解：設(shè)圓內(nèi)兩兩相交的n條線段，彼此最多分割成的線段為f(n)條，將圓最多分割為g(n)部分f(1)112，g(1)2；f(2)422，g(2)422；f(3)932，g(3)7223；f(4)1642，g(4)112234；猜想：f(n)n2，g(n)2234n1.即圓內(nèi)兩兩相交的n(n2)條線段，彼此最多分割為n2條線段，將圓最多分割為部分題組3類比推理8已知bn為等比數(shù)列，b52，且b1b2b3b929.若an為等差數(shù)列，a52，則an的類似結(jié)論為()Aa1a2a3a929 Ba1a2a929Ca1a2a92×9 Da1a2a92×9解析：選D等比數(shù)列中的積(乘方)類比等差數(shù)列中的和(積)，得a1a2a92×9.9在平面中，ABC的ACB的平分線CE分ABC面積所成的比，將這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐A­BCD中，平面DEC平分二面角A­CD­B且與AB交于E，則類比的結(jié)論為_(kāi)解析：平面中的面積類比到空間為體積，故類比成.平面中的線段長(zhǎng)類比到空間為面積，故類比成.故有.答案：10在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與兩鄰邊所成的角分別為，則cos2cos21，在立體幾何中，通過(guò)類比，給出猜想并證明解：如圖，在矩形ABCD中，cos2cos2 221.于是類比到長(zhǎng)方體中，猜想其體對(duì)角線與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則cos2cos2cos21，證明如下：如圖，cos2cos2cos22221.能力提升綜合練1觀察下列各式：7249,73343,742 401，則72 016的末兩位數(shù)字為()A01 B43 C07 D49解析：選A因?yàn)?17,7249,73343,742 401，7516 807,76117 649，所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周期T4.又2 0164×504，所以72 016的末兩位數(shù)字與74的末兩位數(shù)字相同，為01.2定義A*B，B*C，C*D，D*B依次對(duì)應(yīng)下列4個(gè)圖形：那么下列4個(gè)圖形中，可以表示A*D，A*C的分別是()A(1)，(2) B(1)，(3)C(2)，(4) D(1)，(4)解析：選C由可歸納得出：符號(hào)“*”表示圖形的疊加，字母A代表豎線，字母B代表大矩形，字母C代表橫線，字母D代表小矩形，A*D是(2)，A*C是(4)3古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)比如：他們研究過(guò)圖(1)中的1,3,6,10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖(2)中的1,4,9,16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A289 B1 024 C1 225 D1 378解析：選C記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為an，則a11，a2312，a36123，a4101234，可得通項(xiàng)公式為an123n.同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為bnn2.將四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)公式，使得n都為正整數(shù)的只有1 225.4設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，_，_，成等比數(shù)列解析：等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時(shí)，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，成等比數(shù)列答案：5將正整數(shù)排成下表：12345 6 78910 11 12 13 14 15 16則在表中數(shù)字2 016出現(xiàn)在第_行，第_列解析：第n行有2n1個(gè)數(shù)字，前n行的數(shù)字個(gè)數(shù)為135(2n1)n2.4421 936,4522 025，且1 9362 0162 025，2 016在第45行又2 0252 0169，且第45行有2×45189個(gè)數(shù)字，2 016在第89980列答案：45806已知橢圓具有以下性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值試對(duì)雙曲線1(a0，b0)寫出具有類似特征的性質(zhì)，并加以證明解：類似的性質(zhì)為：若M，N是雙曲線1(a0，b0)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值證明如下：設(shè)點(diǎn)M，P的坐標(biāo)分別為(m，n)，(x，y)，則N(m，n)因?yàn)辄c(diǎn)M(m，n)在已知的雙曲線上，所以1，得n2m2b2.同理，y2x2b2，則y2n2(x2m2)所以kPM·kPN··(定值)所以kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值7如圖所示為m行m1列的士兵方陣(mN*，m2)(1)寫出一個(gè)數(shù)列，用它表示當(dāng)m分別是2,3,4,5，時(shí)，方陣中士兵的人數(shù)；(2)若把(1)中的數(shù)列記為an，歸納該數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)求a10，并說(shuō)明a10表示的實(shí)際意義；(4)已知an9 900，問(wèn)an是數(shù)列第幾項(xiàng)？解：(1)當(dāng)m2時(shí)，表示一個(gè)2行3列的士兵方陣，共有6人，依次可以得到當(dāng)m3,4,5，時(shí)的士兵人數(shù)分別為12,20,30，.故所求數(shù)列為6,12,20,30，.(2)因?yàn)閍12×3，a23×4，a34×5，所以猜想an(n1) (n2)，nN*.(3)a1011×12132.a10表示11行12列的士兵方陣的人數(shù)為132.(4)令(n1)(n2)9 900，所以n98，即an是數(shù)列的第98項(xiàng)，此時(shí)方陣為99行100列第2課時(shí)演 繹 推 理核心必知1預(yù)習(xí)教材，問(wèn)題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P30P33的內(nèi)容，回答下列問(wèn)題閱讀教材中的5個(gè)推理(如下所示)，并回答問(wèn)題：所有的金屬都能夠?qū)щ姡櫴墙饘?，所以鈾能夠?qū)щ?；太?yáng)系的行星都以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，天王星是太陽(yáng)系的行星，因此天王星以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行；一切奇數(shù)都不能被2整除，(21001)是奇數(shù)，所以(21001)不能被2整除；三角函數(shù)都是周期函數(shù)，tan 是三角函數(shù)，因此tan是周期函數(shù)；兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)如果A與B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，那么AB180°.(1)以上五個(gè)推理有什么共同特點(diǎn)？提示：都是從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論(2)以上五個(gè)推理，都有三段，每一段在“推理”中各自名稱是什么？提示：第一段稱為“大前提”，第二段稱為“小前提”，第三段稱為“結(jié)論”2歸納總結(jié)，核心必記(1)演繹推理的概念從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理稱為演繹推理簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理(2)三段論“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷“三段論”可以表示為：大前提：M是P.小前提：S是M.結(jié)論：S是P.問(wèn)題思考(1)“三段論”就是演繹推理嗎？提示：不是三段論是演繹推理的一般模式(2)演繹推理的結(jié)論一定正確嗎？提示：因?yàn)檠堇[推理的結(jié)論不會(huì)超出前提所界定的范圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結(jié)論就一定正確(3)如何在演繹推理中分清大前提、小前提和結(jié)論？提示：在演繹推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情況，結(jié)論是根據(jù)一般原理對(duì)特殊情況作出的判斷例如，平行四邊形對(duì)角線互相平分，這是一般情況；矩形是平行四邊形，這是特例；矩形對(duì)角線互相平分，這是特例具有的一般意義課前反思(1)演繹推理的定義是什么？；(2)“三段論”的內(nèi)容是什么？；(3)演繹推理與合情推理有什么區(qū)別？.思考如何將演繹推理寫成三段論的形式？名師指津：三段論由大前提、小前提和結(jié)論組成；大前提提供一般原理，小前提提供特殊情況，兩者結(jié)合起來(lái)，體現(xiàn)一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，在用三段論寫推理過(guò)程時(shí)，關(guān)鍵是明確命題的大、小前提講一講1把下列演繹推理寫成三段論的形式(1)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100 ，所以在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100 時(shí)，水會(huì)沸騰；(2)一切偶數(shù)都能被2整除，256是偶數(shù)，所以256能被2整除；(3)函數(shù)yx5的圖象是一條直線嘗試解答(1)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100 ，大前提在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100 ，小前提水會(huì)沸騰結(jié)論(2)一切偶數(shù)都能被2整除，大前提256是偶數(shù)，小前提256能被2整除結(jié)論(3)因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象是一條直線，大前提yx5是一次函數(shù)，小前提所以yx5的圖象是一條直線結(jié)論將演繹推理寫成三段論的方法(1)用三段論寫推理過(guò)程時(shí)，關(guān)鍵是明確大、小前提(2)用三段論寫推理過(guò)程中，有時(shí)可省略小前提，有時(shí)甚至也可大前提與小前提都省略(3)在尋找大前提時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提練一練1試將下列演繹推理寫成三段論的形式：(1)太陽(yáng)系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，海王星是太陽(yáng)系中的大行星，所以海王星以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行；(2)所有導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱，鐵是導(dǎo)體，所以鐵通電時(shí)發(fā)熱；(3)一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)y2x1是一次函數(shù)，所以y2x1是單調(diào)函數(shù)；(4)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式具有anpnq(p，q是常數(shù))的形式，數(shù)列1,2,3，n是等差數(shù)列，所以數(shù)列1,2,3，n的通項(xiàng)具有anpnq的形式解：(1)太陽(yáng)系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，大前提海王星是太陽(yáng)系中的大行星，小前提海王星以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行結(jié)論(2)所有導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱，大前提鐵是導(dǎo)體，小前提鐵通電時(shí)發(fā)熱結(jié)論(3)一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)，大前提函數(shù)y2x1是一次函數(shù)，小前提y2x1是單調(diào)函數(shù)結(jié)論(4)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式具有anpnq的形式，大前提數(shù)列1,2,3，n是等差數(shù)列，小前提數(shù)列1,2,3，n的通項(xiàng)具有anpnq的形式結(jié)論講一講2(鏈接教材P31例6)如圖，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點(diǎn)，BFDA，DEBA，求證：EDAF，寫出三段論形式的演繹推理嘗試解答因?yàn)橥唤窍嗟龋瑑蓷l直線平行，大前提BFD與A是同位角，且BFDA，小前提所以FDAE.結(jié)論因?yàn)閮山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，大前提DEBA，且FDAE，小前提所以四邊形AFDE為平行四邊形結(jié)論因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等，大前提ED和AF為平行四邊形AFDE的對(duì)邊，小前提所以EDAF.結(jié)論(1)用“三段論”證明命題的格式(2)用“三段論”證明命題的步驟理清證明命題的一般思路；找出每一個(gè)結(jié)論得出的原因；把每個(gè)結(jié)論的推出過(guò)程用“三段論”表示出來(lái)練一練2如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求證：EF平面BCD.證明：三角形的中位線平行于第三邊，大前提點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，小前提所以EFBD.結(jié)論若平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線，則此直線與此平面平行，大前提EF平面BCD，BD平面BCD，EFBD，小前提EF平面BCD.結(jié)論講一講3(鏈接教材P32例7)已知函數(shù)f(x)ax(a1)，求證：函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)嘗試解答對(duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，若x1x2，都有f(x1)f(x2)，則f(x)在該區(qū)間上是增函數(shù)大前提設(shè)x1，x2是(1，)上的任意兩實(shí)數(shù)，且x1x2，則f(x1)f(x2)ax1ax2ax1ax2ax1ax2，a1，且x1x2，ax1ax2，x1x20.又x11，x21，(x11)(x21)0.f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)小前提函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)結(jié)論使用三段論應(yīng)注意的問(wèn)題(1)應(yīng)用三段論證明問(wèn)題時(shí)，要充分挖掘題目外在和內(nèi)在條件(小前提)，根據(jù)需要引入相關(guān)的適用的定理和性質(zhì)(大前提)，并保證每一步的推理都是正確嚴(yán)密的，才能得出正確的結(jié)論(2)證明中常見(jiàn)的錯(cuò)誤：條件分析錯(cuò)誤(小前提錯(cuò))定理引入和應(yīng)用錯(cuò)誤(大前提錯(cuò))推理過(guò)程錯(cuò)誤等練一練3已知等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)且lg a1，lg a2，lg a4成等差數(shù)列，又bn(n1,2,3，)求證：數(shù)列bn為等比數(shù)列證明：因?yàn)閘g a1，lg a2，lg a4成等差數(shù)列，所以2lg a2lg a1lg a4，即aa1a4.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則(a1d)2a1(a13d)，即a1dd2，從而d(da1)0.若d0，數(shù)列an為常數(shù)列，故數(shù)列bn也是常數(shù)列，此時(shí)bn是首項(xiàng)為正數(shù)、公比為1的等比數(shù)列若da10，則a2na1(2n1)d2nd，所以bn.所以當(dāng)n2時(shí)，.所以數(shù)列bn是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列綜上，數(shù)列bn為等比數(shù)列課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是三段論，難點(diǎn)是用三段論證明有關(guān)問(wèn)題2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)用三段論表示演繹推理，見(jiàn)講1；(2)用三段論證明幾何、代數(shù)問(wèn)題，見(jiàn)講2和講3.3在數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明題中，每一步都包含著一般性原理，都可以分析出大前提，將一般性原理應(yīng)用于特殊情況，只要推理形式準(zhǔn)確，就能恰當(dāng)準(zhǔn)確地解決問(wèn)題在解決問(wèn)題時(shí)，會(huì)涉及到數(shù)學(xué)中的一般性原理，主要是指數(shù)學(xué)中的公式、公理、定理、性質(zhì)等，這就要求我們基礎(chǔ)牢固，對(duì)涉及的相關(guān)知識(shí)能靈活應(yīng)用，并能進(jìn)行恰當(dāng)?shù)牡葍r(jià)轉(zhuǎn)化課下能力提升(四)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1用三段論表示演繹推理1“所有金屬都能導(dǎo)電，鐵是金屬，所以鐵能導(dǎo)電”這種推理方法屬于()A演繹推理 B類比推理C合情推理 D歸納推理答案：A2“因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以四邊形ABCD的對(duì)角線相等”，補(bǔ)充以上推理的大前提是()A正方形都是對(duì)角線相等的四邊形B矩形都是對(duì)角線相等的四邊形C等腰梯形都是對(duì)角線相等的四邊形D矩形都是對(duì)邊平行且相等的四邊形答案：B3下面幾種推理中是演繹推理的是()A因?yàn)閥2x是指數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y2x經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,1)B猜想數(shù)列，的通項(xiàng)公式為an(nN*)C由“平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線平行”類比推出“空間中垂直于同一平面的兩平面平行”D由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為(xa)2(yb)2r2，推測(cè)空間直角坐標(biāo)系中球的方程為(xa)2(yb)2(zc)2r2解析：選AA是演繹推理，B是歸納推理，C，D是類比推理. 題組2用三段論證明幾何問(wèn)題4有一段演繹推理是這樣的：“若一直線平行于平面，則該直線平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b平面，直線a平面，直線b平面，則直線b直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?)A大前提錯(cuò)誤 B小前提錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤 D非以上錯(cuò)誤解析：選A“直線與平面平行”，不能得出“直線平行于平面內(nèi)的所有直線”，即大前提錯(cuò)誤5如圖，在平行四邊形ABCD中，DAB60°，AB2，AD4.將CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD.求證：ABDE.證明：在ABD中，AB2，AD4，DAB60°，BD2.AB2BD2AD2.ABBD.又平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，AB平面EBD.DE平面EBD，ABDE.6如圖所示，三棱錐A­BCD的三條側(cè)棱AB，AC，AD兩兩互相垂直，O為點(diǎn)A在底面BCD上的射影求證：O為BCD的垂心證明：如圖，連接BO，CO，DO.ABAD，ACAD，ABACA，AD平面ABC.又BC平面ABC，ADBC.AO平面BCD，AOBC，又ADAOA，BC平面AOD，BCDO，同理可證CDBO，O為BCD的垂心題組3用三段論證明代數(shù)問(wèn)題7用三段論證明命題：“任何實(shí)數(shù)的平方大于0，因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以a20”，你認(rèn)為這個(gè)推理()A大前提錯(cuò)誤 B小前提錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤 D是正確的解析：選A這個(gè)三段論推理的大前提是“任何實(shí)數(shù)的平方大于0”，小前提是“a是實(shí)數(shù)”，結(jié)論是“a20”顯然結(jié)論錯(cuò)誤，原因是大前提錯(cuò)誤8已知推理：“因?yàn)锳BC的三邊長(zhǎng)依次為3,4,5，所以ABC是直角三角形”若將其恢復(fù)成完整的三段論，則大前提是_解析：大前提：一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形；小前提：ABC的三邊長(zhǎng)依次為3,4,5，滿足324252；結(jié)論：ABC是直角三角形答案：一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形9已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，f(1)2.(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值解：(1)證明：因?yàn)閤，yR時(shí)，f(xy)f(x)f(y)，所以令xy0得，f(0)f(0)f(0)2f(0)，所以f(0)0.令yx，則f(xx)f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)(2)設(shè)x1，x2R，且x1x2，f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)，因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，f(x)0，所以f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)0，所以f(x)為減函數(shù)，所以f(x)在3,3上的最大值為f(3)，最小值為f(3)因?yàn)閒(3)f(2)f(1)3f(1)6，f(3)f(3)6，所以函數(shù)f(x)在3,3上的最大值為6，最小值為6.能力提升綜合練1下面幾種推理過(guò)程是演繹推理的是()A兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果A與B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則AB180°B某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人數(shù)超過(guò)50人C由三角形的性質(zhì)，推測(cè)四面體的性質(zhì)D在數(shù)列an中，a11，an(n2)，由此歸納出an的通項(xiàng)公式解析：選AB項(xiàng)是歸納推理，C項(xiàng)是類比推理，D項(xiàng)是歸納推理2“所有9的倍數(shù)(M)都是3的倍數(shù)(P)，某奇數(shù)(S)是9的倍數(shù)(M)，故該奇數(shù)(S)是3的倍數(shù)(P)”上述推理是()A小前提錯(cuò)誤B結(jié)論錯(cuò)誤C正確的 D大前提錯(cuò)誤答案：CA直角梯形 B矩形C正方形 D菱形4設(shè)是R內(nèi)的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集若對(duì)于任意a，bA，有abA，則稱A對(duì)運(yùn)算封閉下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的是()A自然數(shù)集 B整數(shù)集C有理數(shù)集 D無(wú)理數(shù)集解析：選CA錯(cuò)：因?yàn)樽匀粩?shù)集對(duì)減法和除法不封閉；B錯(cuò)：因?yàn)檎麛?shù)集對(duì)除法不封閉；C對(duì)：因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)有理數(shù)的和、差、積、商都是有理數(shù)，故有理數(shù)集對(duì)加、減、乘、除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉；D錯(cuò)：因?yàn)闊o(wú)理數(shù)集對(duì)加、減、乘、除法都不封閉5設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且yf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，則f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_.解析：由題意，知f(0)0，f(1)f(0)0，f(2)f(1)0，f(3)f(2)0，f(4)f(3)0，f(5)f(4)0，故f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)0.答案：06關(guān)于函數(shù)f(x)lg(x0)，有下列命題：其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；當(dāng)x0時(shí)，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x0時(shí)，f(x)為減函數(shù)；f(x)的最小值是lg 2; 當(dāng)1x0或x1時(shí)，f(x)是增函數(shù)；f(x)無(wú)最大值，也無(wú)最小值其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_解析：f(x)是偶函數(shù)，正確；當(dāng)x0時(shí)，f(x)lglglg 2，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)，0x1時(shí)，f(x)為減函數(shù)；x1時(shí)，f(x)為增函數(shù)x1時(shí)取得最小值lg 2.又f(x)為偶函數(shù)，1x0時(shí)，f(x)為增函數(shù)；x1時(shí)，f(x)為減函數(shù)x1時(shí)取得最小值lg 2.也正確答案：7已知2sin2sin23sin ，求sin2sin2的取值范圍解：由2sin2sin23sin ，得sin2sin2sin23sin 2，且sin 0，0sin2 1，sin2 3sin 2sin2，03sin 2sin21.解得sin 1或0sin .令ysin2sin2，當(dāng)sin 1時(shí)，y2; 當(dāng)0sin 時(shí)，0y，sin2sin2的取值范圍是28已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)ax2bxc，g(x)axb.當(dāng)1x1時(shí)，|f(x)|1.(1)求證：|c|1；(2)當(dāng)1x1時(shí)，求證：2g(x)2.證明：(1)因?yàn)閤0滿足1x1的條件，所以|f(0)|1.而f(0)c，所以|c|1.(2)當(dāng)a0時(shí)，g(x)在1,1上是增函數(shù)，所以g(1)g(x)g(1)又g(1)abf(1)c，g(1)abf(1)c，所以f(1)cg(x)f(1)c，又1f(1)1，1f(1)1，1c1，所以f(1)c2，f(1)c2，所以2g(x)2.當(dāng)a0時(shí)，可用類似的方法，證得2g(x)2.當(dāng)a0時(shí)，g(x)b，f(x)bxc，g(x)f(1)c，所以2g(x)2.綜上所述，2g(x)2.